DSE 數學｜二項式定理備課指引（導師用）

DSE 數學｜二項式定理備課指引（導師用）｜通項、常數項與係數和

2026-11-01

學生背得到 C(n,r)，但展開 (x + 3/x)^6 之後就找不到常數項。這一堂只建立一個習慣：先寫通項、把指數寫成 r 的表達式、再令它等於目標次方。

本堂目標　學生能夠：① 寫出 (a + b)ⁿ 的通項 T(r+1) = C(n,r) aⁿ⁻ʳ bʳ；② 由通項求指定次方的係數與常數項；③ 用代值法求係數和，並判斷係數的正負。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
組合數	C(5,3) 等於多少	10
指數律	(2x)³ 的係數部分	8
解一次方程	6 − 2r = 0 的 r	3

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	展開的規律	巴斯卡三角形與 C(n,r)	寫出 (a+b)³ 三行
8–20 分	通項公式	T(r+1) 的寫法	學生自己寫一次
20–34 分	指定次方係數	(1+2x)^5 的 x³	算出 80
34–46 分	常數項	(x+3/x)^6	算出 540
46–56 分	係數和與正負	代 x = 1 或 −1	和 = 243
56–60 分	離場檢查	三題收回即批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：由巴斯卡三角形到組合數

(a + b)² 的係數是 1, 2, 1；(a + b)³ 是 1, 3, 3, 1，正正是 C(3,0) 至 C(3,3)。
所以 (a + b)ⁿ 的第 r+1 項係數是 C(n,r)，這就是二項式定理的全部來源，不需要另背公式。

要學生講：C(6,2) 是多少、為何 (a+b)⁶ 中間兩項係數相同（對稱，C(6,2) = C(6,4)）。

第二幕：通項：一條公式處理所有題

通項 T(r+1) = C(n,r) · aⁿ⁻ʳ · bʳ，r 由 0 開始。
(1 + 2x)^5：a = 1、b = 2x、n = 5，所以 T(r+1) = C(5,r) · 2ʳ · xʳ。求 x³ 令 r = 3：C(5,3) × 2³ = 10 × 8 = 80。
(2 − x)⁷ 的 x⁴ 係數：C(7,4) × 2³ × (−1)⁴ = 35 × 8 = 280。

提醒：要先寫清楚 a 與 b 各自是什麼，b 的符號（負號）一定要跟進去。

第三幕：常數項與係數和

(x + 3/x)^6：T(r+1) = C(6,r) · x^(6−r) · (3/x)ʳ = C(6,r) · 3ʳ · x^(6−2r)。常數項要指數為 0：6 − 2r = 0 → r = 3，係數 = C(6,3) × 3³ = 20 × 27 = 540。
係數和：令 x = 1，(1 + 2)⁵ = 243；若要「奇次項減偶次項」，令 x = −1 再相加減。

要學生計：(x + 2/x)⁴ 的常數項（r = 2，C(4,2) × 2² = 24）。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
求係數	指定次方	寫通項 → 令指數 = 目標 → 代 r	80
常數項	正負次方混合	令指數 = 0 解 r	540
係數和	全部係數相加	代 x = 1	243
判斷	某項是否存在	解出的 r 必須是 0 至 n 的整數	r = 3 存在

合理性檢查（一定要教）：解出的 r 必須是 0 至 n 之間的整數，否則該項不存在（答「沒有此項」）。常數項一定是正數次方項與負數次方項抵消；係數和的數量級應與 a + b 的 n 次方相符。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
(1 + 2x)^5 的 x³ 係數	80	r = 3，C(5,3) × 8
(x + 3/x)^6 的常數項	540	6 − 2r = 0 → r = 3
(1 + 2x)^5 所有係數之和	243	代 x = 1

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
指數與 r 對調	答案用 C(5,2)	「T(r+1) 嘅 r 係 b 嘅次方，唔好調亂。」
忘記 b 的係數次方	答 20	「(2x)³ 係 8x³，唔係 2x³。」
常數項令 r = 0	答 C(6,0)	「要指數等於 0，唔係 r 等於 0。」
負號漏掉	答 +280 而非 −280	「b 帶負號，奇次項一定負。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

DSE 數學練習卷（二項式定理）　甲部第 9 至 10 題（係數與常數項）
中學數學章節索引　全科章節

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
(1 + 2x)^5 的 x³ 係數	80	三題全對＝可進概率
(x + 3/x)^6 的常數項	540	錯一題＝下堂前重講通項
求係數和應代哪個值	x = 1	錯兩題以上＝回到第一幕

09　導師常問

要背巴斯卡三角形嗎？

不用背到很深，記住係數就是 C(n,r)，三角形只是輔助理解。

n 很大怎樣算？

用計算機的 nCr 功能，DSE 容許，重點是寫對通項。

常數項可以有多個嗎？

在單一二項式展開中只有一個 r 令指數為 0，所以只有一個常數項。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。