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DSE 物理｜圓周運動與萬有引力 備課指引（導師用）｜由向心力講到衛星週期
學生知道 F = mv²/r，但一問「向心力由邊個力提供」就空白；亦常常把「離心力」當成真實存在的力。這一堂用三個具體情境把向心力拉回真實的力。
本堂目標 學生能夠：① 用 ω = 2π/T、v = ωr 算出半徑 0.5 m、週期 1.2 s 的速率 2.62 m/s；② 用 a = v²/r 算出向心加速度 13.7 m/s²，並指出它指向圓心；③ 講出衛星軌道上「萬有引力 = 向心力」，算出 r = 7.0 × 10⁶ m 的衛星速率 7.55 km/s、週期 97 分鐘；④ 解釋同步衛星為何必須在赤道上方約 3.6 × 10⁷ m，且週期等於地球自轉。
01 先備知識（開課前 3 分鐘快檢）
以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：
| 技能 | 快檢題 | 過關標準 |
|---|---|---|
| 角速度 | T = 2 s 時 ω 是多少？ | π ≈ 3.14 rad/s |
| 平方根運算 | √(3.986 × 10¹⁴ ÷ 7.0 × 10⁶) 的量級？ | 約 7.5 × 10³ |
| 牛頓萬有引力 | F = GMm/r² 中 r 由邊度量？ | 兩質心之間距離 |
| 向量方向 | 等速率圓周運動有無加速度？ | 有，方向指向圓心 |
02 課堂流程（60 分鐘）
| 時間 | 環節 | 導師做什麼 | 學生做什麼 |
|---|---|---|---|
| 0–8 分 | 現象開場 | 用手機慢鏡拍硬幣在轉盤邊緣，問為何會飛出 | 講出「冇力拉住」的直線趨勢 |
| 8–20 分 | 角速度與線速度 | 由 T 算 ω 與 v，強調 v 與半徑成正比 | 跟算一次並標單位 |
| 20–32 分 | 向心加速度 | 用 a = v²/r 算 13.7 m/s²，與 g 比較 | 講出加速度方向與速度垂直 |
| 32–44 分 | 衛星軌道 | 由 GMm/r² = mv²/r 推 v = √(GM/r) | 自行推一次，不用抄 |
| 44–54 分 | 同步衛星 | 由 T = 24 小時反推半徑，對比地球半徑 | 指出為何必須在赤道 |
| 54–60 分 | 離場檢查 | 三題快問 | 口頭或書面作答 |
03 講解腳本（照著說就可以）
第一幕：向心力不是新一種力，是「現有合力指向圓心」
繩波、月球繞地、車過彎，向心力分別由張力、萬有引力、摩擦力提供。寫 F = mv²/r 之前，先問「邊個力指向圓心？」答錯這一步，之後全題都錯。所謂「離心力」只在旋轉參考系出現，DSE 用慣性系，不存在這個力。
叫學生指出三個情境各自的向心力來源，寫在圖上。
第二幕：由萬有引力等於向心力，推出衛星速率與週期
GMm/r² = mv²/r，約去 m 與一個 r，得 v = √(GM/r)。r = 7.0e+06 m 時 v = 7.55 km/s，T = 2πr/v = 5829 s ≈ 97 分鐘。軌道半徑越大，v 越小、T 越長，這兩件事要一齊講，否則學生會以為「越高越快」。
要學生比較兩個半徑的 v 與 T，自行講出反向關係。
第三幕：同步衛星三個條件由一條式決定
週期固定 24 小時（恒星日 86 164 s），由 T = 2π√(r³/GM) 反推 r ≈ 4.22 × 10⁷ m，速率約 3.07 km/s。軌道必須在赤道平面，否則衛星相對地面會南北漂移。三個條件（週期、平面、高度）不是背，是由「相對地面靜止」推出來。
問：為何香港不能有同步衛星正上方？引導到緯度與赤道平面。
04 必教題型與步驟
| 題型 | 例子 | 步驟 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 由週期求速率 | r = 0.5 m、T = 1.2 s | ① ω = 2π/T ② v = ωr ③ 單位 m/s | 2.62 m/s |
| 向心加速度 | 同上 | ① a = v²/r 或 ω²r ② 方向指向圓心 | 13.7 m/s² |
| 衛星速率 | r = 7.0e+06 m | ① GMm/r² = mv²/r ② v = √(GM/r) ③ 換 km/s | 7.55 km/s |
| 衛星週期 | 同上 | ① T = 2πr/v ② 換分鐘 ③ 檢查是否大於 90 分鐘 | 97 分鐘 |
合理性檢查（一定要教）：低軌衛星週期 97 分鐘，貼近常見的 90 分鐘，合理；同步衛星 24.0 小時，接近 24 小時，合理。向心加速度 13.7 m/s² 大於 g，所以硬幣在轉盤邊緣容易飛出。所有軌道半徑都要由地心起量，不是由地面起量。
05 獨立練習三題
| 題目 | 答案 | 想觀察什麼 |
|---|---|---|
| r = 2 m、v = 6 m/s，向心加速度？ | 18 m/s² | 有無用 v²/r 而非 v/r |
| 同步衛星週期是多少秒？ | 86 164 s | 是否用恒星日而非 24 小時正午 |
| r 加倍，衛星速率變幾多倍？ | 1/√2 ≈ 0.707 倍 | 有無把 v ∝ 1/√r 講成 v ∝ 1/r |
06 學生常見錯誤與糾正句
| 錯誤 | 學生通常這樣寫 | 導師這樣說 |
|---|---|---|
| 把離心力當真 | 「衛星受到離心力平衡萬有引力」 | 「慣性系冇離心力。衛星只受萬有引力，而呢個力就係向心力。」 |
| 半徑由地面起量 | 「高度 600 km，所以 r = 600 km」 | 「r 要由地心量起：地球半徑 6 400 km 要加上去。」 |
| 以為軌道越高越快 | 「越高離地球越遠，應該轉得越快」 | 「v = √(GM/r)，r 越大 v 越小；但週期越長。速度同週期要分開講。」 |
| 向心加速度方向畫錯 | 「加速度同速度同方向」 | 「等速率圓周運動速度大小不變，加速度只改方向，所以指向圓心、與 v 垂直。」 |
07 家課建議（直接指到練習卷題號）
- 物理科章節索引 先看「力與運動」，再做卷內第 1、3 題
- 醫療物理（圓周運動應用） 卷內第 2 題用到向心加速度
- 電與電路 卷內第 6 題比較帶電粒子在磁場中的圓周運動
08 離場檢查（最後 5 分鐘）
| 題目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| ω = 2π/1.2 是多少？ | 5.24 rad/s | 錯：忘記 2π |
| r = 0.5 m、v = 2.62 m/s 的 a | 13.7 m/s² | 錯：用 v/r |
| 低軌衛星週期約幾分鐘？ | 97 分鐘 | 錯：答 24 小時 |
| 同步衛星軌道平面 | 赤道平面 | 錯：答任何平面 |
09 導師常問
GM 要背嗎？
DSE 通常給 G = 6.67 × 10⁻¹¹ 與地球質量，或直接給 GM；記住 g = GM/R² 可自行推。
為何同步衛星不能在南極上空？
向心力必須指向地心且在赤道平面，否則無法相對地面靜止。
圓周運動題何時用能量？
豎直圓周（有重力位能變化）要加能量守恆；水平圓周通常只用向心力。
本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。
