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中六數學練習卷：等差數列、等比數列與求和法（100 分）
練習卷 · 數學 數列與求和
中六數學練習卷：全卷 6 題 24 部分、100 分、75 分鐘，按香港中學文憑數學科必修部分編寫，涵蓋等差數列通項與部分和、等比數列與無限和、Σ 求和法、複利與折舊等增長模型、等差與等比中項，以及由部分和反求通項。每題附評分要點與計分方法，適合中六學生限時操卷及自我核對。
卷面資料 年級： ｜ 科目：數學 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：24
第一部分：等差數列的通項與部分和（17 分）
某等差數列的首項為 7，公差為 5。第 n 項 T(n) = a + (n − 1)d，首 n 項和 S(n) = n/2 [2a + (n − 1)d]。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | (a) 求該數列的第 20 項。（4 分） | 答案：T(20) = 7 + (20 − 1) × 5 = 7 + 95 = 102。評分：代入通項 2 分、計算 1 分、答案 1 分。 |
| 2 | (b) 求首 15 項之和。（4 分） | 答案：S(15) = 15/2 [2 × 7 + 14 × 5] = 15/2 × 84 = 630。評分：公式 2 分、括號內計算 1 分、答案 1 分。 |
| 3 | (c) 若某一項的值為 202，求該項的項數。（4 分） | 答案：7 + (n − 1) × 5 = 202 → (n − 1) × 5 = 195 → n − 1 = 39 → n = 40，即 202 是第 40 項。評分：列方程 2 分、解方程 1 分、答案 1 分。 |
| 4 | (d) 求最小的 n，使首 n 項之和超過 2,000。（5 分） | 答案：S(n) = n/2 [14 + 5(n − 1)] = n(5n + 9)/2。要求 n(5n + 9)/2 > 2000，即 n(5n + 9) > 4,000。當 n = 27，27 × 144 = 3,888，不足；當 n = 28，28 × 149 = 4,172，已超過。故最小 n = 28，此時 S(28) = 2,086。評分：化簡 S(n) 2 分、建立不等式 1 分、試值 1 分、答案 1 分。 |
第二部分：等比數列的通項、部分和與無限和（17 分）
某等比數列的首項為 3，公比為 2。第 n 項 T(n) = a·r^(n−1)，首 n 項和 S(n) = a(r^n − 1)/(r − 1)。當 |r| 小於 1 時，無限和 S(∞) = a/(1 − r)。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | (a) 求該數列的第 10 項。（4 分） | 答案：T(10) = 3 × 2^9 = 3 × 512 = 1536。評分：代入通項 2 分、指數計算 1 分、答案 1 分。 |
| 6 | (b) 求首 8 項之和。（4 分） | 答案：S(8) = 3(2^8 − 1)/(2 − 1) = 3 × 255 = 765。評分：公式 2 分、指數 1 分、答案 1 分。 |
| 7 | (c) 另一等比數列首項 48、公比 3/4，求其無限和。（4 分） | 答案：因 |3/4| 小於 1，S(∞) = 48 / (1 − 3/4) = 48 / 0.25 = 192。評分：判斷收斂 1 分、公式 2 分、答案 1 分。 |
| 8 | (d) 就首項 3、公比 2 的數列，求最小的 n 使 T(n) 大於 10,000。（5 分） | 答案：3 × 2^(n−1) > 10,000 → 2^(n−1) > 3,333.3。因 2^11 = 2,048 不足而 2^12 = 4,096 足夠，故 n − 1 = 12，n = 13，T(13) = 12,288。評分：不等式 2 分、比較 2 分、答案 1 分。 |
第三部分：Σ 求和法與數列求和的應用（17 分）
常用結果：Σ(k = 1 至 n) k = n(n + 1)/2；Σ(k = 1 至 n) ar^(k−1) = a(r^n − 1)/(r − 1)；首 n 個奇數之和為 n²。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | (a) 求 Σ(k = 1 至 20) (3k + 2)。（4 分） | 答案：Σ(3k + 2) = 3Σk + Σ2 = 3 × (20 × 21/2) + 2 × 20 = 630 + 40 = 670。評分：拆項 1 分、Σk 1 分、常數項 1 分、答案 1 分。 |
| 10 | (b) 求 Σ(k = 1 至 12) 2^k。（4 分） | 答案：此為首項 2、公比 2、共 12 項的等比和：2(2^12 − 1)/(2 − 1) = 2 × 4,095 = 8190。評分：辨認等比 2 分、公式 1 分、答案 1 分。 |
| 11 | (c) 某等差數列首項 5、公差 6、末項 89，求項數及該數列各項之和。（4 分） | 答案：5 + (n − 1) × 6 = 89 → n − 1 = 14 → n = 15；S = 15/2 (5 + 89) = 7.5 × 94 = 705。評分：求 n 2 分、求和 1 分、答案 1 分。 |
| 12 | (d) 利用「首 n 個奇數之和為 n²」求 1 + 3 + 5 + … + 49，並說明為何此結果與等差求和公式一致。（5 分） | 答案：由 2n − 1 = 49 得 n = 25，故和為 25² = 625。以等差公式核對：首項 1、公差 2、25 項，S = 25/2 [2 + 24 × 2] = 25/2 × 50 = 625，兩法一致。評分：求 n 2 分、平方結果 1 分、公式核對 2 分。 |
第四部分：複利、折舊與增長模型（17 分）
複利公式：本利和 = P(1 + r)^n。折舊（餘額遞減法）：價值 = P(1 − r)^n。每年定額存入 A、年利率 r、共 n 期，期末本利和 = A[(1 + r)^n − 1]/r。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 13 | (a) 甲存入 50,000 元，年利率 4%，按年複利，求 6 年後的本利和（準確至分）。（4 分） | 答案：50,000 × 1.04^6 = 50,000 × 1.265319 = 63,265.95 元。評分：公式 2 分、指數值 1 分、答案及單位 1 分。 |
| 14 | (b) 一部機器原值 200,000 元，每年按餘額折舊 15%，求 4 年後的帳面值。（4 分） | 答案：200,000 × 0.85^4 = 200,000 × 0.52200625 = 104,401.25 元。評分：折舊因子 2 分、指數 1 分、答案 1 分。 |
| 15 | (c) 承 (a)，求最少需要多少年，本利和才不少於 100,000 元。（4 分） | 答案：需 1.04^n ≥ 2。1.04^17 ≈ 1.948 不足，1.04^18 ≈ 2.026 足夠，故最少 18 年。評分：建立不等式 2 分、試值 1 分、答案 1 分。 |
| 16 | (d) 乙每年年終存入 12,000 元，年利率 4%，連續 10 年，求 10 年後的本利和。（5 分） | 答案：本利和 = 12,000 × [(1.04^10 − 1)/0.04] = 12,000 × 12.006107 = 144,073.29 元。評分：辨認等比和 2 分、公式 2 分、答案 1 分。 |
第五部分：中項、等比中項與無限和（16 分）
若 a、b、c 成等差，則 b = (a + c)/2；若 a、b、c 成等比且同號，則 b² = ac。在兩數之間插入 k 個等差中項時，公差 = (末項 − 首項)/(k + 1)。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 17 | (a) 某等差數列第 3 項為 14、第 7 項為 30，求首項與公差。（4 分） | 答案：兩式相減得 4d = 16，故 d = 4；代回 a + 2d = 14 得 a = 6。評分：列兩式 2 分、求 d 1 分、求 a 1 分。 |
| 18 | (b) 若 2、x、18 成等比數列且 x 為正數，求 x。（4 分） | 答案：x² = 2 × 18 = 36，x 為正故 x = 6。評分：等比中項關係 3 分、取正根 1 分。 |
| 19 | (c) 某等比數列首項 64、公比 −1/2，求其無限和。（4 分） | 答案：|−1/2| 小於 1，故 S(∞) = 64 / (1 + 1/2) = 64 × 2/3 ≈ 42.67（即 128/3）。評分：收斂判斷 1 分、公式 2 分、答案 1 分。 |
| 20 | (d) 在 5 與 30 之間插入 4 個等差中項，寫出該 4 個數。（4 分） | 答案：共 6 個間隔，公差 = (30 − 5)/5 = 5，故 4 個中項為 10、15、20、25。評分：求公差 2 分、列出各項 2 分。 |
第六部分：由部分和反求通項與綜合應用（16 分）
若 S(n) 為首 n 項之和，則當 n ≥ 2 時 T(n) = S(n) − S(n − 1)，而 T(1) = S(1)。循環小數可視為無限等比數列之和。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 21 | (a) 某數列首 n 項和 S(n) = 3n² + 5n，求通項 T(n)、首項與公差，並判斷它是否等差。（4 分） | 答案：T(n) = S(n) − S(n − 1) = 3n² + 5n − [3(n − 1)² + 5(n − 1)] = 6n + 2，故 T(1) = 8、T(2) = 14，公差 = 6，T(n) 為 n 的一次式，所以是等差數列。評分：相減 2 分、首項與公差 1 分、判斷 1 分。 |
| 22 | (b) 某等比數列首 3 項之和為 26，無限和為 27，求首項 a 與公比 r。（4 分） | 答案：a/(1 − r) = 27 且 a(1 + r + r²) = 26，兩式相除得 (1 − r)/(1 + r + r²) = 26/27，解得 r = 1/3，再由 a = 27(1 − r) 得 a = 18。評分：列兩式 1 分、解 r 2 分、求 a 1 分。 |
| 23 | (c) 把 0.272727… （27 循環）化為最簡分數。（4 分） | 答案：0.272727… = 0.27 + 0.0027 + …，首項 0.27、公比 0.01，無限和 = 0.27/(1 − 0.01) = 0.27/0.99 = 27/99 = 3/11。評分：辨認等比 1 分、求和 2 分、約簡 1 分。 |
| 24 | (d) 三個數成等比數列，和為 21，積為 216，求此三數。（4 分） | 答案：設三數為 a/r、a、ar，則積 a³ = 216 得 a = 6；再由 6/r + 6 + 6r = 21 得 2r² − 5r + 2 = 0，即 r = 2 或 1/2，故三數為 3、6、12。評分：設項 1 分、求 a 1 分、解 r 1 分、答案 1 分。 |
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