DSE ICT｜網絡安全與加密進階備課指引（導師用）

DSE ICT｜網絡安全與加密進階備課指引（導師用）｜RSA 參數、金鑰數量與 TLS 握手

2026-11-02

學生識講「加密就安全」，但講不出為何 HTTPS 要同時用兩條鎖匙。這一堂用金鑰數量與一次握手，把「安全」拆成可數的代價。

本堂目標　學生能夠：① 分辨對稱與非對稱加密，並用 n(n−1)/2 算出 10 個用戶需要 45 條金鑰；② 用 RSA 的 p、q 算出 n = 3233、φ = 3120，並驗證 e = 17 與 d = 2753 互為逆元；③ 解釋雜湊、數碼簽名與憑證在 TLS 握手各自負責哪一件事，並講出為何 2^56 金鑰以每秒十億次搜尋要 2.28 年。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
質數	61 與 53 是否質數	是，只能被 1 與自己整除
模運算	17 × 2753 除以 3120 的餘數	1
二進位指數	2^10 大約是多少	1,024，約一千

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–10 分	三條鎖匙三個問題	機密、完整性、認證	每項配一個失敗例子
10–22 分	對稱加密	一條匙開一把鎖，n(n−1)/2 條匙	算出 45 條
22–34 分	非對稱與 RSA	p、q、n、φ、e、d 六個數	算出 3233 與 3120
34–44 分	雜湊與簽名	摘要不可逆、簽名用私鑰	講清兩者分別
44–54 分	TLS 握手	憑證驗身、協商、換工作匙	排出四步
54–60 分	離場檢查	三題即場批	三題全對

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：對稱與非對稱，是兩種成本

對稱加密（AES）用同一條匙加密與解密，速度快，適合大量資料。問題是派匙：10 個用戶兩兩通信，需要 10 × 9 ÷ 2 = 45 條不同金鑰；100 個用戶就要 4,950 條。
非對稱加密（RSA）用公鑰加密、私鑰解密，n 個用戶只需 2n 條匙，但運算慢幾個數量級，所以只用來開場。
RSA 參數：p = 61、q = 53 → n = 3,233，φ = 60 × 52 = 3,120；選 e = 17（與 φ 互質），d = 2,753，因為 17 × 2753 = 46,801，除以 3,120 餘 1。
公開 (n, e)，私藏 d。這條式子示範了原理，真實系統用 2048 位以上，因為 3,233 用電腦一晚就分解。

要學生講：10 個用戶 45 條匙，為何非對稱只需 20 條（每人一對公鑰私鑰）。

第二幕：雜湊講完整性，簽名講身分

雜湊（SHA-256）把任何長度輸入壓成 256 位 固定長度摘要，單向不可還原，改一個字摘要就完全不同。它不保密，只證明「有無被人改過」。
數碼簽名是把摘要用寄件人私鑰加密，收件人用對方公鑰解開再對比摘要：對得上，就同時證明完整性與身分。
金鑰長度決定暴力搜尋成本：2^56 條匙、每秒十億次，需要約 2.28 年；加到 2^128 就是天文數字。
憑證（X.509）解決「公鑰真的是他的嗎」：由受信任的憑證機構簽署，把域名與公鑰綁死。沒有憑證，中間人可以換走公鑰。

要學生講：雜湊與加密最大的分別（一個不可逆、不保密；一個可逆、保密）。

第三幕：TLS 握手：四步把兩套方法縫起來

第一步，客戶端送 ClientHello（支援的版本與加密套件）與隨機數。第二步，伺服器回 ServerHello、憑證與隨機數。第三步，客戶端用憑證內的公鑰驗簽、確認域名，再用公鑰加密預主密鑰送出。第四步，雙方由三個隨機數算出同一條會話金鑰，之後用對稱加密傳資料。
所以設計邏輯是：用慢的非對稱解決「派匙」，用快的對稱處理「大量資料」。
子網例：192.168.10.0/26 的遮罩是 2^(32−26) = 64 個地址，可用主機 62 部，一個 /24 可以切 4 個 /26。防火牆規則要按網段寫，不是逐部機寫。
常見錯誤是把「有 HTTPS」當成「一定安全」：憑證過期、憑證由不知名機構簽、或網站本身有漏洞，鎖頭一樣亮。

要學生講：為何不全部用非對稱加密（太慢），為何不全部用對稱（無法安全派匙）。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
計算	對稱金鑰數量	n(n − 1) ÷ 2	10 用戶 45 條
計算	RSA 參數	n = p×q；φ = (p−1)(q−1)；e×d mod φ = 1	3233、3120、2753
計算	暴力搜尋時間	金鑰數 ÷ 每秒嘗試次數 ÷ 一年秒數	2.28 年
解釋	TLS 握手各步作用	驗身、協商、交換、轉對稱	四步不可亂序

合理性檢查（一定要教）：n 是兩個質數相乘，φ 是 (p−1)(q−1)，不是 p×q；兩者混淆就整條題錯。
e 要與 φ 互質，若 e 與 φ 有公因數就無逆元。
d 的驗算是 e×d mod φ = 1，不是 e×d = φ。
雜湊是單向，不能「解密摘要」；聲稱可以解的就是錯。
/26 可用主機是 62 不是 64，網絡位址與廣播位址要扣。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
10 個用戶對稱加密需要幾條金鑰	45 條	10×9÷2
p=61、q=53 的 n 與 φ	3,233 與 3,120	61×53；60×52
192.168.10.0/26 可用主機數	62	64 − 2

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
把 φ 當成 n	答「φ = 3,233」	「φ 係 (p−1)(q−1) = 3,120，n 才係 p×q。」
以為雜湊可以還原	答「用密碼解密個 hash」	「Hash 單向，只可以做比對，唔可以還原。」
把簽名與加密混為一談	答「用公鑰簽名」	「簽名用私鑰，驗簽用公鑰，掉轉就等於冇簽。」
有 HTTPS 就當安全	答「有鎖頭就一定安全」	「要睇憑證簽發者、有效期，同網站本身有無漏洞。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

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08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
10 用戶對稱金鑰數	45 條	三題全對＝可進網絡協議
p=61、q=53 的 φ	3,120	錯一題＝下堂前重講 φ
TLS 第三步做什麼	用公鑰加密預主密鑰	錯兩題以上＝回到第三幕

09　導師常問

要背 RSA 完整證明嗎？

不必。要能算 n、φ、驗 e×d mod φ = 1，並講出單向函數的概念。

AES 與 RSA 哪個安全？

兩者安全模型不同，不能單比。AES 快、RSA 解決派匙，實務是配合使用。

量子電腦會否令 RSA 失效？

會威脅分解難題，所以業界在推後量子加密；DSE 只需指出風險方向。

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