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DSE 數學｜微分應用 備課指引（導師用）｜切線、極值、圖像判斷
學生識求導，但唔識用：一條三次曲線 f(x)=x³−6x²+9x+1，1 同 3 兩個駐點，最大值 5、最小值 1。呢一堂練「求導→判極值→寫切線→解釋圖像」四步。
本堂目標 學生能夠：① 由 f′(x)=0 準確解出所有駐點，並用二階導數判斷極大或極小；② 在指定點寫出切線方程，答案整理成 y=mx+c；③ 用導數的正負講出函數在邊個區間上升、邊個區間下降，並指出圖像的轉向位置。
01 先備知識（開課前 3 分鐘快檢）
以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：
| 技能 | 快檢題 | 過關標準 |
|---|---|---|
| 求導法則 | 多項式逐項求導是否熟練 | x³ → 3x²，常數項變 0 |
| 解二次方程 | f′(x)=0 是二次方程 | 可因式分解就唔用公式 |
| 切線概念 | 切線斜率等於該點導數值 | 斜率 = f′(a) |
02 課堂流程（60 分鐘）
| 時間 | 環節 | 導師做什麼 | 學生做什麼 |
|---|---|---|---|
| 0–8 分 | 起手診斷 | 三題純求導，學生獨立做 | 三題全對才繼續 |
| 8–20 分 | 駐點與判別 | f′(x)=0 解出 1、3，代回求 y 值 | 兩個駐點齊 |
| 20–32 分 | 二階導數判別 | f″(x)=6x−12，代 1、3 | 判對極大極小 |
| 32–44 分 | 切線方程 | 在 x=2 寫切線，整理成 y=mx+c | 斜率 -3 |
| 44–54 分 | 圖像與導數 | 由 f′ 正負講升降區間 | 三段區間講齊 |
| 54–60 分 | 離場檢查 | 三題快問快答 | 三題全對才下課 |
03 講解腳本（照著說就可以）
第一幕：駐點不是答案，判別才是
f′(x)=3x²−12x+9=3(x−1)(x−3)，所以駐點在 x=1 同 x=3。
代回原函數：f(1)=5、f(3)=1。
再用 f″(x)=6x−12：x=1 時 f″=-6，所以是極大；x=3 時 f″=6，所以是極小。
規矩：每次寫駐點都要同時寫判別理由，唔可以只寫 x 值。
代回原函數：f(1)=5、f(3)=1。
再用 f″(x)=6x−12：x=1 時 f″=-6，所以是極大；x=3 時 f″=6，所以是極小。
規矩：每次寫駐點都要同時寫判別理由，唔可以只寫 x 值。
要學生講：為什麼 f′(x)=0 唔等於一定有極值。
第二幕：切線要三樣齊：點、斜率、方程
在 x=2 時，f(2)=3，f′(2)=-3。
點斜式：y−3=-3(x−2)，整理成 y=-3x+9。
常見漏項：只寫斜率數字當答案；或者寫成法線。
點斜式：y−3=-3(x−2)，整理成 y=-3x+9。
常見漏項：只寫斜率數字當答案；或者寫成法線。
要學生講：切線方程要齊邊三樣資料。
第三幕：導數符號就是圖像說明書
f′(x)=3(x−1)(x−3) 在 x<1 為正、1<x<3 為負、x>3 為正。
所以圖像：上升、下降、再上升，先高後低再高。
作答句式：「因為 f′(x)>0，所以 f 在此區間遞增。」一句一個結論，唔好只寫答案。
所以圖像：上升、下降、再上升，先高後低再高。
作答句式：「因為 f′(x)>0，所以 f 在此區間遞增。」一句一個結論，唔好只寫答案。
要學生講：由正變負代表圖像發生咩事。
04 必教題型與步驟
| 題型 | 例子 | 步驟 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 計算 | 求駐點 | f′(x)=0，因式分解後解 x | x=1、3 |
| 計算 | 判別極值 | 二階導數代入，符號定極大極小 | f″(1)<0 |
| 計算 | 切線方程 | 先求點與斜率，再點斜式整理 | y=-3x+9 |
| 解釋 | 遞增遞減區間 | 看 f′ 正負，分段寫 | 三段區間 |
合理性檢查（一定要教）：三項反查：把駐點代回 f′ 應該等於 0；把切線與曲線在 x=2 相交，y 值要等於 3；二階導數符號要與「先高後低」的圖形一致。
05 獨立練習三題
| 題目 | 答案 | 想觀察什麼 |
|---|---|---|
| 求 f(x)=x³−6x²+9x+1 的駐點及極值 | 先求導、再解方程、最後判別 | x=1 極大 5；x=3 極小 1 |
| 寫出在 x=2 的切線方程 | 點斜式後整理 | y=-3x+9 |
| 寫出遞增與遞減區間 | 用 f′ 正負分段 | 三段齊全 |
| 解釋為何 f′(1)=0 卻是極大 | 用 f″ 符號說明 | 提到 f″<0 |
06 學生常見錯誤與糾正句
| 錯誤 | 學生通常這樣寫 | 導師這樣說 |
|---|---|---|
| 只求 f′(x)=0 就當做完 | 漏判別，題目要求極值時失分 | 「駐點只係候選，仲要判。」 |
| 代錯點：用 f′ 值當 y 坐標 | 切線方程整條錯 | 「切點 y 值用原函數，唔用導數。」 |
| 切線未整理成 y=mx+c | 格式分失 | 「點斜式只係中途，最後要整理。」 |
| 區間寫成「上升下降」但無理由 | 解釋題無分 | 「一句結論要跟一個 f′ 符號。」 |
07 家課建議（直接指到練習卷題號）
08 離場檢查（最後 5 分鐘）
| 題目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| f′(x)=0 之後下一步做咩？ | 代二階導數判別 | 或者用一階導數變號 |
| x=2 的切線斜率是多少？ | -3 | 唔係 3 |
| f′ 由正變負，圖像代表咩？ | 極大點 | 唔係極小 |
09 導師常問
學生求導冇問題但一見應用題就停手，點算？
固定四步口訣：求導、解方程、判別、作答；每步寫一行。
二階導數幾時用公式幾時用因式？
能因式分解就用因式，符號一目了然。
切線與法線要唔要一齊教？
分開教，先熟切線，法線用負倒數一句帶過。
本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。
