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中六数学二项式定理 第四份：系数、常数项与两式相乘
中六数学二项式定理 第四份：系数、常数项与两式相乘
第四份集中练系数的乘法，由展开、指定次方到常数项与两式相乘，全部要写出通项。
练习重点 先写通项，令指数等于要求；有两个底数就两个都要升次方，两式相乘要逐项配对。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 25 |
| 难度分布 | 基础 4 · 进阶 3 · 挑战 2 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中六数学：二项式定理 |
| 适用年级 | 中六 |
02 题目（10 题）
- 基础展开 (3 + x)³。
- 基础求 (1 + x)⁶ 展开式中 x³ 的系数。
- 基础求 (1 − 3x)⁴ 展开式中 x² 的系数。
- 基础写出 (x + 3)⁵ 展开式的第三项。
- 进阶求 (2 + 3x)⁵ 展开式中 x² 的系数。
- 进阶求 (x³ + 1/x)⁸ 展开式中的常数项。
- 进阶求 (1 + 2x)⁷ 展开式中 x³ 的系数。
- 挑战若 C(n, 2) = 66，求 n。
- 挑战求 (1 + x)⁴(1 − x)⁴ 展开式中 x⁴ 的系数。
- 错题重练错题：同学答 (1 + x)⁵ 中 x² 的系数是 5。正确是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 27 + 27x + 9x² + x³ | 逐项用 3 的次方配 x 的次方：27、3 × 3² = 27、3 × 3 = 9、最后 1。 |
| 2 | 20 | 系数就是 C(6, 3) = 20，因为 1 的任何次方都是 1。 |
| 3 | 54 | 取 C(4, 2) 乘 (−3)² = 6 × 9 = 54，负号平方后变正。 |
| 4 | 90x³ | 第三项 r = 2，系数 C(5, 2) × 3² = 10 × 9 = 90，配 x³。 |
| 5 | 720 | C(5, 2) × 2³ × 3² = 10 × 8 × 9 = 720，两个底数的次方都要计。 |
| 6 | 28 | 通项指数 3(8 − r) − r = 24 − 4r，令它为零得 r = 6，系数 C(8, 6) = 28。 |
| 7 | 280 | C(7, 3) × 2³ = 35 × 8 = 280，别漏了 2 的次方。 |
| 8 | n = 12 | n(n − 1) ÷ 2 = 66 得 n² − n − 132 = 0，分解成 (n − 12)(n + 11)。 |
| 9 | 6 | 两式相乘等于 (1 − x²)⁴，x⁴ 即 (x²)²，系数 C(4, 2) × (−1)² = 6。 |
| 10 | 10 | 系数是 C(5, 2) = 10；5 只是指数，不是系数。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。
