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中三數學練習卷：代數、方程、度量與統計（12 題・100 分・75 分鐘）
練習卷 · 中三數學・12 題・100 分・75 分鐘
中三數學練習卷：12 題共 100 分、75 分鐘，涵蓋代數式化簡與因式分解、一元一次方程與聯立方程、百分數增減、比例尺、畢氏定理、圓與圓柱的面積體積、平均數中位數眾數及概率，並附完整答案與詳細解題步驟。
卷面資料 年級：中三（S3） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：12
甲部：代數與方程
全部小題均須作答，須列出計算步驟。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 設 x、y 為正數，完成下列各項。(a) 化簡 (3x²y)(4xy³)。(b) 展開 (x+3)(x−5)。(c) 因式分解 x²−9。 (d) 因式分解 2x² − 8。 | (a) 12x³y⁴（3 分）。(b) x²−2x−15（3 分）。(c) (x+3)(x−3)（2 分）。 (d) 2(x² − 4) = 2(x + 2)(x − 2)（2 分）。 |
| 2 | 下列各方程中 x 為未知數，解方程並驗算。解下列方程。(a) 5(x−2) = 3x+4。(b) (3x−1)/2 = 4。 (c) 解 4(x + 1) = 2x + 10。 | (a) 5x−10 = 3x+4，2x = 14，x = 7（4 分）。(b) 3x−1 = 8，3x = 9，x = 3（4 分）。 (c) 4x + 4 = 2x + 10，2x = 6，x = 3（3 分）。驗算：兩邊均為 16（1 分）。 |
| 3 | 設兩個整數 x 與 y 滿足下列方程。解聯立方程 x+y = 12 及 2x−y = 3，並驗算答案。 (b) 若有兩數之和為 12、積為 35，求這兩個數。 | 兩式相加：3x = 15，x = 5（3 分）；代入 x+y = 12 得 y = 7（2 分）。驗算：2(5)−7 = 3，符合（4 分）。 (b) 兩數為 5 與 7（4 分）。 |
| 4 | 一本書的定價為 $240，書店先後調整價格。一本書原價 $240，先加價 15%，然後再減價 20%。(a) 求加價後的售價。(b) 求最終售價。(c) 求最終售價相對原價的百分數變動。 (d) 若最終售價再打九折，求新售價。 | (a) 240 × 1.15 = $276（3 分）。(b) 276 × 0.8 = $220.8（3 分）。(c) (220.8−240)÷240×100% = −8%，即較原價低 8%（3 分）。 (d) 220.8 × 0.9 = $198.72（3 分）。 |
乙部：度量、圖形與空間
全部小題均須作答，答案須附單位。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | 某城市地圖的比例尺為 1:25000。某地圖的比例尺為 1:25000。(a) 地圖上兩地相距 4.8 cm，求實際距離，以 km 表示。(b) 實際相距 3 km 的兩地，在圖上相距多少 cm？ (c) 地圖上 1 cm² 代表實際面積多少 km²？ | (a) 4.8 × 25000 = 120000 cm = 1.2 km（4 分）。(b) 3 km = 300000 cm，300000 ÷ 25000 = 12 cm（4 分）。 (c) 1 cm 代表 0.25 km，故面積為 0.25² = 0.0625 km²（4 分）。 |
| 6 | 下列各題均與直角三角形有關。一個直角三角形的兩股分別長 6 cm 與 8 cm。(a) 求斜邊長度。(b) 另一個直角三角形斜邊長 13 cm、一股長 5 cm，求另一股長度。 (c) 三邊長 9 cm、12 cm、15 cm 的三角形是否直角三角形？說明理由。 | (a) √(6²+8²) = √100 = 10 cm（5 分）。(b) √(13²−5²) = √144 = 12 cm（4 分）。 (c) 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15²，故為直角三角形（4 分）。 |
| 7 | 一個圓形的半徑為 7 cm。一個圓的半徑為 7 cm，取 π = 22/7。(a) 求圓面積。(b) 求圓周。 (c) 若半徑加倍，圓面積變為原來的多少倍？ | (a) (22/7) × 7² = 154 cm²（4 分）。(b) 2 × (22/7) × 7 = 44 cm（4 分）。 (c) 面積與半徑的平方成正比，故變為 4 倍（4 分）。 |
| 8 | 一個實心圓柱形容器的半徑為 3 cm、高 10 cm。一個圓柱的半徑 3 cm、高 10 cm，取 π = 3.14。(a) 求體積。(b) 求總表面積。 (c) 若高減半而半徑不變，體積變為原來的幾分之幾？ | (a) 3.14 × 3² × 10 = 282.6 cm³（5 分）。(b) 2 × 3.14 × 3² + 2 × 3.14 × 3 × 10 = 56.52 + 188.4 = 244.92 cm²（4 分）。 (c) 體積與高成正比，故變為原來的一半（4 分）。 |
丙部：統計與概率
全部小題均須作答，概率答案以分數表示。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | 以下是某班六名學生一次測驗的分數。一組數據：3, 5, 5, 7, 9, 10。(a) 求平均數。(b) 求中位數。(c) 求眾數。 (d) 求這組數據的全距。 | (a) (3+5+5+7+9+10)÷6 = 39÷6 = 6.5（3 分）。(b) 中間兩數為 5 與 7，中位數 = 6（3 分）。(c) 眾數 = 5（2 分）。 (d) 全距 = 10 − 3 = 7（3 分）。 |
| 10 | 袋中的球除顏色外完全相同。袋中有紅球 3 個、藍球 5 個、綠球 2 個，隨機抽出一個。(a) 求抽到紅球的概率。(b) 求抽到不是藍球的概率。 (c) 求抽到紅球或綠球的概率。 | (a) 3/10（4 分）。(b) (3+2)/10 = 5/10 = 1/2（4 分）。 (c) (3 + 2)/10 = 1/2（4 分）。 |
| 11 | 運用指數定律完成下列各題。化簡：(a) 2³ × 2⁴，以指數及數值表示。(b) (a²)³。(c) 5⁰。 (d) 化簡 (2x³)²。 | (a) 2⁷ = 128（3 分）。(b) a⁶（3 分）。(c) 1（2 分）。 (d) 4x⁶（3 分）。 |
| 12 | 解下列不等式。解不等式 3x + 5 小於 20，並寫出最大的整數解。 (b) 若 x 為正整數，寫出所有可能的 x 值。 | 3x 小於 15，x 小於 5（4 分）；最大的整數解為 4（4 分）。 (b) x 可為 1、2、3、4（4 分）。 |
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