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DSE 數學｜等差等比數列 備課指引（導師用）｜通項、求和、應用題建模
學生最常死在同一件事：分不清 T(n) 與 S(n)。這一堂要他們每題先寫「我要第幾項，還是頭 n 項總和」。
本堂目標 學生能夠：① 由首項與公差／公比寫出通項並求指定項；② 用求和公式計頭 n 項總和；③ 把「每月加價」「每小時倍增」類文字題翻譯成 a、d 或 a、r，並判斷題目問的是項還是總和。
01 先備知識（開課前 3 分鐘快檢）
以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：
| 技能 | 快檢題 | 過關標準 |
|---|---|---|
| 代入公式 | T(n) ＝ a ＋ (n−1)d，a ＝ 3、d ＝ 4，T(4) 幾多 | 15 |
| 指數 | 3 的 5 次方 | 243 |
| 解一次方程 | 2n − 1 ＝ 19，n 幾多 | n ＝ 10 |
02 課堂流程（60 分鐘）
| 時間 | 環節 | 導師做什麼 | 學生做什麼 |
|---|---|---|---|
| 0–5 分 | 診斷 | 三題快檢，看指數與代入是否過關 | 即場作答並報答案 |
| 5–20 分 | 示範兩個通項 | 並排寫等差與等比通項，圈出差異 | 抄公式並標 a、d、r |
| 20–38 分 | 示範兩個求和 | 同一組數列即場計 T 與 S，比較數值 | 跟計並核對 |
| 38–52 分 | 應用題建模 | 讀三句文字題，示範抽出 a、d、r | 自行寫出 a 與 d／r |
| 52–60 分 | 錯誤糾正與離場檢查 | 講四個常見錯誤，抽問離場三題 | 口頭回答並自評 |
03 講解腳本（照著說就可以）
第一幕：通項：等差靠加，等比靠乘
寫兩行並排：等差 T(n) ＝ a ＋ (n−1)d；等比 T(n) ＝ ar^(n−1)。
即場用 a ＝ 3、d ＝ 4 計第 10 項：T(10) ＝ 3 ＋ 9×4 ＝ 39。
再問：「第 1 項係唔係 3？」要學生自己代入 n ＝ 1 驗證，這一驗可以擋住一半的代錯。
即場用 a ＝ 3、d ＝ 4 計第 10 項：T(10) ＝ 3 ＋ 9×4 ＝ 39。
再問：「第 1 項係唔係 3？」要學生自己代入 n ＝ 1 驗證，這一驗可以擋住一半的代錯。
強調：括號是 (n−1)，不是 (n＋1)；漏括號是最高頻錯誤。
第二幕：求和：先問「要唔要加埋前面」
同一組數列 a ＝ 3、d ＝ 4，計頭 10 項和：S(10) ＝ 10÷2 × (2×3 ＋ 9×4) ＝ 210。
用「平均數 × 項數」講一次，學生會明白為何是 n÷2。等比就用 a ＝ 2、r ＝ 3：T(6) ＝ 486，S(6) ＝ 728。
用「平均數 × 項數」講一次，學生會明白為何是 n÷2。等比就用 a ＝ 2、r ＝ 3：T(6) ＝ 486，S(6) ＝ 728。
提醒：S(n) 一定大過 T(n)（正數列），計到 S 細過 T 就一定錯。
第三幕：應用題：先寫 a 與 d／r，再決定問項定問和
讀題三步：① 第一個數是 a；② 每次加或乘幾多是 d 或 r；③ 問「第幾個」是項，問「共幾多」是總和。
例：每月加 4 元、首月 3 元，第 10 個月 ＝ 39 元，10 個月共收 210 元。同一組數兩個答案都要講，讓學生看到分別。
例：每月加 4 元、首月 3 元，第 10 個月 ＝ 39 元，10 個月共收 210 元。同一組數兩個答案都要講，讓學生看到分別。
強調：題目出現「總共」「合計」「一共」就畫線，寫上 S(n)。
04 必教題型與步驟
| 題型 | 例子 | 步驟 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 求指定項 | a ＝ 3、d ＝ 4，求 T(10) | ① 寫通項 ② 代 a、d、n ③ 計算 | 39 |
| 求項數 | a ＝ 3、d ＝ 4，幾時等於 99 | ① 設 T(n) ＝ 99 ② 解一次方程 ③ 答案要正整數 | n ＝ 25 |
| 求總和 | a ＝ 3、d ＝ 4，求 S(10) | ① 寫求和公式 ② 代入 ③ 先乘後加 | 210 |
| 等比應用 | 首項 2、公比 3，求 T(6) 與 S(6) | ① 認出「每次乘」 ② 通項計項 ③ 求和公式 | 486 與 728 |
合理性檢查（一定要教）：通項代入 n ＝ 1 必須等於 a ＝ 3，唔等於就係公式打錯。
等差 S(10) ＝ 210 應該大約等於「首項加末項乘項數除二」＝ (3＋39)×10÷2，兩個算法要對得上。
等比數列 r ＝ 3 時每一項都是前一項 3 倍，T(6) ＝ 486 一定要大過 S(5)，若細過就代表指數計錯。
等差 S(10) ＝ 210 應該大約等於「首項加末項乘項數除二」＝ (3＋39)×10÷2，兩個算法要對得上。
等比數列 r ＝ 3 時每一項都是前一項 3 倍，T(6) ＝ 486 一定要大過 S(5)，若細過就代表指數計錯。
05 獨立練習三題
| 題目 | 答案 | 想觀察什麼 |
|---|---|---|
| a ＝ 5、d ＝ 3，求 T(12) | 38 | 有無用 (n−1) |
| a ＝ 4、d ＝ 6，求 S(10) | 310 | 有無先算括號 |
| 首項 3、公比 2，求 T(8) | 384 | 指數係 7 定 8 |
06 學生常見錯誤與糾正句
| 錯誤 | 學生通常這樣寫 | 導師這樣說 |
|---|---|---|
| 漏括號 | 「T(n) ＝ a ＋ n−1d」 | 「要寫 a ＋ (n−1)d，冇括號就會變成 a ＋ n 再減 d，n ＝ 1 時已經錯。」 |
| 項與和混淆 | 求第 10 個月收了幾多，答了 210 | 「題目問第 10 個月，只要 T(10) ＝ 39；210 是十個月合計。」 |
| 等比當等差 | 「2、6、18 每次加 4」 | 「2 到 6 是乘 3，6 到 18 也是乘 3，3 是公比，不是公差。」 |
| 指數起點錯 | 「T(6) ＝ 2×3^6」 | 「第一項是 2×3^0，所以第 6 項是 2×3^5 ＝ 486。」 |
07 家課建議（直接指到練習卷題號）
- 中學數學（DSE）備課指引索引 對照本章十節結構
- 校內 S5 數列練習卷 Paper 1 Q1–Q5（通項與項數）
- 校內 S5 數列練習卷 Paper 2 Q6–Q10（求和與應用題）
08 離場檢查（最後 5 分鐘）
| 題目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| 等差通項寫法 | a ＋ (n−1)d | 錯＝重寫公式 |
| a ＝ 3、d ＝ 4，T(10) | 39 | 錯＝重做第二幕 |
| 題目寫「合計」要用哪個 | S(n) | 錯＝重讀應用題三步 |
09 導師常問
兩個求和公式要唔要都背？
等差背一個就夠（n÷2 乘首末項和），等比一定要背 a(r^n−1)÷(r−1)。
學生計數慢點算？
先練「寫公式、代數、按機」三步分開，容許他們寫完公式才按計算機，錯的機會少一半。
應用題幾時用等比？
文字出現「倍增」「乘以」「每期 3 倍」「貶值」就用等比，出現「每月多」「逐年加」就用等差。
本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。
