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DSE 數學｜等差與等比數列求和 備課指引（導師用）｜通項、求和、應用三步走
學生記得住兩條公式，但一見「第幾個月開始超過」就亂。問題不在公式，在於未習慣先把題目翻譯成 a、d、r、n 四個字母，再決定用哪條式。
本堂目標 學生能夠：① 由題目寫出首項 a、公差 d 或公比 r，並分清 n 是項數不是末項；② 用 T(n) 與 S(n) 兩條公式互推，例如 a=3、d=4 時算出 T(20)=79、S(20)=820；③ 遇到「超過某數」的應用題，設不等式而不用硬試；④ 判斷無窮等比何時收斂，並算出和。
01 先備知識（開課前 3 分鐘快檢）
以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：
| 技能 | 快檢題 | 過關標準 |
|---|---|---|
| 代數運算 | 把 3+4(n−1) 化簡 | 4n−1 |
| 指數律 | 3 的 6 次方是多少？ | 729 |
| 不等式 | 解 3+4(n−1) > 50 | n > 12.75 |
02 課堂流程（60 分鐘）
| 時間 | 環節 | 導師做什麼 | 學生做什麼 |
|---|---|---|---|
| 0–8 分 | 快檢三題 | 化簡、指數、解不等式 | 口頭答 |
| 8–20 分 | 通項與項數 | 示範由 a、d 寫 T(n)，強調 n 與末項之別 | 寫出三條通項 |
| 20–32 分 | 求和公式來源 | 用倒序相加推等差和，用錯位相減推等比和 | 跟推一次 |
| 32–42 分 | 應用題設式 | 示範「超過」要設不等式 | 獨立設式 |
| 42–55 分 | 無窮等比 | 講收斂條件 |r|<1 與公式 | 判斷三例收斂否 |
| 55–60 分 | 離場檢查 | 三題快問 | 口頭作答 |
03 講解腳本（照著說就可以）
第一幕：n 是項數，不是末項
第一步永遠是把題目翻譯成四個字母。首項 a 是第一項的數值，公差 d 是後項減前項，項數 n 是「有幾個項」，不是最後一項的數值。示範：a=3、d=4 的第 20 項是 T(20)=3+(20−1)×4=79，這裡 20 是項數，79 才是數值。很多學生把「第 20 項」寫成 n=79，就是把項數與數值混淆。練習時要求每題先寫「a=…, d=…, n=…」一行，才准動筆計。
叫學生口頭講出「n 是項數」，講錯即重新標一次。
第二幕：兩條求和公式親手推一次
等差求和用倒序相加：S=3+(3+4)+…+79，倒過來寫一次，兩式相加每對都是 3+79=82，共有 20 對，所以 S=20×82/2=820。等比求和用錯位相減：S 乘 r 再減 S，中間項全部消掉，剩下 a(r^n−1)/(r−1)。親手推一次的好處是：忘記公式時可以即場重建，而且知道公式在 r=1 時不適用，因為分母會變零，r=1 要直接寫 na。
要求學生推完之後，自己講出 r=1 為何要另外處理。
第三幕：應用題：由「第幾項」變成「不等式」
題目說「第幾個月起總數超過 1,500」，就要設 S(n)>1500 而不是逐個月加。以 a=3、d=4 為例，S(n)=20×… 的解是 n 的二次不等式，解出下限再向上取整，因為 n 必須是整數。無窮等比則先看 |r|<1：a=8、r=1/2 時和是 16，若 |r|≥1 就發散，不可用公式。答題時寫一句收斂條件，通常就是那一分。
故意給一題 r=2 的無窮等比，看學生會不會照代公式。
04 必教題型與步驟
| 題型 | 例子 | 步驟 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 通項 | 求第 n 項 | 寫 a、d 或 r，代 T(n) | T(20)=79 |
| 有限和 | 求前 n 項和 | 數清項數，代 S(n) | S(20)=820 |
| 應用 | 第幾項起超過某值 | 設不等式，解完向上取整 | n 為整數 |
| 無窮和 | 無窮等比收斂 | 先驗 |r|<1，再代 a/(1−r) | 8、1/2 得 16 |
合理性檢查（一定要教）：數要對得上：a=3、d=4、n=20 時，T(20)=3+19×4=79，S(20)=20×(3+79)/2=820。等比 a=2、r=3、n=6：T(6)=2×3^5=486，S(6)=2(3^6−1)/(3−1)=728。無窮等比 a=8、r=1/2 的和是 8/(1−1/2)=16。檢查法：把算出的 S(n) 減 S(n−1)，應該剛好等於 T(n)，不等就是項數用錯。
05 獨立練習三題
| 題目 | 答案 | 想觀察什麼 |
|---|---|---|
| a=3、d=4，求 T(20) 與 S(20) | 79 與 820 | 有無先寫 a、d、n |
| 等比 2、3、9…，求 S(6) | 728 | 項數是否 6 項 |
| a=5、r=2 的無窮等比可否求和？ | 不可，|r|≥1 發散 | 有無講收斂條件 |
06 學生常見錯誤與糾正句
| 錯誤 | 學生通常這樣寫 | 導師這樣說 |
|---|---|---|
| 把項數當末項 | 第 20 項所以 n=79 | 「n 係項數，20 就係 n。79 係 T(20)，唔係 n。」 |
| 等比用錯項數 | S6 只加 5 項 | 「由第一項數到第六項係 6 項，唔係 6−1。」 |
| 無窮等比不看 r | r=2 都照代 a/(1−r) | 「分母會變負數，呢條式只適用於 |r|<1。」 |
| 應用題硬試 | 逐個月加直到超過 | 「設 S(n) 不等式，解完向上取整，快十倍又唔會漏。」 |
07 家課建議（直接指到練習卷題號）
08 離場檢查（最後 5 分鐘）
| 題目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| T(20) 與 S(20) | 79 與 820 | 錯即重寫 a、d |
| 無窮等比條件 | |r|<1 | 講不出即重教第三幕 |
| 應用題第一步 | 設不等式 | 硬試即重練 |
09 導師常問
公式要背嗎？
要，但更要推得返，因為忘記時可以即場重建。
n 可以是 0 嗎？
數列的項由第 1 項起，n 是正整數，應用題的解要向上取整。
等比 r 可以負數嗎？
可以，和式一樣成立，只是項會正負交替。
本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。