中五物理練習卷：牛頓運動定律與動量

一輛質量 4.0 kg 的小車靜止在無摩擦水平軌道上，受一水平恆力 18 N 推動。

(a) 求小車的加速度。（2 分）
(b) 求 3.0 s 後小車的速度。（2 分）
(c) 求 3.0 s 內小車移動的距離。（1 分）

(a) 由 F = ma，a = F / m = 18 / 4.0 = 4.5 m s⁻²。（2 分）
(b) 由靜止起以恆加速度運動，v = at = 4.5 × 3.0 = 13.5 m s⁻¹。（2 分）
(c) s = ½at² = 0.5 × 4.5 × 3.0² = 20.2 m。（1 分）

一個質量 6.0 kg 的球以動量 24 kg m s⁻¹ 向右運動。

(a) 求球的速度。（2 分）
(b) 求球的動能。（2 分）
(c) 若球在 4.0 s 內均勻減速至靜止，求作用於球的平均淨力，並指出方向。（3 分）

(a) p = mv，v = p / m = 24 / 6.0 = 4.0 m s⁻¹。（2 分）
(b) E_k = ½mv² = 0.5 × 6.0 × 4² = 48 J。（2 分）
(c) 平均淨力 F = Δp / Δt = 24 / 4.0 = 6.0 N，方向與運動方向相反（向左）。（3 分）

一名質量 60 kg 的學生站在升降機內的磅秤上（取 g = 9.81 m s⁻²）。

(a) 升降機以 2.0 m s⁻² 向上加速，求磅秤讀數。（3 分）
(b) 比較讀數與學生的重量，並解釋差異。（2 分）
(c) 升降機改以 3.0 m s⁻¹ 等速上升，求讀數。（2 分）
(d) 若纜繩突然斷裂，升降機自由下落，求讀數。（1 分）

(a) 取向上為正：R − mg = ma，R = m(g + a) = 60 × (9.81 + 2.0) = 708.6 N（約 709 N）。（3 分）
(b) 學生重量 W = mg = 588.6 N，讀數比重量大 120 N，因為升降機向上加速，磅秤需提供額外向上的淨力。（2 分）
(c) 等速上升時 a = 0，R = mg = 588.6 N。（2 分）
(d) 自由下落時 a = g 向下，R = m(g − g) = 0 N。（1 分）

質量 10 kg 的木箱放在水平地面上，受 45 N 水平推力。木箱與地面之間的動摩擦係數為 0.25（取 g = 9.81 m s⁻²）。

(a) 求作用於木箱的摩擦力大小。（3 分）
(b) 求木箱的加速度。（3 分）
(c) 若水平推力增至 60 N，求新的加速度。（2 分）

(a) 正向力 N = mg = 10 × 9.81 = 98.1 N，摩擦力 f = μN = 0.25 × 98.1 = 24.5 N。（3 分）
(b) 淨力 = 45 − 24.5 = 20.5 N，a = 淨力 / m = 2.05 m s⁻²。（3 分）
(c) 新淨力 = 60 − 24.5 = 35.5 N，a = 3.55 m s⁻²。（2 分）

在無摩擦水平軌道上，一輛質量 2.0 kg 的小車以 6.0 m/s 撞向一輛靜止、質量 4.0 kg 的小車，碰撞後兩車黏在一起運動。

(a) 求碰撞後兩車的共同速度。（3 分）
(b) 求碰撞前後的總動能，並求動能損失。（3 分）
(c) 解釋為何動量守恆，但動能並不守恆。（2 分）

(a) 動量守恆：2.0 × 6.0 = (2.0 + 4.0) × v，v = 12 / 6.0 = 2.00 m s⁻¹。（3 分）
(b) 碰撞前 E_k = ½ × 2.0 × 6.0² = 36 J；碰撞後 E_k = ½ × 6.0 × 2.0² = 12 J；損失 24 J（66.7%）。（3 分）
(c) 碰撞過程中系統不受外力（水平方向淨外力為零），故動量守恆；但兩車黏合屬完全非彈性碰撞，部分動能轉化為熱能及形變能，故動能不守恆。（2 分）

一個小球從高 1.8 m 的桌面以 5.0 m/s 水平射出（忽略空氣阻力，取 g = 9.81 m s⁻²）。

(a) 求小球落地的時間。（3 分）
(b) 求落點與桌面邊緣的水平距離。（2 分）
(c) 求小球落地時速度的大小及方向。（3 分）

(a) 豎直方向自由落體：h = ½gt²，t = √(2h/g) = √(2 × 1.8 / 9.81) = 0.61 s。（3 分）
(b) 水平方向等速：x = 5.0 × 0.606 = 3.03 m。（2 分）
(c) v_y = gt = 9.81 × 0.606 = 5.94 m s⁻¹，v = √(5.0² + 5.94²) = 7.77 m s⁻¹，與水平成 θ = tan⁻¹(5.94/5.0) = 50° 向下。（3 分）

一輛汽車在半徑 50 m 的水平彎路行駛，輪胎與路面之間的摩擦係數為 0.60（取 g = 9.81 m s⁻²）。

(a) 求汽車能安全過彎的最大速率，並以 km/h 表示。（3 分）
(b) 解釋是甚麼力提供汽車轉彎所需的向心力。（3 分）
(c) 下雨後摩擦係數降至 0.35，求新的最大安全速率。（2 分）

(a) 靜摩擦提供向心力：μmg = mv²/r，v = √(μgr) = √(0.60 × 9.81 × 50) = 17.2 m s⁻¹（= 61.8 km/h）。（3 分）
(b) 向心力由輪胎與路面之間的靜摩擦力提供，方向指向彎心；若摩擦力不足，汽車會沿切線滑出。（3 分）
(c) v = √(0.35 × 9.81 × 50) = 13.1 m s⁻¹，明顯較低，故濕滑路面須減速。（2 分）

一個質量 0.15 kg 的球以 20 m/s 垂直撞向牆壁，並以 15 m/s 反彈。球與牆的接觸時間為 0.020 s（取 g = 9.81 m s⁻²）。

(a) 求球在碰撞中動量變化的大小。（3 分）
(b) 求牆作用於球的平均力。（3 分）
(c) 球的重量只有約 1.5 N，為何平均力遠大於重量？試解釋。（2 分）

(a) 取遠離牆為正：Δp = m(v − u) = 0.15 × (15 − (−20)) = 5.25 kg m s⁻¹。（3 分）
(b) F = Δp / Δt = 5.25 / 0.020 = 262 N（約 263 N）。（3 分）
(c) 球的重量僅 1.47 N，但碰撞時間極短，動量在 0.020 s 內大幅改變，由 F = Δp/Δt 可知平均力可達重量的百多倍。（2 分）

質量 3.0 kg 與 5.0 kg 的兩個物塊由一條輕繩繞過光滑定滑輪連接，5.0 kg 的一方下降（取 g = 9.81 m s⁻²）。

(a) 求系統的加速度。（4 分）
(b) 求繩的張力。（3 分）
(c) 解釋張力為何介乎兩個物塊的重量之間。（3 分）

(a) 對 5.0 kg：5g − T = 5a；對 3.0 kg：T − 3g = 3a。相加得 a = (5 − 3)g / (5 + 3) = 2.45 m s⁻²。（4 分）
(b) T = 3(g + a) = 3 × (9.81 + 2.45) = 36.8 N。（3 分）
(c) 兩物塊以共同加速度運動：3.0 kg 需向上加速，故 T > 3g（29.4 N）；5.0 kg 向下加速，故 T 小於 5g（49.1 N）。因此 T 介乎兩者重量之間。（3 分）

一輛質量 1200 kg 的汽車以 25 m/s 在水平路面行駛，撞牆後完全停下。

(a) 求汽車碰撞前的動量及動能。（3 分）
(b) 若汽車在 0.12 s 內停下，求牆作用於汽車的平均力。（3 分）
(c) 若汽車設有潰縮區，停下時間延長至 0.80 s，求平均力。（2 分）
(d) 解釋潰縮區如何減少乘客受傷的機會。（2 分）

(a) p = mu = 1200 × 25 = 30000 kg m s⁻¹（3.0 × 10⁴）；E_k = ½mu² = 0.5 × 1200 × 25² = 375000 J（3.75 × 10⁵ J）。（3 分）
(b) F = Δp / Δt = 30000 / 0.12 = 250000 N（2.5 × 10⁵ N）。（3 分）
(c) F = 30000 / 0.80 = 37500 N（3.75 × 10⁴ N）。（2 分）
(d) 潰縮區延長碰撞時間，在動量變化相同的情況下平均力大幅減少（約為原來的六分之一），乘客承受的加速度及受傷風險隨之降低。（2 分）

一個質量 0.020 kg 的子彈以 400 m/s 水平射入一個靜止在光滑水平面上的 3.0 kg 木塊，並嵌入其中。木塊隨後壓縮一條彈簧常數 k = 800 N/m 的彈簧。

(a) 求子彈嵌入後木塊與子彈的共同速度。（3 分）
(b) 求彈簧的最大壓縮量。（4 分）
(c) 求碰撞過程中損失的動能佔原有動能的百分比。（3 分）

(a) 動量守恆：0.020 × 400 = (0.020 + 3.0) × v，v = 8.0 / 3.02 = 2.65 m s⁻¹。（3 分）
(b) 碰撞後動能全部轉為彈性勢能：½(M+m)v² = ½kx²，x = v√((M+m)/k) = 2.649 × √(3.02/800) = 0.163 m（約 16 cm）。（4 分）
(c) 原有 E_k = ½ × 0.020 × 400² = 1600 J；碰撞後 E_k = 10.6 J；損失 1589 J，即 99.3%，大部分動能轉為熱能及形變能。（3 分）

用打點計時器記錄一輛小車在斜面上的運動。紙帶每 0.10 s 記錄一段位移，連續四段位移為 4.9 cm、6.9 cm、8.9 cm、10.9 cm。

(a) 求每段位移的增加量。（2 分）
(b) 求小車的加速度。（3 分）
(c) 若小車質量為 0.50 kg，求作用於小車的淨力。（2 分）
(d) 提出兩個實驗誤差來源，並各提出一個改善方法。（3 分）

(a) 每段位移增加量 = 6.9 − 4.9 = 2.0 cm，其餘兩段同為 2.0 cm，表示加速度均勻。（2 分）
(b) Δs = aT²，a = 0.020 / 0.10² = 2.0 m s⁻²。（3 分）
(c) F = ma = 0.50 × 2.0 = 1.0 N。（2 分）
(d) 誤差來源：①紙帶與計時器之間的摩擦，改善方法是保持紙帶暢順、定期更換碳紙；②量度位移的隨機誤差，改善方法是使用較多段位移取平均及用較精細的刻度尺。（其他合理答案亦可，每個 1.5 分，共 3 分）