DSE 數學｜梯形法則與數值積分備課指引（導師用）｜四段與八段、誤差比較、收斂規律

2026-11-05

學生背得出公式，但講不出為何「兩端計一次、中間計兩次」。這一堂用 x 平方在 0 到 2 的四段與八段，算出 2.75 與 2.6875，令誤差由 0.0833 跌到 0.0208，親眼見到分段加倍、誤差縮四倍。

本堂目標　學生能夠：①用 h 除 2 乘（兩端加二乘中間和）算出 x 平方在 0 至 2 四段的 2.75；②把分段加倍到八段，算出 2.6875，並與真值三分之八（2.6667）比較，講出誤差比為 4；③用誤差上限（b 減 a）乘 h 平方除 12 乘最大二階導數，算出四段的上限 0.08333333333333333，解釋為何分段越多越準。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
函數值	x 等於 1.5 時，x 平方等於多少？	2.25，要計到小數
求和	五個數的中間三項加起來，兩端計不計？	分開計，中間和與兩端分兩組
二階導數	x 平方的二階導數是多少？	常數 2，與 x 無關

02　課堂流程（45 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–5 分鐘	先備快檢	抽問三條先備題，把分點寫成一行	口頭答，錯的抄一次
5–17 分鐘	第一幕：一條公式兩個動作	示範四段：h 等於 0.5，兩端 0 與 4，中間和 3.5	跟做一次，自己重算中間和
17–30 分鐘	第二幕：分段加倍會怎樣	八段中間和 8.75，算出 2.6875	自己算一次，再算誤差
30–40 分鐘	第三幕：誤差有上限	用 (b−a)h²/12 乘最大二階導數得 0.08333333333333333	自己算八段的誤差上限
40–43 分鐘	一句總結	要學生用一句話講出為何中間項要乘二	口頭答，導師只糾正因果詞
43–45 分鐘	離場檢查	派三條問題，收回點錯處	獨立完成，不翻書

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：第一幕：梯形是「平均高度乘闊度」

每一小段用左右兩點的平均高度乘闊度 h：h 乘（左加右）除 2。
4 段時 h 等於 0.5，兩端高度 0.0 與 4.0，中間三點高度 0.25、1、2.25，和是 3.5。
把每段合併，中間點被左右兩段各用一次，所以中間和要乘 2：0.5/2 乘（0 加 4 加 2 乘 3.5）等於 2.75。
一句記法：兩端一次、中間兩次、全部乘 h 除 2。

要求學生複述：中間點被兩段共用，所以乘二。

第二幕：第二幕：分段加倍，誤差縮四倍

八段時 h 減半為 0.25，中間七點和是 8.75，代入同一條公式得 2.6875。
真值是 0 到 2 的 x 平方積分，即三分之八，約 2.6667；四段誤差 0.0833，八段誤差 0.0208。誤差比 4，即 h 減半、誤差變四分之一，因為誤差與 h 平方成正比。
百分誤差由 3.13 百分比降到 0.78 百分比，這就是「分段越多越準」的量化講法。

要求學生複述：h 減半，誤差四分一；不是減半。

第三幕：第三幕：誤差上限是可算的

梯形法誤差上限等於（b 減 a）乘 h 平方除 12，再乘區間內二階導數的最大絕對值。
x 平方的二階導數是常數 2，所以四段上限是 2 乘 0.5 平方除 12 乘 2，等於 0.08333333333333333。
實際誤差 0.0833 與上限相同，因為二階導數處處等於最大值；若換成三次函數，實際誤差會明顯小於上限。
真實應用是表格數據：速度 0、8、12、15、16 米每秒，間隔 2 秒，梯形法得位移 86 米，因為沒有函數式，只能用梯形估。

要求學生複述：上限看二階導數，函數越彎誤差越大。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
四段計算	x 平方、0 至 2、4 段	先列分點與函數值，再套公式	2.75
八段計算	同一函數、8 段	中間和要逐點加，勿漏 1.5 那點	2.6875
誤差比較	四段與八段的答案	與真值相減，再求比值	比值 4，與 h 平方成反比
表格應用	速度表 0、8、12、15、16，間隔 2 秒	梯形法當作面積，單位要寫	位移 86 米

合理性檢查（一定要教）：三個回讀：①中間和一定比兩端大，若算出負數就是分點次序亂；②2.6667 是真值，2.75 與 2.6875 都應貼近它，離很遠就是漏乘 h 除 2；③誤差隨分段增加而下降，若八段誤差反而大，就是中間和用了四段的值。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
x 平方、0 至 2、兩段，梯形法答案多少？	3，誤差 0.3333	看有無只用兩點
x 平方、0 至 1、四段，答案多少？	0.34375，真值 0.3333	看 h 是否 0.25
為何分段加倍誤差縮四倍？	誤差與 h 平方成正比，h 減半即四分一	看有無講出平方關係

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
中間項乘一	四段算成 2.0	中間三點被兩段共用，要乘 2。
漏乘 h 除 2	算出 11 而不是 2.75	公式前後的 h 除 2 是面積單位，不是裝飾。
分點數目錯	四段只列四個點	四段有五个點，段數加一才是點數。
誤差講成誤差率	把 0.0833 講成 0.0833 百分比	誤差是絕對差，百分誤差要再除真值乘一百。

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

本章重做　重做三題，每題先寫 h 與分點
定積分與面積　比較精確定積分與梯形法答案，寫三點
數學科章節索引　揀多一章，只列公式不計算

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
x 平方、0 至 2、4 段，梯形法答案	2.75	錯：漏乘中間和的 2
分段由四變八，誤差變幾倍	四分之一	錯：答成一半
誤差上限看哪個量	二階導數的最大絕對值	錯：答成一階導數

09　導師常問

這一章適合哪一年級？

中六必修部分，中五下學期可作預習。

45 分鐘夠不夠講三個層次？

夠，因為三個層次共用一條公式，只完整算一組數。

有無配套練習？

本章練習三題，答案在頁內；家課接定積分與面積那章。

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