DSE 数学｜梯形法则与数值积分备课指引（导师用）｜四段与八段、误差比较、收敛规律

2026-11-05

学生背得出公式，但讲不出为何“两端计一次、中间计两次”。这一堂用 x 平方在 0 到 2 的四段与八段，算出 2.75 与 2.6875，令误差由 0.0833 跌到 0.0208，亲眼见到分段加倍、误差缩四倍。

本堂目标　学生能够：①用 h 除 2 乘（两端加二乘中间和）算出 x 平方在 0 至 2 四段的 2.75；②把分段加倍到八段，算出 2.6875，并与真值三分之八（2.6667）比较，讲出误差比为 4；③用误差上限（b 减 a）乘 h 平方除 12 乘最大二阶导数，算出四段的上限 0.08333333333333333，解释为何分段越多越准。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
函数值	x 等于 1.5 时，x 平方等于多少？	2.25，要计到小数
求和	五个数的中间三项加起来，两端计不计？	分开计，中间和与两端分两组
二阶导数	x 平方的二阶导数是多少？	常数 2，与 x 无关

02　课堂流程（45 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–5 分钟	先备快检	抽问三条先备题，把分点写成一行	口头答，错的抄一次
5–17 分钟	第一幕：一条公式两个动作	示范四段：h 等于 0.5，两端 0 与 4，中间和 3.5	跟做一次，自己重算中间和
17–30 分钟	第二幕：分段加倍会怎样	八段中间和 8.75，算出 2.6875	自己算一次，再算误差
30–40 分钟	第三幕：误差有上限	用 (b−a)h²/12 乘最大二阶导数得 0.08333333333333333	自己算八段的误差上限
40–43 分钟	一句总结	要学生用一句话讲出为何中间项要乘二	口头答，导师只纠正因果词
43–45 分钟	离场检查	派三条问题，收回点错处	独立完成，不翻书

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：第一幕：梯形是“平均高度乘阔度”

每一小段用左右两点的平均高度乘阔度 h：h 乘（左加右）除 2。
4 段时 h 等于 0.5，两端高度 0.0 与 4.0，中间三点高度 0.25、1、2.25，和是 3.5。
把每段合并，中间点被左右两段各用一次，所以中间和要乘 2：0.5/2 乘（0 加 4 加 2 乘 3.5）等于 2.75。
一句记法：两端一次、中间两次、全部乘 h 除 2。

要求学生复述：中间点被两段共用，所以乘二。

第二幕：第二幕：分段加倍，误差缩四倍

八段时 h 减半为 0.25，中间七点和是 8.75，代入同一条公式得 2.6875。
真值是 0 到 2 的 x 平方积分，即三分之八，约 2.6667；四段误差 0.0833，八段误差 0.0208。误差比 4，即 h 减半、误差变四分之一，因为误差与 h 平方成正比。
百分误差由 3.13 百分比降到 0.78 百分比，这就是“分段越多越准”的量化讲法。

要求学生复述：h 减半，误差四分一；不是减半。

第三幕：第三幕：误差上限是可算的

梯形法误差上限等于（b 减 a）乘 h 平方除 12，再乘区间内二阶导数的最大绝对值。
x 平方的二阶导数是常数 2，所以四段上限是 2 乘 0.5 平方除 12 乘 2，等于 0.08333333333333333。
实际误差 0.0833 与上限相同，因为二阶导数处处等于最大值；若换成三次函数，实际误差会明显小于上限。
真实应用是表格数据：速度 0、8、12、15、16 米每秒，间隔 2 秒，梯形法得位移 86 米，因为没有函数式，只能用梯形估。

要求学生复述：上限看二阶导数，函数越弯误差越大。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
四段计算	x 平方、0 至 2、4 段	先列分点与函数值，再套公式	2.75
八段计算	同一函数、8 段	中间和要逐点加，勿漏 1.5 那点	2.6875
误差比较	四段与八段的答案	与真值相减，再求比值	比值 4，与 h 平方成反比
表格应用	速度表 0、8、12、15、16，间隔 2 秒	梯形法当作面积，单位要写	位移 86 米

合理性检查（一定要教）：三个回读：①中间和一定比两端大，若算出负数就是分点次序乱；②2.6667 是真值，2.75 与 2.6875 都应贴近它，离很远就是漏乘 h 除 2；③误差随分段增加而下降，若八段误差反而大，就是中间和用了四段的值。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
x 平方、0 至 2、两段，梯形法答案多少？	3，误差 0.3333	看有无只用两点
x 平方、0 至 1、四段，答案多少？	0.34375，真值 0.3333	看 h 是否 0.25
为何分段加倍误差缩四倍？	误差与 h 平方成正比，h 减半即四分一	看有无讲出平方关系

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
中间项乘一	四段算成 2.0	中间三点被两段共用，要乘 2。
漏乘 h 除 2	算出 11 而不是 2.75	公式前后的 h 除 2 是面积单位，不是装饰。
分点数目错	四段只列四个点	四段有五个点，段数加一才是点数。
误差讲成误差率	把 0.0833 讲成 0.0833 百分比	误差是绝对差，百分误差要再除真值乘一百。

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

本章重做　重做三题，每题先写 h 与分点
定积分与面积　比较精确定积分与梯形法答案，写三点
数学科章节索引　拣多一章，只列公式不计算

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
x 平方、0 至 2、4 段，梯形法答案	2.75	错：漏乘中间和的 2
分段由四变八，误差变几倍	四分之一	错：答成一半
误差上限看哪个量	二阶导数的最大绝对值	错：答成一阶导数

09　导师常问

这一章适合哪一年级？

中六必修部分，中五下学期可作预习。

45 分钟够不够讲三个层次？

够，因为三个层次共用一条公式，只完整算一组数。

有无配套练习？

本章练习三题，答案在页内；家课接定积分与面积那章。

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