中六数学　向量与纯量积：第 3 份（挑战）

本分处理负纯量积与钝角、三角形内角、向量投影，并以 |a + b| 的展开反求未知量。

直接答案　第 1 至 3 题约 98.1°、约 81.9°、4 与 (4, 0)；第 4 至 6 题约 4.3589、5 与 58、0；第 7 至 9 题 −1 与 2.6458、−5、约 9.8995；第 10 题 cos θ = 0.96。

01　本卷资料（做完才看答案）

基础已知 a = (2, −1)、b = (1, 3)，求两向量的夹角（一位小数）。
基础三角形 ABC 中 A(1, 1)、B(5, 4)、C(2, 7)，求角 ABC（一位小数）。
基础已知 a = (4, 3)、b = (2, 0)，求 a 在 b 方向上的纯量投影与向量投影。
进阶已知 |a| = 2、|b| = 3、a · b = 3，求 |a + b|（四位小数）。
进阶已知 a = (2, k) 与 b = (4, 10) 平行，求 k，并求 a · b。
进阶已知 a = (5, 2)、b = (2, 5)，求 (a + b) · (a − b)，并说明 a + b 与 a − b 的相互位置。
挑战已知 |a| = 2、|b| = 1，两向量夹角 120°，求 a · b 与 |a − b|（四位小数）。
挑战已知 a = (1, 2)、b = (3, −1)，求 t 使 a + t b 与 a 垂直。
挑战已知 a = (6, 8)、b = (1, 1)，求 a 在 b 方向上的纯量投影（四位小数）。
错题重练有学生求 a = (3, 4) 与 b = (4, 3) 的夹角时，用 cos θ = a · b ÷ (|a| + |b|) = 24 ÷ 10 = 2.4。错在哪里？

题号	答案	一句解说
1	约 98.1°	a · b = 2 − 3 = −1，\|a\| = √5、\|b\| = √10，cos θ = −1 ÷ √50 ≈ −0.1414，故 θ ≈ 98.1°。
2	约 81.9°	BA = (−4, −3)、BC = (−3, 3)，纯量积 3，cos θ = 3 ÷ (5 × 4.2426) ≈ 0.1414，故角 ABC ≈ 81.9°。
3	纯量投影 4，向量投影 (4, 0)	纯量投影 = a · b ÷ \|b\| = 8 ÷ 2 = 4；向量投影 = 4 个 b 方向的单位向量 = (4, 0)。
4	约 4.3589	\|a + b\|² = 4 + 9 + 2 × 3 = 19，故 \|a + b\| = √19 ≈ 4.3589。
5	k = 5，a · b = 58	平行时分量成比例：k ÷ 10 = 2 ÷ 4，故 k = 5；a · b = 8 + 50 = 58。
6	0，两者垂直	(a + b) · (a − b) = \|a\|² − \|b\|² = 29 − 29 = 0，故 a + b 与 a − b 垂直，这是菱形对角线的性质。
7	a · b = −1，\|a − b\| ≈ 2.6458	a · b = 2 × 1 × cos 120° = −1；\|a − b\|² = 4 + 1 − 2(−1) = 7，故长度约 2.6458。
8	t = −5	(a + t b) · a = \|a\|² + t(a · b) = 5 + t(1) = 0，故 t = −5。
9	约 9.8995	a · b = 14，\|b\| = √2 ≈ 1.4142，投影 = 14 ÷ 1.4142 ≈ 9.8995。
10	分母应为 \|a\|\|b\|；cos θ = 0.96，θ ≈ 16.3°	cos θ = 24 ÷ 25 = 0.96，θ ≈ 16.26°；用长度之和作分母会得出大于 1 的值，而余弦不可能超过 1。

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