DSE 數學｜向量與點積備課指引（導師用）｜由 a·b 一次算出夾角與投影

2026-11-04

學生識用餘弦定理求夾角，但一見 a·b 就只當公式背，不知道它同時藏住長度與角度。這一堂由一個具體的點積 14 開始，把夾角、垂直、投影與平面方程全部接上同一條線。

本堂目標　學生能夠：① 對 a = (3, 4)、b = (−2, 5) 算出 a·b = 14、|a| = 5、|b| = 5.385，並得夾角 58.7°；② 用 a·b = 0 解出未知分量（例如 (2, k)·(3, −4) = 0 得 k = 1.5）；③ 寫出 a 在 b 上的投影向量 (−0.97, 2.41)，並講出純量投影是 2.60；④ 由法向量 (2, −1, 3) 與點 (1, 2, −1) 寫出平面方程 2x − y + 3z + 3 = 0。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
三角比	cos θ 在直角三角形中是哪兩邊之比？	鄰邊除以斜邊
餘弦定理	已知三邊，怎樣求一角？	cos C = (a² + b² − c²) / 2ab
直線方程	一點加方向，可以定出甚麼？	一條直線

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	一條問題開場	兩架無人機由同一點出發，方向 (3, 4) 與 (−2, 5)，它們的夾角幾多度？	學生多數想畫圖量角
8–20 分	點積的兩種意思	並排寫 a·b = 3×(−2) + 4×5 = 14，以及 a·b = \|a\|\|b\|cos θ	兩條式互相代入
20–30 分	求夾角	cos θ = 14 / (5 × 5.385) = 0.5199	θ ≈ 58.7°
30–40 分	垂直與未知數	a·b = 0 就是 90°，用來解 k	(2, k)·(3, −4) = 0 → k = 1.5
40–52 分	投影與平面	投影向量 = (a·b / \|b\|²) b；三維用同一支法向量	(−0.97, 2.41)；2x − y + 3z + 3 = 0
52–60 分	離場檢查	三題	兩題以下重做第二幕

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：點積是一個數，但它是兩個問題的答案

先算 a·b = 3×(−2) + 4×5 = 14，這是一個純量，冇方向。再寫 a·b = |a||b|cos θ：|a| = √(9+16) = 5，|b| = √29 ≈ 5.385，所以 cos θ = 14 / 26.926 ≈ 0.5199，θ ≈ 58.7°。要講清兩件事：點積可正可負，正代表夾角小於 90°，負代表大於 90°，等於 0 就是垂直。

黑板並排寫 a·b = 14 與 a·b = |a||b|cos θ

第二幕：投影是「影子」，公式由點積直接砌出來

問：a 在 b 方向上有幾長？答：|a|cos θ，而 |a|cos θ = (a·b)/|b| = 14 / 5.385 ≈ 2.60。若要有方向的向量，就乘 b 的單位向量：(14/29)(−2, 5) = (−0.97, 2.41)。分母是 |b|² 不是 |b|，因為單位向量本身已經除了一次 |b|。

畫投影圖，標出 |a|cos θ = 2.60 與 (−0.97, 2.41)

第三幕：三維只是多一個分量，法向量就是點積的鑰匙

平面上一點 P(1, 2, −1)，法向量 n = (2, −1, 3)。平面上任何一點 X 都滿足 n·(X − P) = 0，展開就是 2(x−1) − (y−2) + 3(z+1) = 0，即 2x − y + 3z + 3 = 0。提醒：法向量與平面上任何向量都垂直，所以「垂直」在立體幾何問題裡幾乎等於「點積為零」。

板書 n·(X − P) = 0 展開四步

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
計算	由兩個分量式求點積與夾角	先點積，再除 \|a\|\|b\|，最後反餘弦	14、58.7°
求未知數	已知垂直，求分量 k	寫 a·b = 0 解一元一次方程	k = 1.5
投影	求 a 在 b 上的投影向量	先算 a·b / \|b\|²，再乘 b	(−0.97, 2.41)
立體幾何	由法向量與一點寫平面方程	n·(X − P) = 0 展開	2x − y + 3z + 3 = 0

合理性檢查（一定要教）：檢查：cos θ = 0.5199 必須落在 −1 與 1 之間，超出就是點積或長度算錯。代回驗算：a·b = |a||b|cos θ = 5 × 5.385 × 0.5199 = 14，與直接算的 14 相同。投影向量的長度應等於 |a·b| / |b| = 2.60，而 (−0.97)² + (2.41)² ≈ 6.76，開方 2.60，吻合。平面方程把 P(1, 2, −1) 代入必須等於 0：2 − 2 − 3 + 3 = 0。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
a = (1, 2)、b = (3, −1)，求夾角	約 81.9°	a·b = 1，\|a\|\|b\| = √50 ≈ 7.071
(2, k) 與 (3, −4) 垂直，求 k	k = 1.5	6 − 4k = 0
a = (3, 4) 在 b = (−2, 5) 上的投影向量	(−0.97, 2.41)	純量投影 2.60

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
把點積與叉積混在一起	「a·b 應該係一個向量」	「點積出數字，叉積出向量；求夾角永遠用點積。」
投影公式漏了平方	「除 \|b\| 就得」	「單位向量已經除了一次 \|b\|，再乘 b 就總共除 \|b\|²。」
計數機在 radian 模式	「cos⁻¹ 出 1.02」	「1.02 係 radian；題目問度數就先轉 DEG。」
平面方程移項時符號錯	「2x − y + 3z + 3 = 0 變成 − 3」	「把已知點代返去，等於 0 才叫過該點。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

數學科章節索引　全科章節
本科練習卷　第 7–10 題：點積、投影與平面方程

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
(3, 4)·(−2, 5) 等於幾？	14	錯：重做第一幕
兩向量垂直時，點積等於幾？	0	錯一題：下堂前重做
法向量 (2, −1, 3)、過 (1, 2, −1) 的平面方程	2x − y + 3z + 3 = 0	錯兩題以上：回到第三幕

09　導師常問

點積一定要用 cos 嗎？

求夾角才需要；判斷垂直、求投影、寫平面方程都只用分量式。

為甚麼投影要除 |b|²？

因為投影向量 = (純量投影) × (b 的單位向量)，而單位向量本身已除了一次 |b|。

三維要向量的叉積嗎？

求平面法向量時可用叉積，但 DSE 多數直接給法向量或用點積建立方程。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。