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中六物理：圆周运动与万有引力 — 练习第三份（挑战，10 题）
中六物理：圆周运动与万有引力 — 练习第三份（挑战，10 题）
第三份把两部分合起来用：由半径比求周期比、由轨道半径求引力、加速度与速度的夹角、离心机的大加速度、摩擦力限制的过弯速率、绳张力、火星表面重力、由 r 到 2r 的周期变化，最后用月球轨道数据同时求速率与向心加速度，并拆解“向心力与速度同方向”这个错误。
快速答案 半径比 1:4 得周期比 8:1；500 kg 卫星受引力约 4.1 × 10³ N；加速度指向圆心并与速度成 90 度；3000 rpm 半径 0.2 m 得 1.97 × 10⁴ m/s²；摩擦系数 0.6 半径 40 m 得 15.3 m/s；0.5 kg 绳张力 10 N；火星表面 g ≈ 3.69 m/s²；r 到 2r 周期变 2.83 倍；月球速率 1.02 km/s、向心加速度 2.7 × 10⁻³ m/s²；向心力垂直于速度。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 题 |
| 建议时间 | 约 30 分钟 |
| 难度分布 | 基础 4 · 进阶 3 · 挑战 2 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中六物理｜圆周运动与万有引力：向心力、角速度与轨道周期 |
| 适用年级 | 中六 |
02 题目（10 题）
- 基础两颗卫星的轨道半径比为 1 : 4。求它们周期的比。
- 基础质量 500 kg 的卫星在半径 7.0 × 10⁶ m 的圆轨道上。求地球对它的引力。
- 基础匀速圆周运动中，加速度的方向指向哪里？与速度方向的夹角是多少？
- 基础离心机半径 0.2 m，以 3000 rpm 转动。求它的向心加速度。
- 进阶汽车在半径 40 m 的弯路上行驶，轮胎与路面摩擦系数 0.6。求不致滑出的最大速率。
- 进阶质量 0.5 kg 的小球以 4 m/s 在半径 0.8 m 的水平圆周上转动。求绳的张力。
- 进阶火星质量 6.4 × 10²³ kg、半径 3.4 × 10⁶ m。求火星表面的重力加速度。
- 挑战一个卫星的轨道半径由 r 增加到 2r。它的周期变为原来的几倍？
- 挑战月球绕地球的轨道半径约 3.84 × 10⁸ m，周期约 2.36 × 10⁶ s。求月球绕地的平均速率与向心加速度。
- 错题重练有同学答“向心力与速度同一方向，所以物体越转越快”，错在哪里？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | T² ∝ r³：(T₂/T₁)² = 4³ = 64，故 T₂ : T₁ = 8 : 1 | 周期比是半径比的 1.5 次方倍。 |
| 2 | F = GMm / r² = 4.0 × 10¹⁴ × 500 / (7.0 × 10⁶)² ≈ 4.1 × 10³ N | 这个引力同时就是卫星所需的向心力。 |
| 3 | 指向圆心，与速度方向垂直成 90 度，所以只改变方向不改变速率 | 加速度垂直于速度，才只转向不加速。 |
| 4 | f = 50 Hz；a = 4π²f²r ≈ 39.5 × 2500 × 0.2 ≈ 1.97 × 10⁴ m/s² | 先换算频率，再用 a = 4π²f²r，这个加速度约为重力加速度的二千倍。 |
| 5 | μmg = mv²/r → v = √(μ g r) = √(0.6 × 9.8 × 40) ≈ 15.3 m/s | 摩擦力提供向心力，超过上限就会滑出弯路。 |
| 6 | T = m v² / r = 0.5 × 16 / 0.8 = 10 N | 水平圆周运动中，张力就是向心力的来源。 |
| 7 | g = GM / R² = 6.67 × 10⁻¹¹ × 6.4 × 10²³ / (3.4 × 10⁶)² ≈ 3.69 m/s² | 半径小但质量也小，结果只有地球的三分之一左右。 |
| 8 | T ∝ r^1.5：2^1.5 ≈ 2.83，所以周期约为原来的 2.83 倍 | 半径加倍不等于周期加倍，要用 1.5 次方。 |
| 9 | v = 2πr / T ≈ 1.02 × 10³ m/s；a = v² / r ≈ 2.7 × 10⁻³ m/s² | 月球的向心加速度远小于地面重力加速度，正是平方反比的结果。 |
| 10 | 向心力沿半径指向圆心，与速度垂直；垂直的力只改变方向、不作功，所以速率不变 | 力与速度同方向才会改变速率，垂直只改变方向。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。