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DSE 數學｜二項式定理 備課指引（導師用）｜由通項鎖定某一項
學生識背 Cⁿᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ，但一見「常數項」就逐項展開。這一堂只做一件事：由通項寫出指數方程，解出 r，再代回係數；展開只用作驗算頭三項。
本堂目標 學生能夠：① 寫出 (a + b)ⁿ 的通項 Cⁿᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ，並用巴斯卡三角形核對 n = 4 的係數 1、4、6、4、1；② 由 (x + 2/x)⁶ 的通項解 6 − 2r = 0 得 r = 3，算出常數項 160；③ 算出 (2x + 3)⁴ 中 x² 的係數 216，以及 (1 − x)¹⁰ 中 x³ 的係數 −120；④ 用 x = 1 得出係數和 2⁸ = 256，並用二項式首三項估算 1.02¹² ≈ 1.266。
01 先備知識（開課前 3 分鐘快檢）
以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：
| 技能 | 快檢題 | 過關標準 |
|---|---|---|
| 組合數 | C(6,3) 等於多少？ | 20 |
| 指數律 | x⁶ ÷ x³ 等於多少？ | x³ |
| 負號處理 | (−1)³ 等於多少？ | −1 |
| 方程 | 6 − 2r = 0，r 是多少？ | r = 3 |
02 課堂流程（60 分鐘）
| 時間 | 環節 | 導師做什麼 | 學生做什麼 |
|---|---|---|---|
| 0–8 分 | 展開熱身 | 叫學生展開 (x + 1)³，再問 (x + 1)¹⁰ 點算 | 寫出前四項，感受規律 |
| 8–20 分 | 通項 | 由巴斯卡三角形推到 Cⁿᵣ，寫出完整通項 | 抄一次通項並標明 r 由 0 開始 |
| 20–34 分 | 常數項 | 示範 (x + 2/x)⁶，設指數為 0 解 r | 自己解一次方程再代 C(6,3) |
| 34–44 分 | 指定次方 | (2x + 3)⁴ 找 x² 係數，強調係數與 x 分開 | 寫出 C(4,2) × 2² × 3² |
| 44–52 分 | 係數和與近似 | 代 x = 1 得 2⁸；再用首三項估 1.02¹² | 比較估算與真值差幾多 |
| 52–60 分 | 離場檢查 | 發四題，學生獨立完成 | 交卷，錯的即場重做一次 |
03 講解腳本（照著說就可以）
第一幕：通項是唯一要記的式，展開只用來核對
(a + b)ⁿ 的第 (r + 1) 項是 Cⁿᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ，r 由 0 開始。n = 4 時係數 1、4、6、4、1，與巴斯卡三角形一致。告訴學生：題目問「第 5 項」即 r = 4，問「x³ 的係數」要由指數方程解 r，兩種問法都要先寫通項，不要憑感覺數。
要學生口頭講出「第 5 項」對應哪個 r，錯即場糾正。
第二幕：常數項：令指數等於零
(x + 2/x)⁶ 的通項是 C(6,r) x^(6−r) (2/x)^r = C(6,r) 2^r x^(6−2r)。常數項要求 6 − 2r = 0，故 r = 3，係數 = C(6,3) × 2³ = 20 × 8 = 160。若問 x² 的係數，就設 6 − 2r = 2 得 r = 2，係數 = C(6,2) × 2² = 60。同一條通項可以答盡所有「某一項」問題，這是這一堂的主軸。
叫學生把「6 − 2r」寫在題目旁邊，先解方程才按計數機。
第三幕：係數和與估算：代入 x = 1 或 x = 0.02
把 x = 1 代入 (1 + x)⁸ 得係數和 256，即 2⁸；要「奇次項係數和」就代 x = −1 再相減。(1 + 0.02)¹² 用首三項：1 + 12 × 0.02 + C(12,2) × 0.02² = 1.2664，真值 1.2682，相差約 0.0018；要求「準至三位小數」就要加多一項。要學生講明為何可以只取首幾項：因為 x 很小，次方越高數值越細。
問學生：若 x = 0.5 仍只取三項，誤差會怎樣？引導到收斂條件。
04 必教題型與步驟
| 題型 | 例子 | 步驟 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 常數項 | (x + 2/x)^6 | ① 寫通項 ② 指數相加設為 0 ③ 解 r ④ 代回係數 | 160 |
| 指定次方係數 | (2x + 3)⁴ 的 x² | ① 通項寫 2² 與 3² 分開 ② 用 C(4,2) ③ 三數相乘 | 216 |
| 負號項 | (1 − x)¹⁰ 的 x³ | ① b = −x ② 保留 (−1)³ ③ 答案帶負號 | -120 |
| 係數和 | (1 + x)^8 | ① 代 x = 1 ② 得 2⁸ ③ 奇偶項用 ±1 相減 | 256 |
合理性檢查（一定要教）：用巴斯卡三角形核對：n = 6 中間係數 C(6,3) = 20，乘 2³ 得 160，與通項結果一致。係數和 256 大於最大單項係數 70，合理。估算 1.2664 略小於真值 1.2682，因為所有餘項為正，方向正確。
05 獨立練習三題
| 題目 | 答案 | 想觀察什麼 |
|---|---|---|
| 求 (x + 3)⁵ 中 x³ 的係數 | C(5,2) × 9 = 90 | 有無將 3 的次方與 x 的次方掉轉 |
| 求 (2x − 1)⁶ 的常數項 | C(6,6) × (−1)⁶ = 1 | 有無處理負號與 r = 6 |
| (1 + x)⁷ 的係數和 | 2⁷ = 128 | 有無代 x = 1 而非 x = 0 |
06 學生常見錯誤與糾正句
| 錯誤 | 學生通常這樣寫 | 導師這樣說 |
|---|---|---|
| r 由 1 開始數 | 「第 5 項即 r = 5」 | 「r 由 0 開始，第 5 項係 r = 4；寫通項時先把 r = 0 那項寫出來對照。」 |
| 常數項忘記 b 的次方 | 「C(6,3) = 20 就是答案」 | 「b = 2/x，r = 3 時要乘 2³；只寫組合數就漏了係數。」 |
| 負號只乘一次 | 「(1 − x)¹⁰ 的 x³ 係數是 +120」 | 「(−x)³ 係負，奇次項一定帶負號；先寫 (−1)³ 再算。」 |
| 係數和代 x = 0 | 「代 x = 0 得 1，所以係數和是 1」 | 「代 x = 0 只剩常數項；係數和要代 x = 1。」 |
07 家課建議（直接指到練習卷題號）
08 離場檢查（最後 5 分鐘）
| 題目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| (x + 2/x)⁶ 的常數項 | 160 | 錯：指數方程解錯 |
| (2x + 3)⁴ 的 x² 係數 | 216 | 錯：漏乘 2² 或 3² |
| (1 − x)¹⁰ 的 x³ 係數 | -120 | 錯：負號變正 |
| (1 + x)⁸ 的係數和 | 256 | 錯：代錯 x 值 |
09 導師常問
學生未學組合，可以教二項式定理嗎？
可以先用巴斯卡三角形建立規律，再引入 Cⁿᵣ 符號；兩者一齊講，學生會明白組合數就是「揀邊幾項出 b」。
展開要寫到幾多項？
除非題目要求，只寫通項與目標項；展開全部十幾項既慢又容易漏，不值得。
估算題何時要加第四項？
看題目要求的準確度與 x 的大小：x ≤ 0.05 時三項通常足夠三位小數，否則要加一項並說明。
本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。
