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中六数学 向量与纯量积：第 1 份（基础）
中六数学 向量与纯量积：第 1 份（基础）
十题由向量长度与纯量积的定义开始，再练加减、单位向量与垂直条件。
直接答案 第 1 至 3 题 5、13、0；第 4 至 6 题 45°、(7, 6) 与 9.2195、(−4, 11)；第 7 至 9 题 (0.6, 0.8)、−9、25；第 10 题 23。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中六数学 向量与纯量积 |
| 适用年级 | 基础 |
02 题目（10 题）
- 基础已知 a = (3, 4)，求 |a|。
- 基础已知 a = (2, 5)、b = (4, 1)，求 a · b。
- 基础已知 a = (6, −2)、b = (1, 3)，求 a · b，并判断两向量是否垂直。
- 进阶已知 a = (1, 2)、b = (3, 1)，求两向量的夹角。
- 进阶已知 a = (2, −1)、b = (5, 7)，求 a + b 及其长度（四位小数）。
- 进阶已知 a = (1, 4)、b = (2, −1)，求 2a − 3b。
- 挑战求与向量 (3, 4) 同方向的单位向量。
- 挑战已知 a = (2, 3) 与 b = (k, 6) 互相垂直，求 k。
- 挑战已知 a = (3, 4)，求 a · a，并写出 a · a 与 |a| 的关联。
- 错题重练有学生把 (2, 3) · (4, 5) 写成 (8, 15)。错在哪里？正确答案是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | |a| = 5 | |a| = √(3² + 4²) = √25 = 5，长度必为非负数。 |
| 2 | a · b = 13 | 对应分量相乘再相加：2 × 4 + 5 × 1 = 8 + 5 = 13。 |
| 3 | a · b = 0，两向量垂直 | 6 × 1 + (−2) × 3 = 6 − 6 = 0；纯量积为 0 表示夹角 90°，即互相垂直。 |
| 4 | 45° | a · b = 5，|a| = √5、|b| = √10，cos θ = 5 ÷ √50 ≈ 0.7071，故 θ = 45°。 |
| 5 | a + b = (7, 6)，长度约 9.2195 | 分量相加得 (7, 6)，长度 √(49 + 36) = √85 ≈ 9.2195。 |
| 6 | (−4, 11) | 2a = (2, 8)、3b = (6, −3)，相减得 (−4, 11)；长度约 11.7047。 |
| 7 | (0.6, 0.8) | 除以长度 5 得 (3/5, 4/5) = (0.6, 0.8)，长度为 1。 |
| 8 | k = −9 | 垂直即 a · b = 0：2k + 18 = 0，故 k = −9。 |
| 9 | a · a = 25 = |a|² | a · a = 3² + 4² = 25，而 |a| = 5，故 a · a 等于 |a| 的平方。 |
| 10 | 纯量积的结果是纯量；正确答案 23 | 纯量积要对应分量相乘后相加：8 + 15 = 23，结果是一个数而不是向量。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。