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中五数学｜等差与等比数列 备课指引（导师用）｜通项、求和公式与无限和
学生背得出公式，但一见“第几个”和“共几项”就调转 a 与 d，或者无限等比和直接用公式而不检查 |r| < 1。这一堂用一条时间轴把两件事分开。
本堂目标 学生能够：① 由首项与公差／公比写出通项，并由两项反推 a 与 d；② 正确选用 S(n) 公式并处理“项数”陷阱（由 3 到 99 到底几项）；③ 判断无限等比和何时存在，并用 |r| < 1 说明理由。
01 先备知识（开课前 3 分钟快检）
以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：
| 技能 | 快检题 | 过关标准 |
|---|---|---|
| 解一次方程 | 3 + 9d = 39 的 d | 4 |
| 指数运算 | 3⁵ 的值 | 243 |
| 不等式 | |r| < 1 的意思 | −1 < r < 1 |
02 课堂流程（60 分钟）
| 时间 | 环节 | 导师做什么 | 学生做什么 |
|---|---|---|---|
| 0–10 分 | 数列的语言 | a、d、r、n、T(n)、S(n) | 写出头四项 |
| 10–24 分 | 等差通项与求和 | a = 3、d = 4 | T(10) = 39、S = 210 |
| 24–38 分 | 等比通项与求和 | a = 2、r = 3 | T(6) = 486、S = 728 |
| 38–48 分 | 无限等比和 | a = 8、r = 0.5 | S∞ = 16 |
| 48–56 分 | 应用与项数陷阱 | 3 至 99 的倍数 | n = 33、S = 1683 |
| 56–60 分 | 离场检查 | 三题收回即批 | 独立完成 |
03 讲解脚本（照着说就可以）
第一幕：等差：通项是一条直线，求和是梯形面积
a = 3、d = 4 的数列：3, 7, 11, 15 …
T(n) = a + (n − 1)d，所以 T(10) = 3 + 9 × 4 = 39。“n − 1”不是“n”，因为首项本身不加 d —— 用第一项代入自检最快：T(1) 必须等于 a。
S(n) = n/2 × [2a + (n − 1)d] = 10/2 × [6 + 9 × 4] = 210。另一个写法是 n/2 × (首项 + 末项)，两种都可以，但要学生讲得出是同一个公式。
反向题：已知 T(4) = 15、T(9) = 35，相减得 5d = 20，d = 4，再回代得 a = 3。“两式相减”是唯一稳定的方法。
T(n) = a + (n − 1)d，所以 T(10) = 3 + 9 × 4 = 39。“n − 1”不是“n”，因为首项本身不加 d —— 用第一项代入自检最快：T(1) 必须等于 a。
S(n) = n/2 × [2a + (n − 1)d] = 10/2 × [6 + 9 × 4] = 210。另一个写法是 n/2 × (首项 + 末项)，两种都可以，但要学生讲得出是同一个公式。
反向题：已知 T(4) = 15、T(9) = 35，相减得 5d = 20，d = 4，再回代得 a = 3。“两式相减”是唯一稳定的方法。
要学生做：已知某等差数列 T(3) = 11、T(8) = 31，求 a 与 d（答 a = 3、d = 4），并写出 T(20)。
第二幕：等比：乘出来的通项与有限和
a = 2、r = 3：2, 6, 18, 54 …
T(n) = ar^(n−1)，T(6) = 2 × 3⁵ = 486。
S(n) = a(rⁿ − 1)/(r − 1) = 2 × (3⁶ − 1) ÷ 2 = 728。r = 1 时分母为零，要另外处理（此时 S = na），学生几乎一定漏这个情况。
等比增长比等差快得多：同样 a = 2，等差加到第 6 项只有 12，等比已到 486，用这组数字讲“复利为何可怕”比讲定义有效。
T(n) = ar^(n−1)，T(6) = 2 × 3⁵ = 486。
S(n) = a(rⁿ − 1)/(r − 1) = 2 × (3⁶ − 1) ÷ 2 = 728。r = 1 时分母为零，要另外处理（此时 S = na），学生几乎一定漏这个情况。
等比增长比等差快得多：同样 a = 2，等差加到第 6 项只有 12，等比已到 486，用这组数字讲“复利为何可怕”比讲定义有效。
要学生做：数列 3, 6, 12, 24 … 的第 8 项与首 8 项和（答 384、765），并讲出公比。
第三幕：无限等比和：先验 |r| < 1 才可以用公式
a = 8、r = 0.5 时，S∞ = a / (1 − r) = 8 ÷ 0.5 = 16。
公式只在 |r| < 1 成立：|r| ≥ 1 时每项不缩小，和会发散，写出一个“总和”是错的。所以答题第一句一定要写“因为 |r| < 1，所以和收敛”。
几何意义：把 8 单位的正方形每次切一半，加起来刚好两倍，永远不会超过 16。
循环小数是同一件事：0.777… = 0.7 / (1 − 0.1) = 7/9，这条可以即场验证，学生会信。
公式只在 |r| < 1 成立：|r| ≥ 1 时每项不缩小，和会发散，写出一个“总和”是错的。所以答题第一句一定要写“因为 |r| < 1，所以和收敛”。
几何意义：把 8 单位的正方形每次切一半，加起来刚好两倍，永远不会超过 16。
循环小数是同一件事：0.777… = 0.7 / (1 − 0.1) = 7/9，这条可以即场验证，学生会信。
要学生做：求 0.454545… 为分数（答 5/11），并写出 a 与 r 各是什么。
04 必教题型与步骤
| 题型 | 例子 | 步骤 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 计算题 | 通项 | T(n) = a + (n−1)d | 39 |
| 计算题 | 等差求和 | n/2 × (首 + 末) | 210 |
| 计算题 | 等比求和 | a(rⁿ − 1)/(r − 1) | 728 |
| 解释题 | 无限和 | 先证 |r| < 1 | 16 |
合理性检查（一定要教）：项数检查：由第 3 项到第 99 项共 97 项，不是 96 也不是 99，公式是 末 − 首 + 1。用“细数字代”是最快的自检：1 到 3 有 3 项，3 − 1 + 1 = 3。数值检查：等比和一定大于末项，若算出比末项小就一定错；无限和一定大于首项、且有限，若比 a 小就代表 r 或 a 调转。
05 独立练习三题
| 题目 | 答案 | 想观察什么 |
|---|---|---|
| 等差 a = 3、d = 4，求 T(10) 与 S(10) | 39 与 210 | 有无用 n − 1 |
| 等比 a = 2、r = 3，求 T(6) 与 S(6) | 486 与 728 | r − 1 的正负号 |
| 求 0.454545… 为最简分数 | 5/11 | 能否写出 a 与 r |
06 学生常见错误与纠正句
| 错误 | 学生通常这样写 | 导师这样说 |
|---|---|---|
| 把 T(n) 写成 a + nd | T(10) = 3 + 40 = 43 | “首项不加 d，你代入 n = 1 看下会不会变 a。” |
| 项数计错 | 3 至 99 当 96 项 | “99 − 3 + 1 = 97 项；你用 1 到 3 试下就知。” |
| 无限和没验证 |r| < 1 | r = 2 都用公式 | “r 大过 1 就不会收敛，写总和系一个不存在的数。” |
| 等比求和分母写反 | (r − 1)/(a(rⁿ − 1)) | “分母系 r − 1，分子系 a(rⁿ − 1)，乘除位置一调转就成题错。” |
07 家课建议（直接指到练习卷题号）
08 离场检查（最后 5 分钟）
| 题目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| T(n) 公式 | a + (n−1)d | 全对＝可进概率 |
| 无限和条件 | |r| < 1 | 错＝重讲收敛 |
| 3 至 99 的项数 | 33 项 | 错两题以上＝回到第一幕 |
09 导师常问
为何等比求和要分 r = 1？
因为公式分母是 r − 1，r = 1 时为零；此时每项相同，和直接是 na。
无限等比和何时存在？
只有 |r| < 1 时每项趋向零，部分和收敛到 a/(1 − r)；|r| ≥ 1 则发散。
等差与等比如何分辨？
看相差还是相除固定：相差固定是等差，相除固定是等比；应用题看增长描述（每年加、每年乘）。
本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。
