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中六数学 向量与纯量积：第 4 份（错题重练）
中六数学 向量与纯量积：第 4 份（错题重练）
十题针对常见错误：把纯量积当向量、长度写成负数、符号处理、平行与垂直混淆、用分量之和作分母。
直接答案 第 1 至 3 题 23、10、11；第 4 至 6 题 0（垂直）、平行且 a · b = 26、√2 对 2；第 7 至 9 题 −1、180°、约 108.4°；第 10 题 (0.6, 0.8)。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中六数学 向量与纯量积 |
| 适用年级 | 错题重练 |
02 题目（10 题）
- 基础求 (2, 3) · (4, 5)，并说明答案为何不是向量。
- 基础求向量 (−6, 8) 的长度。
- 基础求 (7, −2) · (3, 5)，并指出一个常见的符号错误。
- 进阶判断 a = (4, −3) 与 b = (9, 12) 是否垂直。
- 进阶已知 a = (2, 3)、b = (4, 6)，问两向量平行还是垂直？
- 进阶比较 a = (1, 0)、b = (0, 1) 的 |a + b| 与 |a| + |b|。
- 挑战已知 a = (8, 2) 与 b = (k, 4) 垂直，求 k。
- 挑战求 a = (1, 2) 与 b = (−2, −4) 的夹角，并解释答案。
- 挑战已知 a = (1, 1)、b = (−2, 1)，求两向量的夹角（一位小数）。
- 错题重练有学生求 (3, 4) 的单位向量时写成 (3/7, 4/7)。错在哪里？正确答案是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 23，纯量积结果是纯量 | 2 × 4 + 3 × 5 = 23；纯量积把两个向量对应分量相乘后相加，结果只是一个数。 |
| 2 | 10 | √(36 + 64) = √100 = 10；把分量直接相加得 2 是常见错误。 |
| 3 | 11 | 21 − 10 = 11；把 −2 × 5 写成 +10 会得出 31。 |
| 4 | 垂直，因 a · b = 0 | 36 − 36 = 0，故两向量垂直；两者长度分别为 5 与 15，长度与垂直无关。 |
| 5 | 平行，a · b = 26 | b = 2a，故两向量平行；纯量积 8 + 18 = 26 不等于 0，所以不垂直。 |
| 6 | √2 ≈ 1.414 对 2 | |a + b| = √2 ≈ 1.4142，而 |a| + |b| = 2；只会在同方向时相等。 |
| 7 | k = −1 | 8k + 8 = 0，故 k = −1；代回得 −8 + 8 = 0。 |
| 8 | 180° | a · b = −10，|a| = √5、|b| = √20，cos θ = −10 ÷ 10 = −1，故 θ = 180°，两向量方向相反。 |
| 9 | 约 108.4° | a · b = −1，cos θ = −1 ÷ √10 ≈ −0.3162，故 θ ≈ 108.4°；负值表示钝角。 |
| 10 | 分母应为长度 5；正确答案 (0.6, 0.8) | 单位向量要除以长度 √(9 + 16) = 5，得 (0.6, 0.8)；用 3 + 4 = 7 作分母并无根据。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。