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中六物理：圆周运动与万有引力 — 练习第二份（进阶，10 题）
中六物理：圆周运动与万有引力 — 练习第二份（进阶，10 题）
第二份集中万有引力与轨道：两质量间的引力、由周期求轨道速率、由地面 g 求 GM、半径与周期的关系，再计同步卫星的角速度与轨道半径，解释太空人为什么会失重，并由 GMm/r² = mv²/r 推导轨道速率。最后一题拆解“轨道越高越快”。
快速答案 两质量引力约 8.34 × 10⁻¹⁰ N；7.0 × 10⁶ m 轨道周期 5800 s 得 7.6 km/s；GM = gR² ≈ 4.0 × 10¹⁴；半径越大周期越长；同步卫星 ω ≈ 7.3 × 10⁻⁵ rad/s；轨道半径约 4.2 × 10⁷ m；失重是没有支持力；4 倍半径得 8 倍周期；v = √(GM/r) ≈ 7.6 km/s；轨道越高速率越小。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 题 |
| 建议时间 | 约 28 分钟 |
| 难度分布 | 基础 4 · 进阶 3 · 挑战 2 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中六物理｜圆周运动与万有引力：向心力、角速度与轨道周期 |
| 适用年级 | 中六 |
02 题目（10 题）
- 基础两个质量分别为 5 kg 与 10 kg 的物体相距 2 m。求它们之间的万有引力。
- 基础一个卫星在半径 7.0 × 10⁶ m 的圆轨道上运行，周期 5.8 × 10³ s。求它的轨道速率。
- 基础已知地面重力加速度 9.8 m/s²、地球半径 6.4 × 10⁶ m。求地球的 GM 值。
- 基础同样绕地球运行，轨道半径较大的卫星，周期较长还是较短？
- 进阶地球同步卫星的周期是 24 小时。求它的角速度。
- 进阶用 GM ≈ 4.0 × 10¹⁴ m³ s⁻² 估算地球同步卫星的轨道半径。
- 进阶太空站在轨道上运行的太空人为什么会“失重”？
- 挑战某行星的轨道半径是地球的 4 倍。它的公转周期是地球的几倍？
- 挑战由 GMm / r² = mv² / r 推导圆轨道速率公式，并求 r = 7.0 × 10⁶ m 时的速率。
- 错题重练有同学答“轨道越高，卫星速度越快，所以越高越容易发射”，错在哪里？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | F = G m₁ m₂ / r² = 6.67 × 10⁻¹¹ × 5 × 10 / 4 ≈ 8.34 × 10⁻¹⁰ N | 万有引力与两质量乘积成正比、与距离平方成反比。 |
| 2 | v = 2πr / T = 2π(7.0 × 10⁶) / 5800 ≈ 7.6 × 10³ m/s，即约 7.6 km/s | 轨道速率同样是圆周长除以周期。 |
| 3 | GM = g R² = 9.8 × (6.4 × 10⁶)² ≈ 4.0 × 10¹⁴ m³ s⁻² | GM 是地球的固定常数，计任何轨道都要用。 |
| 4 | 较长；开普勒第三定律 T² ∝ r³，半径越大周期越长 | 轨道越高走得越慢，两件事是同一条定律的两面。 |
| 5 | T = 86400 s；ω = 2π / T ≈ 7.3 × 10⁻⁵ rad/s | 同步卫星的角速度必须等于地球自转的角速度。 |
| 6 | r = (GM T² / 4π²)^(1/3) ≈ (4.0 × 10¹⁴ × 7.46 × 10⁹ / 39.5)^(1/3) ≈ 4.2 × 10⁷ m | 先算 r³ 再开立方，得到约 42 000 km，比地球半径大得多。 |
| 7 | 太空人与太空站同以相同加速度自由下落，两者之间没有法向力，感觉不到支持力，并非重力消失 | 失重是没有支持力，不是没有重力。 |
| 8 | T² ∝ r³：(T/T_E)² = 4³ = 64，所以 T/T_E = 8 倍 | 先平方再开方，不要直接把 4 当答案。 |
| 9 | 化简得 v = √(GM / r)；v = √(4.0 × 10¹⁴ / 7.0 × 10⁶) ≈ 7.6 × 10³ m/s | 质量 m 两边约去，所以轨道速率与卫星质量无关。 |
| 10 | 由 v = √(GM / r) 可见 r 越大速率越小；轨道越高反而越慢，但发射时要爬升更高，所需能量更多 | “越高越快”是把周期与速率混淆。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。