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DSE 数学｜微分应用 备课指引（导师用）｜切线、极值、图像判断
学生识求导，但不识用：一条三次曲线 f(x)=x³−6x²+9x+1，1 同 3 两个驻点，最大值 5、最小值 1。呢一堂练“求导→判极值→写切线→解释图像”四步。
本堂目标 学生能够：① 由 f′(x)=0 准确解出所有驻点，并用二阶导数判断极大或极小；② 在指定点写出切线方程，答案整理成 y=mx+c；③ 用导数的正负讲出函数在边个区间上升、边个区间下降，并指出图像的转向位置。
01 先备知识（开课前 3 分钟快检）
以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：
| 技能 | 快检题 | 过关标准 |
|---|---|---|
| 求导法则 | 多项式逐项求导是否熟练 | x³ → 3x²，常数项变 0 |
| 解二次方程 | f′(x)=0 是二次方程 | 可因式分解就不用公式 |
| 切线概念 | 切线斜率等于该点导数值 | 斜率 = f′(a) |
02 课堂流程（60 分钟）
| 时间 | 环节 | 导师做什么 | 学生做什么 |
|---|---|---|---|
| 0–8 分 | 起手诊断 | 三题纯求导，学生独立做 | 三题全对才继续 |
| 8–20 分 | 驻点与判别 | f′(x)=0 解出 1、3，代回求 y 值 | 两个驻点齐 |
| 20–32 分 | 二阶导数判别 | f″(x)=6x−12，代 1、3 | 判对极大极小 |
| 32–44 分 | 切线方程 | 在 x=2 写切线，整理成 y=mx+c | 斜率 -3 |
| 44–54 分 | 图像与导数 | 由 f′ 正负讲升降区间 | 三段区间讲齐 |
| 54–60 分 | 离场检查 | 三题快问快答 | 三题全对才下课 |
03 讲解脚本（照着说就可以）
第一幕：驻点不是答案，判别才是
f′(x)=3x²−12x+9=3(x−1)(x−3)，所以驻点在 x=1 同 x=3。
代回原函数：f(1)=5、f(3)=1。
再用 f″(x)=6x−12：x=1 时 f″=-6，所以是极大；x=3 时 f″=6，所以是极小。
规矩：每次写驻点都要同时写判别理由，不可以只写 x 值。
代回原函数：f(1)=5、f(3)=1。
再用 f″(x)=6x−12：x=1 时 f″=-6，所以是极大；x=3 时 f″=6，所以是极小。
规矩：每次写驻点都要同时写判别理由，不可以只写 x 值。
要学生讲：为什么 f′(x)=0 不等于一定有极值。
第二幕：切线要三样齐：点、斜率、方程
在 x=2 时，f(2)=3，f′(2)=-3。
点斜式：y−3=-3(x−2)，整理成 y=-3x+9。
常见漏项：只写斜率数字当答案；或者写成法线。
点斜式：y−3=-3(x−2)，整理成 y=-3x+9。
常见漏项：只写斜率数字当答案；或者写成法线。
要学生讲：切线方程要齐边三样资料。
第三幕：导数符号就是图像说明书
f′(x)=3(x−1)(x−3) 在 x<1 为正、1<x<3 为负、x>3 为正。
所以图像：上升、下降、再上升，先高后低再高。
作答句式：“因为 f′(x)>0，所以 f 在此区间递增。”一句一个结论，不好只写答案。
所以图像：上升、下降、再上升，先高后低再高。
作答句式：“因为 f′(x)>0，所以 f 在此区间递增。”一句一个结论，不好只写答案。
要学生讲：由正变负代表图像发生什么事。
04 必教题型与步骤
| 题型 | 例子 | 步骤 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 计算 | 求驻点 | f′(x)=0，因式分解后解 x | x=1、3 |
| 计算 | 判别极值 | 二阶导数代入，符号定极大极小 | f″(1)<0 |
| 计算 | 切线方程 | 先求点与斜率，再点斜式整理 | y=-3x+9 |
| 解释 | 递增递减区间 | 看 f′ 正负，分段写 | 三段区间 |
合理性检查（一定要教）：三项反查：把驻点代回 f′ 应该等于 0；把切线与曲线在 x=2 相交，y 值要等于 3；二阶导数符号要与“先高后低”的图形一致。
05 独立练习三题
| 题目 | 答案 | 想观察什么 |
|---|---|---|
| 求 f(x)=x³−6x²+9x+1 的驻点及极值 | 先求导、再解方程、最后判别 | x=1 极大 5；x=3 极小 1 |
| 写出在 x=2 的切线方程 | 点斜式后整理 | y=-3x+9 |
| 写出递增与递减区间 | 用 f′ 正负分段 | 三段齐全 |
| 解释为何 f′(1)=0 却是极大 | 用 f″ 符号说明 | 提到 f″<0 |
06 学生常见错误与纠正句
| 错误 | 学生通常这样写 | 导师这样说 |
|---|---|---|
| 只求 f′(x)=0 就当做完 | 漏判别，题目要求极值时失分 | “驻点只系候选，仲要判。” |
| 代错点：用 f′ 值当 y 坐标 | 切线方程整条错 | “切点 y 值用原函数，不用导数。” |
| 切线未整理成 y=mx+c | 格式分失 | “点斜式只系中途，最后要整理。” |
| 区间写成“上升下降”但无理由 | 解释题无分 | “一句结论要跟一个 f′ 符号。” |
07 家课建议（直接指到练习卷题号）
08 离场检查（最后 5 分钟）
| 题目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| f′(x)=0 之后下一步做什么？ | 代二阶导数判别 | 或者用一阶导数变号 |
| x=2 的切线斜率是多少？ | -3 | 不系 3 |
| f′ 由正变负，图像代表什么？ | 极大点 | 不系极小 |
09 导师常问
学生求导没有问题但一见应用题就停手，点算？
固定四步口诀：求导、解方程、判别、作答；每步写一行。
二阶导数几时用公式几时用因式？
能因式分解就用因式，符号一目了然。
切线与法线要不要一齐教？
分开教，先熟切线，法线用负倒数一句带过。
本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。
