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中六数学 二项式定理：第 2 份（进阶）
中六数学 二项式定理：第 2 份（进阶）
十题加入负号、分式与未知 n，要求先写通项再代入，并处理 (2x)² 这类要连同底数一并升次的项。
直接答案 第 1 至 3 题 40、−8、6；第 4 至 6 题 n = 10、792、270；第 7 至 9 题 −20、36、C(n, r) a^(n−r) b^r；第 10 题 54。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中六数学 二项式定理 |
| 适用年级 | 进阶 |
02 题目（10 题）
- 基础(1 + 2x)^5 展开后，x² 项前面的数字是多少？
- 基础(2 − x)^4 展开后，x³ 项前面的数字是多少？
- 基础(x + 1/x)^4 展开后的常数项是多少？
- 进阶已知 (1 + x)^n 展开后 x² 项前面的数字是 45，求 n。
- 进阶计算 C(12, 5)。
- 进阶(3 + x)^5 展开后，x² 项前面的数字是多少？
- 挑战(1 − x)^6 展开后，x³ 项前面的数字是多少？
- 挑战(2x + 3)^3 展开后，x² 项前面的数字是多少？
- 挑战写出 (a + b)^n 的通项，并说明每个符号的意思。
- 错题重练有学生求 (1 + 3x)^4 中 x² 项前面的数字时答 6。错在哪里？正确答案是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 40 | 通项 C(5, r) (2x)^r，取 r = 2 得 C(5, 2) × 2² = 10 × 4 = 40。 |
| 2 | −8 | 取 r = 3：C(4, 3) × 2 × (−1)³ = 4 × 2 × (−1) = −8，负号来自 −x。 |
| 3 | 6 | 通项 C(4, r) x^(4−r) x^(−r)，要 4 − 2r = 0 即 r = 2，得 C(4, 2) = 6。 |
| 4 | n = 10 | C(n, 2) = n(n − 1) ÷ 2 = 45，得 n(n − 1) = 90，故 n = 10。 |
| 5 | 792 | C(12, 5) = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 ÷ 120 = 792。 |
| 6 | 270 | 取 r = 2：C(5, 2) × 3³ = 10 × 27 = 270，底数 3 要升到 3 次方。 |
| 7 | −20 | 取 r = 3：C(6, 3) × (−1)³ = 20 × (−1) = −20。 |
| 8 | 36 | 取 r = 1：C(3, 1) × (2x)² × 3 = 3 × 4 × 3 = 36，记得 (2x)² 是 4x²。 |
| 9 | C(n, r) a^(n−r) b^r | r 由 0 数到 n，第 r + 1 项就是 C(n, r) a^(n−r) b^r；C(n, r) 是组合数。 |
| 10 | 漏了 3²；正确答案 54 | 通项 C(4, r) (3x)^r，r = 2 时要乘 3² = 9，故 6 × 9 = 54。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
先写出通项 C(n, r) a^(n−r) b^r，再代 r 找指定次方。导师登记 →
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。