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DSE ICT｜网络安全与加密进阶 备课指引（导师用）｜RSA 参数、金钥数量与 TLS 握手
学生识讲“加密就安全”，但讲不出为何 HTTPS 要同时用两条锁匙。这一堂用金钥数量与一次握手，把“安全”拆成可数的代价。
本堂目标 学生能够：① 分辨对称与非对称加密，并用 n(n−1)/2 算出 10 个用户需要 45 条金钥；② 用 RSA 的 p、q 算出 n = 3233、φ = 3120，并验证 e = 17 与 d = 2753 互为逆元；③ 解释杂凑、数码签名与凭证在 TLS 握手各自负责哪一件事，并讲出为何 2^56 金钥以每秒十亿次搜寻要 2.28 年。
01 先备知识（开课前 3 分钟快检）
以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：
| 技能 | 快检题 | 过关标准 |
|---|---|---|
| 质数 | 61 与 53 是否质数 | 是，只能被 1 与自己整除 |
| 模运算 | 17 × 2753 除以 3120 的余数 | 1 |
| 二进制指数 | 2^10 大约是多少 | 1,024，约一千 |
02 课堂流程（60 分钟）
| 时间 | 环节 | 导师做什么 | 学生做什么 |
|---|---|---|---|
| 0–10 分 | 三条锁匙三个问题 | 机密、完整性、认证 | 每项配一个失败例子 |
| 10–22 分 | 对称加密 | 一条匙开一把锁，n(n−1)/2 条匙 | 算出 45 条 |
| 22–34 分 | 非对称与 RSA | p、q、n、φ、e、d 六个数 | 算出 3233 与 3120 |
| 34–44 分 | 杂凑与签名 | 摘要不可逆、签名用私钥 | 讲清两者分别 |
| 44–54 分 | TLS 握手 | 凭证验身、协商、换工作匙 | 排出四步 |
| 54–60 分 | 离场检查 | 三题即场批 | 三题全对 |
03 讲解脚本（照着说就可以）
第一幕：对称与非对称，是两种成本
对称加密（AES）用同一条匙加密与解密，速度快，适合大量资料。问题是派匙：10 个用户两两通信，需要 10 × 9 ÷ 2 = 45 条不同金钥；100 个用户就要 4,950 条。
非对称加密（RSA）用公钥加密、私钥解密，n 个用户只需 2n 条匙，但运算慢几个数量级，所以只用来开场。
RSA 参数：p = 61、q = 53 → n = 3,233，φ = 60 × 52 = 3,120；选 e = 17（与 φ 互质），d = 2,753，因为 17 × 2753 = 46,801，除以 3,120 余 1。
公开 (n, e)，私藏 d。这条式子示范了原理，真实系统用 2048 位以上，因为 3,233 用电脑一晚就分解。
非对称加密（RSA）用公钥加密、私钥解密，n 个用户只需 2n 条匙，但运算慢几个数量级，所以只用来开场。
RSA 参数：p = 61、q = 53 → n = 3,233，φ = 60 × 52 = 3,120；选 e = 17（与 φ 互质），d = 2,753，因为 17 × 2753 = 46,801，除以 3,120 余 1。
公开 (n, e)，私藏 d。这条式子示范了原理，真实系统用 2048 位以上，因为 3,233 用电脑一晚就分解。
要学生讲：10 个用户 45 条匙，为何非对称只需 20 条（每人一对公钥私钥）。
第二幕：杂凑讲完整性，签名讲身份
杂凑（SHA-256）把任何长度输入压成 256 位 固定长度摘要，单向不可还原，改一个字摘要就完全不同。它不保密，只证明“有无被人改过”。
数码签名是把摘要用寄件人私钥加密，收件人用对方公钥解开再对比摘要：对得上，就同时证明完整性与身份。
金钥长度决定暴力搜寻成本：2^56 条匙、每秒十亿次，需要约 2.28 年；加到 2^128 就是天文数字。
凭证（X.509）解决“公钥真的是他的吗”：由受信任的凭证机构签署，把域名与公钥绑死。没有凭证，中间人可以换走公钥。
数码签名是把摘要用寄件人私钥加密，收件人用对方公钥解开再对比摘要：对得上，就同时证明完整性与身份。
金钥长度决定暴力搜寻成本：2^56 条匙、每秒十亿次，需要约 2.28 年；加到 2^128 就是天文数字。
凭证（X.509）解决“公钥真的是他的吗”：由受信任的凭证机构签署，把域名与公钥绑死。没有凭证，中间人可以换走公钥。
要学生讲：杂凑与加密最大的分别（一个不可逆、不保密；一个可逆、保密）。
第三幕：TLS 握手：四步把两套方法缝起来
第一步，客户端送 ClientHello（支援的版本与加密套件）与随机数。第二步，服务器回 ServerHello、凭证与随机数。第三步，客户端用凭证内的公钥验签、确认域名，再用公钥加密预主密钥送出。第四步，双方由三个随机数算出同一条会话金钥，之后用对称加密传资料。
所以设计逻辑是：用慢的非对称解决“派匙”，用快的对称处理“大量资料”。
子网例：192.168.10.0/26 的遮罩是 2^(32−26) = 64 个地址，可用主机 62 部，一个 /24 可以切 4 个 /26。防火墙规则要按网段写，不是逐部机写。
常见错误是把“有 HTTPS”当成“一定安全”：凭证过期、凭证由不知名机构签、或网站本身有漏洞，锁头一样亮。
所以设计逻辑是：用慢的非对称解决“派匙”，用快的对称处理“大量资料”。
子网例：192.168.10.0/26 的遮罩是 2^(32−26) = 64 个地址，可用主机 62 部，一个 /24 可以切 4 个 /26。防火墙规则要按网段写，不是逐部机写。
常见错误是把“有 HTTPS”当成“一定安全”：凭证过期、凭证由不知名机构签、或网站本身有漏洞，锁头一样亮。
要学生讲：为何不全部用非对称加密（太慢），为何不全部用对称（无法安全派匙）。
04 必教题型与步骤
| 题型 | 例子 | 步骤 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 计算 | 对称金钥数量 | n(n − 1) ÷ 2 | 10 用户 45 条 |
| 计算 | RSA 参数 | n = p×q；φ = (p−1)(q−1)；e×d mod φ = 1 | 3233、3120、2753 |
| 计算 | 暴力搜寻时间 | 金钥数 ÷ 每秒尝试次数 ÷ 一年秒数 | 2.28 年 |
| 解释 | TLS 握手各步作用 | 验身、协商、交换、转对称 | 四步不可乱序 |
合理性检查（一定要教）：n 是两个质数相乘，φ 是 (p−1)(q−1)，不是 p×q；两者混淆就整条题错。
e 要与 φ 互质，若 e 与 φ 有公因数就无逆元。
d 的验算是 e×d mod φ = 1，不是 e×d = φ。
杂凑是单向，不能“解密摘要”；声称可以解的就是错。
/26 可用主机是 62 不是 64，网络位址与广播位址要扣。
e 要与 φ 互质，若 e 与 φ 有公因数就无逆元。
d 的验算是 e×d mod φ = 1，不是 e×d = φ。
杂凑是单向，不能“解密摘要”；声称可以解的就是错。
/26 可用主机是 62 不是 64，网络位址与广播位址要扣。
05 独立练习三题
| 题目 | 答案 | 想观察什么 |
|---|---|---|
| 10 个用户对称加密需要几条金钥 | 45 条 | 10×9÷2 |
| p=61、q=53 的 n 与 φ | 3,233 与 3,120 | 61×53；60×52 |
| 192.168.10.0/26 可用主机数 | 62 | 64 − 2 |
06 学生常见错误与纠正句
| 错误 | 学生通常这样写 | 导师这样说 |
|---|---|---|
| 把 φ 当成 n | 答“φ = 3,233” | “φ 系 (p−1)(q−1) = 3,120，n 才系 p×q。” |
| 以为杂凑可以还原 | 答“用密码解密个 hash” | “Hash 单向，只可以做比对，不可以还原。” |
| 把签名与加密混为一谈 | 答“用公钥签名” | “签名用私钥，验签用公钥，掉转就等于没有签。” |
| 有 HTTPS 就当安全 | 答“有锁头就一定安全” | “要看凭证签发者、有效期，同网站本身有无漏洞。” |
07 家课建议（直接指到练习卷题号）
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08 离场检查（最后 5 分钟）
| 题目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| 10 用户对称金钥数 | 45 条 | 三题全对＝可进网络协议 |
| p=61、q=53 的 φ | 3,120 | 错一题＝下堂前重讲 φ |
| TLS 第三步做什么 | 用公钥加密预主密钥 | 错两题以上＝回到第三幕 |
09 导师常问
要背 RSA 完整证明吗？
不必。要能算 n、φ、验 e×d mod φ = 1，并讲出单向函数的概念。
AES 与 RSA 哪个安全？
两者安全模型不同，不能单比。AES 快、RSA 解决派匙，实务是配合使用。
量子电脑会否令 RSA 失效？
会威胁分解难题，所以业界在推后量子加密；DSE 只需指出风险方向。
本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。
