DSE 數學｜指數與對數備課指引（導師用）｜換底、解方程與增長衰退應用

2026-11-01

學生識背 log 嘅定義，但一見到 2^(3x−1) = 16 就停手，因為佢哋未養成「兩邊同底」呢個反射。這一堂只做三件事：把底數統一、把指數方程變成一次方程、把應用題變成一句乘方。

本堂目標　學生能夠：① 用指數律化簡乘除與次方；② 把對數定義在指數式與對數式之間自由轉換；③ 用同底法或取對數法解指數方程；④ 把增長／衰退情境寫成一條 a(1+r)^t 的式子並解。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
指數律	a^m × a^n 等於甚麼	a^(m+n)
負指數與分數指數	2^−3 與 9^(1/2)	1/8 與 3
解一次方程	3x − 1 = 4 的解	x = 5/3

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–10 分	指數律熱身	同底才可加減指數	化簡 a^3 × a^5 ÷ a^2
10–24 分	對數定義	log_a b = c ⇔ a^c = b	log_3 81 = 4
24–40 分	解指數方程	先統一底數，再比較指數	2^(3x−1) = 2^4
40–52 分	換底與計算機	log_a b = log b ÷ log a	log_7 50 ≈ 2.01
52–60 分	應用建模與離場檢查	A = P(1+r)^t	10,000 元十年後 16,289 元

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：第一幕：指數律要先熟到不用想

由 a^m × a^n = a^(m+n) 開始，一路推到 (a^m)^n = a^(mn) 與 a^0 = 1。要學生講出為甚麼 a^0 = 1：a^3 ÷ a^3 = a^(3−3) = a^0，而同一個數除自己等於 1。
要學生講：2^5 × 2^−2 等於幾？（2^3 = 8。）

要學生做：化簡 (3x^2)^3 ÷ (9x)。（3x^5。）

第二幕：第二幕：對數只是指數的另一種寫法

log_a b = c 與 a^c = b 是同一句話。所以 log_3 81 = 4，因為 3^4 = 81；log_2 32 = 5，因為 2^5 = 32。要學生做十次來回轉換，直到見到對數就自動寫成指數式。然後才講 log 的加法律：log(MN) = log M + log N，因為指數相加就是相乘。
要學生講：log_5 1 等於幾？為甚麼？（0，因為 5^0 = 1。）

要學生做：把 log_2 32 = 5 改寫成指數式，再反過來把 10^3 = 1000 寫成對數式。

第三幕：第三幕：方程與應用都靠「同底」兩個字

解 2^(3x−1) = 16：先寫 16 = 2^4，於是 3x − 1 = 4，x = 1.667，即 5/3。若兩邊無法同底，例如 3^x = 20，就兩邊取 log：x = log 20 ÷ log 3 ≈ 2.73。應用題：10,000 元年利率 5%，十年後本利和 = 10,000 × 1.05^10 = 16,289 元；翻倍需時 log 2 ÷ log 1.05 ≈ 14.2 年。
要學生講：為甚麼翻倍時間與本金無關？（因為方程兩邊同時約走本金。）

要學生做：算 3^x = 20 的 x（≈ 2.73），並講出為何不能用同底法。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
化簡指數式	給乘除與括號	同底加減指數、係數另外算	3x^5
對數轉換	給指數式或對數式	log_a b = c ⇔ a^c = b	log_3 81 = 4
解指數方程	兩邊可同底	統一底數後比較指數	x = 1.667
增長衰退應用	給本金、利率、年期	A = P(1+r)^t，再取 log 解 t	14.2 年

合理性檢查（一定要教）：指數方程做完一定要代回原式檢查：2^(3×5/3−1) = 2^4 = 16，對。取對數時底數要一致，log 20 ÷ log 3 不可以寫成 log(20 ÷ 3)。本利和 16,289 元必定大於本金 10,000 元；若算出較小就是利率用錯方向。衰退題用 (1 − r)，而且 r 要寫成小數：5% 是 0.05 不是 5。對數的定義域是正數，log(−3) 無定義，遇到要主動指出。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
3^x = 81 的解	x = 4	81 = 3^4
2^(3x−1) = 16 的解	x = 1.667	同底後比較指數
10,000 元 5% 十年後本利和	16,289 元	P(1+r)^t

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
指數相加	寫 2^3 × 2^4 = 2^12	「同底相乘係指數相加，唔係相乘；2^3 × 2^4 = 2^7。」
把對數當除法	寫 log 20 ÷ log 3 = log(20/3)	「兩個 log 相除唔可以合併，要逐個按計算機。」
解方程後不代回	x = 5/3 就直接收工	「代返去，2^(3×5/3−1) 要等於 16 先算完。」
百分數未轉小數	寫 A = P(1 + 5)^t	「5% 係 0.05，唔係 5，寫 5 就變咗五百 percent。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

中學數學章節索引　指數與對數題組第 3、6 題
備課指引總目錄　同科其他章節
DSE 數學練習卷　指數對數題第 1–4 題

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
log_2 32 的值	5	三題全對＝可進應用題
2^(3x−1) = 16 的 x	1.667	錯一題＝下堂重講同底法
10,000 元 5% 十年後大約多少	16,289 元	錯兩題以上＝回到第一幕

09　導師常問

為甚麼對數可以處理很大的數？

因為對數把乘法變成加法，把指數變成係數，令數量級差很遠的數可以放在同一把尺上比較。

log 和 ln 有甚麼分別？

底數不同：log 在 DSE 通常指底 10，ln 指底 e ≈ 2.718；換底公式可以互相轉換。

何時一定要取對數？

當兩邊無法寫成同一個底數的次方時，例如 3^x = 20，就要兩邊取對數。

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