IB 數學 AA｜數列與級數備課指引（導師用）｜等差通項、等比公比與無窮和

2026-11-05

數列題 IB 只考三件事：認出是等差還是等比、寫對項數、用對公式。這一堂把三件事綁在同一條題目上。

本堂目標　學生能夠：① 由首兩項判斷等差或等比並寫出通項；② 用 n/2 ×（首項加末項）算等差和；③ 講出無窮和只在公比絕對值小於 1 時存在。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
代入	u_n = 5 + 3(n − 1)，u₁₀ 是多少	32
百分數	由 80 加到 100，加了多少百分比	25%
絕對值	r = −0.5 時，r 的絕對值大於 1 嗎	不是，是 0.5

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	認型	寫兩條數列在白板	講出各自公差／公比
8–20 分	等差通項與求和	u_n = a + (n − 1)d 推 S_n	算出 u₁₀ = 32、S₁₀ = 185
20–32 分	等比與公比	用除法找 r，不用減法	算出 u₆ = 486、S₆ = 728
32–44 分	無窮和	畫收斂與發散的對照	算出 S∞ = 16
44–54 分	IB 答題格式	先寫公式再代入	改寫一條答案
54–60 分	離場檢查	三題收回即批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：等差：先寫通項，再求和

數列 5, 8, 11, 14 … 的公差 d = 3，所以 u_n = 5 + 3(n − 1)，第 10 項 u₁₀ = 5 + 27 = 32。
求和不要逐項加：S_n = n/2 ×（首項加末項），S₁₀ = 10/2 × (5 + 32) = 5 × 37 = 185。寫法上先寫公式那一行，IB 的方法分就在那裡。

要學生複述：為何以 5 加 27 而不是加 30。

第二幕：等比：公比一定用除

數列 2, 6, 18, 54 … 的公比 r = 6 ÷ 2 = 3，不是 6 − 2 = 4。所以 u_n = 2 × 3^(n−1)，u₆ = 2 × 3⁵ = 486。
等比和 S_n = a(rⁿ − 1)/(r − 1)，S₆ = 2(3⁶ − 1)/2 = 729 − 1 = 728，可以用逐項加（2+6+18+54+162+486）核對。
最常見誤解：學生見到數字遞增就用等差公式，全部錯。先做一次除法再決定。

要學生複述：公比是「後項除前項」，不是相減。

第三幕：無窮和：條件先寫出來

8 + 4 + 2 + 1 … 公比 r = 0.5，絕對值小於 1，級數收斂，S∞ = a/(1 − r) = 8/(1 − 0.5) = 16。
同一條公式用在 r = 2 就完全錯：2 + 4 + 8 … 越加越大，沒有和。所以答題第一句一定是「因為 r 的絕對值小於 1，所以收斂」。

要學生複述：收斂條件是什麼，講不出就不准用公式。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
等差求通項	5, 8, 11 …，求 u₁₀	找 d，代 u_n = a + (n−1)d	32
等差求和	同上，求 S₁₀	S_n = n/2 ×（首項加末項）	185
等比求和	2, 6, 18 … 求 S₆	先求 r = 3，再代等比和公式	728
無窮和	8 + 4 + 2 + … 求 S∞	驗 r 的絕對值小於 1，再代 a/(1−r)	16

合理性檢查（一定要教）：① 等差和一定等於「項數 × 首末平均」，S₁₀ = 10 × 18.5 = 185，對得上；② 等比數列每項除以 3 退回前一項；③ 無窮和不會大過首項除以（1 − r），16 小於 8 的兩倍，合理。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
u_n = 4 + 6(n − 1)，求 u₈ 與 S₈	u₈ = 46；S₈ = 200	學生有無先寫公式再代入
3, 9, 27 … 求 u₅ 與 S₅	u₅ = 243；S₅ = 363	公比是用除不是用減
12 + 6 + 3 + … 求 S∞	24	有無先講收斂條件

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
把等比當等差	d = 6 − 2 = 4，u₆ = 2 + 5×4 = 22	「見到數字變大不代表加同一個數，先用後項除前項試一次。」
求和漏了除以 2	S₁₀ = 10 × (5 + 32) = 370	「n 只是一半，10 項的平均是首末相加再除二。」
項數數錯	由第 1 項到第 10 項當成 9 項	「n − 1 係間隔數，項數係 10，唔好兩樣混。」
無窮和亂用	r = 2 都代 a/(1 − r)	「r 大過 1 就發散，公式唔存在，先寫條件。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

IB 數學章節索引　用索引內三條練習作課後核對

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
5, 9, 13 … 求 u₁₂	49	錯一題＝下堂重講通項
2, 10, 50 … 求 u₄	250	錯一題＝重講公比用除
20 + 10 + 5 + … 求 S∞	40	錯兩題以上＝回到第三幕

09　導師常問

SL 與 HL 都考數列？

兩者都考，HL 多了數學歸納法與更深的求和技巧，這一堂的基礎兩邊共用。

公式表有提供嗎？

IB 的公式小冊子有等比與等差公式，但條件（r 的絕對值小於 1）要自己寫，寫漏會失分。

要背到第幾項？

不用背項數，練到由首兩項即刻寫出通項就夠。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。