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IGCSE 數學 0580 Paper 4（Extended 結構題）模擬卷（10 題・100 分）
練習卷 · IGCSE 數學
IGCSE 數學 0580 Paper 4（Extended）模擬卷：10 題、100 分、限時 2 小時 30 分鐘，涵蓋標準式、代數、比例、幾何、三角、統計、概率、數列、二次函數與立體圖形，附逐步答案與評分要點，適合 Year 10 至 Year 11 考生考前自測。
卷面資料 年級：Year 10–11（IGCSE） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：150 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：10
全卷（100 分）— 第 1 至 10 題
全部題目均須作答。答案寫在指定位置，並標明題號。計算題須列出計算步驟，並在適當時寫出單位。除特別指明外，取 π ＝ 3.142。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | (a) 將 0.000472 寫成標準式（a × 10n，1 ≤ a < 10）。〔1 分〕(b) 計算 (3.6 × 105) × (2.5 × 10-3)，答案以標準式表示。〔2 分〕(c) 一部汽車售價 $186,000，先加價 7.5%，其後再減價 4%。求最後售價。〔2 分〕(d) 將 45 分鐘表示為 2 小時的幾分之幾（最簡分數）。〔1 分〕(e) $4,500 以單利年利率 3.2% 存入銀行 2.5 年，求所得的利息。〔2 分〕 | (a) 4.72 × 10-4。〔1 分〕(b) 3.6 × 2.5 ＝ 9.0，105 × 10-3 ＝ 102，故為 9.0 × 102（＝ 900）。〔2 分〕(c) 186,000 × 1.075 ＝ $199,950；199,950 × 0.96 ＝ $191,952。〔2 分〕(d) 45 ÷ 120 ＝ 3/8。〔1 分〕(e) 4500 × 3.2% × 2.5 ＝ $360。〔2 分〕 |
| 2 | (a) 展開 (2x − 3)(x + 5)。〔2 分〕(b) 因式分解 6x2 − 9x。〔2 分〕(c) 解方程 5(x − 3) ＝ 2x + 6。〔2 分〕(d) 已知 V ＝ (1/3)πr2h，以 V、h、π 表示 r。〔2 分〕(e) 解方程 x2 − 7x + 10 ＝ 0。〔2 分〕 | (a) 2x2 + 10x − 3x − 15 ＝ 2x2 + 7x − 15。〔2 分〕(b) 3x(2x − 3)。〔2 分〕(c) 5x − 15 ＝ 2x + 6 → 3x ＝ 21 → x ＝ 7。〔2 分〕(d) r2 ＝ 3V ÷ (πh)，故 r ＝ √(3V / (πh))（取正根）。〔2 分〕(e) (x − 2)(x − 5) ＝ 0，故 x ＝ 2 或 x ＝ 5。〔2 分〕 |
| 3 | 一個餅乾食譜用 250 g 麵粉、100 g 糖、150 g 牛油，可做 24 塊餅乾。(a) 求做 60 塊餅乾所需的麵粉、糖及牛油的質量（g）。〔4 分〕(b) y 與 x2 成正比，當 x ＝ 4 時 y ＝ 48。求當 x ＝ 7 時 y 的值。〔2 分〕(c) 6 名工人需 8 日完成一項工程。若只有 4 名工人（工作速率相同），需多少日？〔2 分〕(d) 地圖比例尺為 1 : 25,000，圖上距離 6.4 cm。求實際距離（km）。〔2 分〕 | (a) 比例因子 ＝ 60 ÷ 24 ＝ 2.5；麵粉 250 × 2.5 ＝ 625 g；糖 100 × 2.5 ＝ 250 g；牛油 150 × 2.5 ＝ 375 g。〔4 分〕(b) y ＝ kx2，48 ＝ 16k，k ＝ 3；當 x ＝ 7，y ＝ 3 × 49 ＝ 147。〔2 分〕(c) 工程總量 ＝ 6 × 8 ＝ 48 人日；4 人需 48 ÷ 4 ＝ 12 日。〔2 分〕(d) 6.4 × 25,000 ＝ 160,000 cm ＝ 1,600 m ＝ 1.6 km。〔2 分〕 |
| 4 | (a) 一個正多邊形的外角為 24°。求它的邊數及每個內角的大小。〔2 分〕(b) 三角形的三個角分別為 (2x + 10)°、(3x − 10)° 及 x°。求 x 及三個角。〔2 分〕(c) 圓心角 AOB 與同一弧上的圓周角 ACB：已知 ∠ACB ＝ 68°，求 ∠AOB。〔2 分〕(d) 圓內接四邊形 ABCD 中 ∠A ＝ 115°，求 ∠C。〔1 分〕(e) 由 A 測得 B 的方位角為 118°。求由 B 測得 A 的方位角。〔3 分〕 | (a) 邊數 ＝ 360 ÷ 24 ＝ 15；內角 ＝ 180 − 24 ＝ 156°。〔2 分〕(b) (2x + 10) + (3x − 10) + x ＝ 180 → 6x ＝ 180 → x ＝ 30；三角為 70°、80°、30°。〔2 分〕(c) 圓心角 ＝ 2 × 圓周角 ＝ 2 × 68 ＝ 136°。〔2 分〕(d) 圓內接四邊形對角互補，∠C ＝ 180 − 115 ＝ 65°。〔1 分〕(e) 反方位角 ＝ 118 + 180 ＝ 298°。〔3 分〕 |
| 5 | (a) 直角三角形中斜邊 13 cm、對邊 5 cm。求該銳角 θ（1 位小數）。〔2 分〕(b) 一把 7.5 m 長的梯子與地面成 68°，求梯頂離地高度（3 位有效數字）。〔2 分〕(c) 一艘船先向東航行 12 km，再向北航行 9 km。求它與起點的距離及由起點測得的方位角。〔3 分〕(d) 三角形兩邊為 8 cm 及 11 cm，夾角 60°。求第三邊（3 位有效數字）。〔3 分〕 | (a) sin θ ＝ 5 ÷ 13，θ ＝ 22.6°。〔2 分〕(b) 高度 ＝ 7.5 × sin 68° ＝ 6.95 m。〔2 分〕(c) 距離 ＝ √(122 + 92) ＝ √225 ＝ 15 km；方位角 ＝ tan-1(12 ÷ 9) ＝ 53.1° ≈ 053°。〔3 分〕(d) a2 ＝ 64 + 121 − 2 × 8 × 11 × cos 60° ＝ 185 − 88 ＝ 97，a ＝ 9.85 cm。〔3 分〕 |
| 6 | 十名學生每天閱讀時間（分鐘）為：12, 15, 11, 18, 15, 20, 14, 15, 17, 13。(a) 求平均數。〔2 分〕(b) 求中位數。〔1 分〕(c) 求眾數及全距。〔2 分〕(d) 另一班 15 名學生的平均數為 18 分鐘。求兩班合共 25 名學生的平均數。〔3 分〕(e) 若要描述這批數據的「典型」閱讀時間，平均數與中位數哪個較合適？簡述理由。〔2 分〕 | (a) 總和 ＝ 150，平均數 ＝ 150 ÷ 10 ＝ 15 分鐘。〔2 分〕(b) 排序後：11, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 17, 18, 20；中位數 ＝ (15 + 15) ÷ 2 ＝ 15 分鐘。〔1 分〕(c) 眾數 ＝ 15 分鐘；全距 ＝ 20 − 11 ＝ 9 分鐘。〔2 分〕(d) 兩班總和 ＝ 150 + 15 × 18 ＝ 150 + 270 ＝ 420；平均數 ＝ 420 ÷ 25 ＝ 16.8 分鐘。〔3 分〕(e) 兩者皆為 15 分鐘，數據沒有極端值，兩者都合適；但眾數（15 分鐘，出現 3 次）亦可代表，一般以平均數最能利用全部數據。〔2 分〕 |
| 7 | 一個袋內有 5 個紅球、3 個藍球及 2 個綠球，隨機抽出一個球。(a) 求抽出紅球的概率。〔1 分〕(b) 抽出兩個球（不放回），求兩個都是紅球的概率。〔2 分〕(c) 抽出兩個球（不放回），求至少有一個紅球的概率。〔3 分〕(d) 抽出一个球記錄顏色後放回，再抽一個。求先藍後綠的概率。〔2 分〕(e) 重複上述有放回抽球 200 次，期望抽出多少次紅球？〔2 分〕 | (a) 5 ÷ 10 ＝ 1/2。〔1 分〕(b) 5/10 × 4/9 ＝ 20/90 ＝ 2/9。〔2 分〕(c) 兩球皆非紅 ＝ 5/10 × 4/9 ＝ 2/9；至少一紅 ＝ 1 − 2/9 ＝ 7/9。〔3 分〕(d) 3/10 × 2/10 ＝ 6/100 ＝ 0.06。〔2 分〕(e) 200 × 1/2 ＝ 100 次。〔2 分〕 |
| 8 | (a) 求數列 7, 12, 17, 22, … 的第 n 項。〔2 分〕(b) 求該數列的第 10 項。〔1 分〕(c) 103 是否該數列的項？說明理由。〔2 分〕(d) 數列 2, 7, 14, 23, 34, … 的第二階差為常數，求其第 n 項。〔3 分〕(e) 求數列 7, 12, 17, … 首 20 項之和。〔2 分〕 | (a) 公差 5、首項 7，故第 n 項 ＝ 5n + 2。〔2 分〕(b) 第 10 項 ＝ 5 × 10 + 2 ＝ 52。〔1 分〕(c) 5n + 2 ＝ 103 → n ＝ 20.2，並非整數，故 103 不是該數列的項。〔2 分〕(d) 第一階差 5, 7, 9, 11；第二階差恆為 2，設第 n 項 ＝ n2 + bn + c：n ＝ 1 得 1 + b + c ＝ 2，n ＝ 2 得 4 + 2b + c ＝ 7，解得 b ＝ 2、c ＝ −1，故第 n 項 ＝ n2 + 2n − 1（驗證第 5 項 ＝ 34）。〔3 分〕(e) 首 20 項和 ＝ 20/2 × (2 × 7 + 19 × 5) ＝ 10 × 109 ＝ 1,090。〔2 分〕 |
| 9 | 已知 f(x) ＝ x2 − 4x + 3。(a) 以配方法寫成 f(x) ＝ (x − h)2 + k，並寫出圖像的極小點。〔3 分〕(b) 解 f(x) ＝ 0。〔2 分〕(c) 求 f(−2)。〔1 分〕(d) 解 f(x) ＝ 8。〔3 分〕(e) 寫出圖像的對稱軸及 y 截距。〔2 分〕 | (a) x2 − 4x + 3 ＝ (x − 2)2 − 4 + 3 ＝ (x − 2)2 − 1；極小點為 (2, −1)。〔3 分〕(b) (x − 1)(x − 3) ＝ 0，x ＝ 1 或 3。〔2 分〕(c) f(−2) ＝ 4 + 8 + 3 ＝ 15。〔1 分〕(d) x2 − 4x + 3 ＝ 8 → x2 − 4x − 5 ＝ 0 → (x − 5)(x + 1) ＝ 0，x ＝ 5 或 −1。〔3 分〕(e) 對稱軸 x ＝ 2；y 截距 ＝ 3（即點 (0, 3)）。〔2 分〕 |
| 10 | 取 π ＝ 3.142。(a) 圓柱半徑 7 cm、高 10 cm，求體積（cm3，3 位有效數字）。〔2 分〕(b) 圓錐半徑 7 cm、高 24 cm：求斜高、體積及曲面面積。〔5 分〕(c) 半徑 6 cm 的球：求表面積及體積（3 位有效數字）。〔2 分〕(d) 半徑 6 cm 的實心半球，求其總表面積。〔2 分〕 | (a) V ＝ π × 72 × 10 ＝ 1539.58 ≈ 1,540 cm3。〔2 分〕(b) 斜高 l ＝ √(72 + 242) ＝ √625 ＝ 25 cm；V ＝ (1/3) × π × 49 × 24 ＝ 1231.66 ≈ 1,230 cm3；曲面面積 ＝ π × 7 × 25 ＝ 549.85 ≈ 550 cm2。〔5 分〕(c) 表面積 ＝ 4 × π × 62 ＝ 452.45 ≈ 452 cm2；體積 ＝ (4/3) × π × 63 ＝ 904.90 ≈ 905 cm3。〔2 分〕(d) 總表面積 ＝ 3 × π × 62 ＝ 339.34 ≈ 339 cm2（曲面 ＋ 平面圓）。〔2 分〕 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
