中二數學｜頻數分佈表與直方圖備課指引（導師用）

中二數學｜頻數分佈表與直方圖備課指引（導師用）｜組界、組中點、頻數密度

2026-11-13

學生把直方圖當成棒形圖畫，柱與柱之間留空隙，又以為最高的柱一定代表最大密度。這一堂用 40 個分數與一組寬度不一的區間，把「面積等於頻數」講清楚。

本堂目標　學生能夠：① 為 40 個分數建立五組頻數表（50–59 有 4 人、60–69 有 9 人、70–79 有 14 人、80–89 有 9 人、90–99 有 4 人），講出組界是 49.5 至 99.5、組中點是 54.5 至 94.5；② 用組中點估算平均數：(54.5×4 + 64.5×9 + 74.5×14 + 84.5×9 + 94.5×4) ÷ 40 = 2,980 ÷ 40 = 74.5，並指出眾數組與中位數組同為 70–79；③ 在組寬不同時改用頻數密度（0–10 為 0.6、10–20 為 1.5、20–40 為 1.5、40–60 為 0.5），並講出直方圖每條柱的面積等於該組頻數。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
平均數	(10 + 20 + 30) 除以 3 等於幾多？	答得出 20，答錯就代表加總與除數概念未穩
小數加減	54.5 乘 4 等於幾多？	答得出 218，這是估算平均數的每一步
除數與小數	12 除以 4 等於幾多？6 除以 10 呢？	答得出 3 與 0.6，後者是頻數密度的入門

02　課堂流程（45 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–5 分	數據開場	把 40 個分數寫成一行，問「這樣看得到什麼」	講出自己看到的兩件事，寫在白紙上
5–13 分	分組與組界	示範由 50 到 99 分五組，標出 49.5、59.5 等組界	自己寫出五組、五個組界、五個組中點
13–22 分	頻數表與平均數	示範組中點乘頻數再加總除以 40	算出總和 2,980、平均 74.5，並圈出眾數組
22–31 分	直方圖怎麼畫	畫五條相連的柱，強調連續數據柱與柱之間不留空隙	畫一次並在 x 軸寫上組界，不是組中點
31–40 分	組寬不同用密度	用 0–10、10–20、20–40、40–60 四組示範頻數密度	算出 0.6、1.5、1.5、0.5，並講出為何最高的柱不代表最多人
40–45 分	離場檢查	收三條答案，即場標正確／半對／錯	交出三條答案並講一句理由

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：第一幕：分組是為了看得見，不是為了好看

「40 個分數攤開，你只看到一堆數字。分組之後，你講得出大多數人考幾多。分五組：50 至 59、60 至 69、70 至 79、80 至 89、90 至 99。注意組界：50 至 59 的真正上下限是 49.5 與 59.5，因為分數可以有小數。組中點就是兩個組界的平均：(49.5 加 59.5) 除 2 等於 54.5。五個組中點就是 54.5、64.5、74.5、84.5、94.5。」

要學生複述：組界是邊界，組中點是兩個組界的平均。

第二幕：第二幕：估算平均數要靠組中點

「真實數據老師有，但你手上只有頻數表，所以我們用組中點代表整組。54.5 乘 4 得 218，64.5 乘 9 得 580.5，74.5 乘 14 得 1,043，84.5 乘 9 得 760.5，94.5 乘 4 得 378。加起來 2,980，除 40 得 74.5。這個數字叫估算平均數，因為我們假設同組每個人都在組中點。中位數呢？40 人，第 20 與 21 個都在 70 至 79 這一組，累積頻數是 4、13、27，所以中位數組是 70 至 79，同眾數組一樣。」

要學生複述：估算平均數用組中點乘頻數，中位數看累積頻數。

第三幕：第三幕：柱的面積才是頻數

「如果四組的寬度唔同：0 至 10 有 6 個、10 至 20 有 15 個、20 至 40 有 30 個、40 至 60 有 10 個。你唔可以直接比高度，因為 20 至 40 這一組闊 20，其他只闊 10。要計頻數密度：頻數除組寬。6 除 10 得 0.6，15 除 10 得 1.5，30 除 20 得 1.5，10 除 20 得 0.5。畫出來 10 至 20 與 20 至 40 一樣高，但你睇面積：1.5 乘 10 得 15，1.5 乘 20 得 30，面積才等於頻數。所以最高的柱唔一定代表最多人。」

要學生複述：頻數密度乘組寬等於頻數，面積才可比。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
建頻數表	把 40 個分數分成五組，寫出組界、組中點與頻數。	① 定組數與組寬 ② 寫組界（減 0.5）③ 數頻數 ④ 計組中點 ⑤ 核對總頻數等於 40	五組頻數 4、9、14、9、4；組界 49.5–99.5；組中點 54.5–94.5。
估算平均數	用上表估算平均數。	① 組中點乘頻數 ② 逐組列出 ③ 加總 ④ 除以總頻數 ⑤ 檢查答案是否落在數據範圍內	2,980 ÷ 40 = 74.5。
畫直方圖	把頻數表畫成直方圖，說明 x 軸要寫什麼。	① x 軸寫組界 ② y 軸寫頻數 ③ 柱與柱相連 ④ 標題與單位	x 軸標 49.5、59.5、69.5、79.5、89.5、99.5，柱相連無空隙。
頻數密度	四組寬度不同（10、10、20、20），頻數 6、15、30、10，求各組頻數密度。	① 逐組頻數除組寬 ② 比較密度而非頻數 ③ 用面積回算頻數驗證	0.6、1.5、1.5、0.5；面積 6、15、30、10 與頻數相符。

合理性檢查（一定要教）：合理性檢查：五組頻數加起來一定要等於總人數 40，加不到就是漏數或重複數；估算平均數必須落在數據範圍內，本題 74.5 在 50 至 99 之間且在眾數組內，答 7.45 就是小數點錯；組界一定要比組限各多半個單位（50 至 59 的組界是 49.5 與 59.5）；頻數密度乘組寬要回得頻數，30 除 20 得 1.5 而面積 1.5 乘 20 得 30，回不到就是除錯；連續數據的直方圖柱與柱相連，留空隙就是畫成棒形圖。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
20 個數據分成 0–5（3 個）、5–10（7 個）、10–20（10 個），求各組頻數密度。	0.6、1.4、1.0。	有冇用頻數除組寬，第三組有冇用 10 做除數
用上題估算平均數。	(2.5×3 + 7.5×7 + 15×10) ÷ 20 = 210 ÷ 20 = 10.5。	有冇用組中點而不是組限，總和是否 210
上題中頻數最高與頻數密度最高的組是否同一組？	不是：頻數最高是 10–20（10 個），密度最高是 5–10（1.4）。	有冇分清楚頻數與密度兩個概念

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
直方圖留空隙	「我照棒形圖咁畫，柱與柱之間留一格。」	「直方圖畫的是連續數據，分數可以由 59.4 跳到 59.6，中間沒有空隙，所以柱要相連。留空隙就是棒形圖，閱卷員會當你未分清楚。」
用組限做平均數	「50 乘 4 加 60 乘 9，再除 40。」	「要用人一組的代表值，即組中點 54.5。用 50 會低估，因為 59 分的人都當成 50 分。」
直接比柱高	「20 至 40 那條柱最高，所以最多人。」	「20 至 40 闊 20，其他闊 10。你要先除組寬得密度，再乘回去看面積。面積 30 才是真正的人數。」
頻數加總不符	「4 加 9 加 14 加 9 加 4，大約 40。」	「不可以寫大約。頻數加總一定要等於 40，加不到就代表有數據漏了或者重複數了，要重數一次。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

數學科目索引：重做本章獨立練習第 1 至 3 題，並把第 1 題的直方圖畫在格紙上　本章獨立練習第 1–3 題
數學科目索引：自選一組 20 個數據（例如家中各人每日睡眠小時），造頻數表、畫直方圖、估算平均數　本章第五節頻數密度第 1 題

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
60 至 69 這一組的組界與組中點是幾多？	組界 59.5 與 69.5，組中點 64.5。	答 60 與 69 即未掌握組界要減加 0.5
某組頻數 12、組寬 4，頻數密度是幾多？	3。	答 48 即用了乘而不是除
直方圖與棒形圖最大分別是什麼？	直方圖畫連續數據、柱相連、x 軸是組界；棒形圖畫分類數據、柱有間隙。	只答「一個有顏色」即未掌握數據類型

09　導師常問

這一章適合哪個年級？

中二。中四的統計單元會用同一套組界與密度概念計標準差，中六的直方圖與概率估算亦由此延伸。

45 分鐘夠不夠講三幕？

夠。第一、二幕各約 8 分鐘，第三幕最重要，留 9 分鐘；畫圖只示範一次，密度題要即場做一題。

有無配套練習？

有。數學科目索引頁連本章練習與答案，可接「百分數與比例」章做數據比較的應用題。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。