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中六数学 向量与纯量积：第 2 份（进阶）
中六数学 向量与纯量积：第 2 份（进阶）
本分集中夹角公式、纯量投影与 |a + b| 的展开，并引入功的计算。
直接答案 第 1 至 3 题 45°、0 与 90°、3；第 4 至 6 题 6、60°、5；第 7 至 9 题 0、4、50 J；第 10 题 约 9.899 对 10。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中六数学 向量与纯量积 |
| 适用年级 | 进阶 |
02 题目（10 题）
- 基础已知 a = (2, 1)、b = (1, 3)，求两向量的夹角。
- 基础已知 a = (−3, 4)、b = (4, 3)，求 a · b 及两向量的夹角。
- 基础已知 a = (3, 4)，求 a 在 x 轴方向上的纯量投影。
- 进阶已知 |a| = 3、|b| = 4，两向量夹角 60°，求 a · b。
- 进阶已知 a · b = 10、|a| = 5、|b| = 4，求两向量的夹角。
- 进阶已知 |a| = 3、|b| = 4，且 a 与 b 垂直，求 |a + b|。
- 挑战已知 a = (1, 2)、b = (2, −1)，求 (a + b) · (a − b)。
- 挑战已知 a = (k, 2) 与 b = (3, −6) 互相垂直，求 k。
- 挑战力 F = (6, 8) N 作用于一件物件，物件位移 d = (3, 4) m，求所作的功。
- 错题重练有学生认为 |a + b| 一定等于 |a| + |b|。以 a = (3, 4)、b = (4, 3) 检验，指出错在哪里。
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 45° | a · b = 5，|a| = √5、|b| = √10，cos θ = 5 ÷ √50 ≈ 0.7071，得 θ = 45°。 |
| 2 | a · b = 0，夹角 90° | (−3) × 4 + 4 × 3 = −12 + 12 = 0，故两向量垂直，夹角 90°。 |
| 3 | 3 | 投影 = a · b ÷ |b|，取 b = (1, 0)，得 3 ÷ 1 = 3，正是 a 的 x 分量。 |
| 4 | a · b = 6 | a · b = |a||b| cos θ = 3 × 4 × 0.5 = 6。 |
| 5 | 60° | cos θ = 10 ÷ 20 = 0.5，故 θ = 60°。 |
| 6 | 5 | 垂直时纯量积为 0，|a + b|² = 9 + 16 = 25，故 |a + b| = 5。 |
| 7 | 0 | (a + b) · (a − b) = |a|² − |b|² = 5 − 5 = 0，故两者垂直。 |
| 8 | k = 4 | 3k − 12 = 0，故 k = 4；代回验算 12 − 12 = 0。 |
| 9 | 50 J | 功 = F · d = 18 + 32 = 50，单位为焦耳。 |
| 10 | 不一定；此例 |a + b| ≈ 9.899 而 |a| + |b| = 10 | |a + b| = √98 ≈ 9.899，只有在两向量同方向时才等于 |a| + |b|；其余情况取等号会高估。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。