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中六物理万有引力 第三份：平方反比与开普勒定律
中六物理万有引力 第三份：平方反比与开普勒定律
在月球与不同行星上算体重与 g，再由轨道周期比推半径比，最后核对逃逸速度与圆轨道速度的分别，10 题分四级。
练习重点 g 与距离平方成反比、与质量成正比；T ∝ r^(3/2)，所以 r ∝ T^(2/3)。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 25 |
| 难度分布 | 基础 4 · 进阶 3 · 挑战 2 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中六物理：万有引力 |
| 适用年级 | 基础 4 题、进阶 3 题、挑战 2 题、错题重练 1 题 |
02 题目（10 题）
- 基础月球表面 g = 1.6 m/s²，一位 50 kg 的太空人体重是多少？
- 基础两个各 5 kg 的球相距 1 m，求它们之间的引力（G = 6.67 × 10⁻¹¹）。
- 基础某行星半径 5.0 × 10⁶ m，表面 g 为 8.0 m/s²，求其质量。
- 基础物体在离地心 3R 处，该处 g 是多少（地表取 9.8 m/s²）？
- 进阶卫星在 7.0 × 10⁶ m 的圆轨道运行（地球质量 6.0 × 10²⁴ kg），求周期。
- 进阶地球质量 6.0 × 10²⁴ kg、半径 6.4 × 10⁶ m，求逃逸速度。
- 进阶某行星质量是地球 2 倍、半径亦是 2 倍，其表面 g 与地球相比如何（地表取 9.8 m/s²）？
- 挑战两颗卫星绕同一行星运行，外侧卫星周期是内侧的 2 倍。其轨道半径是内侧的几倍？
- 挑战某行星质量是地球 3 倍而半径相同，其表面 g 是多少（地表取 9.8 m/s²）？
- 错题重练有学生用 v = √(gR) 算地球逃逸速度，得 7.9 km/s。错在哪里，正确值与相差倍数是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 80 N | W = mg = 50 × 1.6 = 80 N，比地球上同一个人轻得多，但质量仍是 50 kg。 |
| 2 | 约 1.67 × 10⁻⁹ N | F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 5 × 5 ÷ 1² ≈ 1.67 × 10⁻⁹ N，质量各增 5 倍令引力变成 25 倍。 |
| 3 | 约 3.0 × 10²⁴ kg | M = gR² ÷ G = 8.0 × 2.5 × 10¹³ ÷ 6.67 × 10⁻¹¹ ≈ 3.0 × 10²⁴ kg。 |
| 4 | 约 1.09 m/s² | g 与距离平方成反比：9.8 ÷ 3² = 9.8 ÷ 9 ≈ 1.09 m/s²。 |
| 5 | 约 5.8 × 10³ s，即约 97 分钟 | T = 2π√(r³ ÷ GM) = 2π√(3.43 × 10²⁰ ÷ 4.0 × 10¹⁴) ≈ 5.8 × 10³ s，比 24 小时短得多。 |
| 6 | 约 11.2 km/s | v = √(2GM ÷ R) = √(8.0 × 10¹⁴ ÷ 6.4 × 10⁶) ≈ 1.12 × 10⁴ m/s，即 11.2 km/s。 |
| 7 | 一半，即 4.9 m/s² | g = GM ÷ R²，质量乘 2、R² 乘 4，所以 g 变 1／2，即 4.9 m/s²。 |
| 8 | 约 1.59 倍 | 由 T ∝ r^(3/2) 得 r ∝ T^(2/3)，所以半径 = 2^(2/3) ≈ 1.59 倍。 |
| 9 | 29.4 m/s² | g 与质量成正比：9.8 × 3 = 29.4 m/s²，半径不变所以不用平方。 |
| 10 | √(gR) 是圆轨道速度；逃逸速度要乘 √2，得 11.2 km/s，相差约 1.41 倍 | v = √(2gR) = √2 × 7.9 ≈ 11.2 km/s，漏了因子 2 就只得轨道速度。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。
