TutorZone（www.tutorzone.com.hk）原創模擬試題 · 非考評局官方試題
直接答案：Cambridge AS & A Level 数学（9709）分六张卷，A Level 考生须考四张卷：Paper 1（纯数学 1）1 小时 50 分、75 分＋Paper 3（纯数学 3）1 小时 50 分、75 分为必修，再加（Paper 4 力学＋Paper 5 概率与统计 1）或（Paper 5 ＋ Paper 6 概率与统计 2）其中一组；Paper 4 与 Paper 6 不能同时选（Paper 6 依赖 Paper 5 的先修内容）。Paper 1 占 AS 60%、A Level 30%，是整个资格的基础卷。所有卷别须使用科学计算机，图形计算机及具符号运算功能的计算机不准使用；考试提供 MF19 公式表及统计表。
| 卷别 | 名称 | 时间 | 分数 | 题型 | 比重（AS／A Level） | 是否必修 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Paper 1 | Pure Mathematics 1（纯数学 1） | 1 小时 50 分 | 75 | 10–12 题结构题 | AS 60%／A Level 30% | AS 及 A Level 必修 |
| Paper 2 | Pure Mathematics 2 | 1 小时 15 分 | 50 | 6–8 题结构题 | AS 40% | 只限 AS（纯数路线） |
| Paper 3 | Pure Mathematics 3 | 1 小时 50 分 | 75 | 9–11 题结构题 | A Level 30% | A Level 必修 |
| Paper 4 | Mechanics（力学） | 1 小时 15 分 | 50 | 6–8 题结构题 | AS 40%／A Level 20% | 选修（见路线表） |
| Paper 5 | Probability & Statistics 1 | 1 小时 15 分 | 50 | 6–8 题结构题 | AS 40%／A Level 20% | A Level 必修 |
| Paper 6 | Probability & Statistics 2 | 1 小时 15 分 | 50 | 6–8 题结构题 | A Level 20% | 选修（A Level 专用） |
六张卷全部为笔试、校外评核，不设课程作业（coursework）。AS 成绩为 a–e，A Level 成绩为 A*–E。考核目标（AO）比重：AO1 知识与理解——AS 55%／A Level 52%；AO2 应用与表达——AS 45%／A Level 48%。
四个最容易搞错的规则：① A Level 考生必须考 Paper 1 及 Paper 3，单靠 AS 成绩不能直升；② AS 的“纯数学路线”（Paper 1＋Paper 2）不能带分上 A Level——Paper 2 只是 AS 卷，内容大致是 Paper 3 的子集；③ Paper 4 与 Paper 6 不能同时选（Paper 6 需要 Paper 5 的先修知识）；④ 同一考期不得同时报考 Paper 2 与 Paper 3。
| 路线 | 组合 | 说明 |
|---|---|---|
| AS Level（只读一年） | Paper 1 ＋ Paper 2 | 纯数学路线；不能带分完成 A Level |
| Paper 1 ＋ Paper 4 | 纯数学＋力学 | |
| Paper 1 ＋ Paper 5 | 纯数学＋概率与统计 | |
| A Level（一年内考完） | Paper 1 ＋ Paper 3 ＋ Paper 4 ＋ Paper 5 | 香港最常见的组合（纯数＋力学＋统计） |
| Paper 1 ＋ Paper 3 ＋ Paper 5 ＋ Paper 6 | 纯数＋统计深化（适合数据、经济、心理方向） | |
| A Level（分两年考） | 第一年 P1＋P4，第二年 P3＋P5 | 第一年先考 AS 并保留成绩，第二年补考两卷完成 A Level（须符合成绩保留的年期规定） |
| 第一年 P1＋P5，第二年 P3＋P4 | ||
| 第一年 P1＋P5，第二年 P3＋P6 |
选卷建议：打算读工程、物理或精算，Paper 4 力学几乎是必需；打算读经济、商科、心理或数据科学，Paper 5＋Paper 6 的统计组合更实用。若学校未有明确安排，Paper 1＋Paper 3＋Paper 4＋Paper 5 是最稳妥的默认组合，日后亦可配合 Further Mathematics（9231）的衔接。
本模拟卷由 TutorZone 导师团队依据 Cambridge Assessment International Education 公开的《Cambridge International AS & A Level Mathematics 9709》课程大纲（适用于 2026 及 2027 年考试，版本 4；经核对，2028–2030 年版本的评核结构相同）所载的评核结构与内容范畴自行编写，并非 Cambridge 官方试题、样本试卷或过往试题。Cambridge 及相关课程文件版权属 Cambridge Assessment International Education，本卷不转载任何官方试卷或课程文件内容。题目、详解与评分要点均为本卷原创，所有数值答案已逐题核算；各题分数分配为本卷自订（全卷总分依官方 75 分设计），作答时间依官方 1 小时 50 分。
作答须知：可使用科学计算机（不可使用图形计算机或具符号运算功能的计算机），须自备直尺；量角器与圆规不需要。除特别指示外，角度以度为单位，非准确值答案取 3 位有效数字。Section A（6 题，共 37 分）、Section B（6 题，共 38 分）；全部题目均须显示运算步骤。
1. (a) 展开并化简 (3 + √2)(5 − 2√2)，答案以 a + b√2 的形式表示（a、b 为整数）。（2 分）
(b) 将 1/(3 − √2) 写成 (a + b√2)/c 的形式，其中 a、b、c 为整数。（2 分）
(c) 解方程 x − 6√x + 8 = 0。（2 分）
2. 已知 y = 2x² − 12x + 7。
(a) 以配方形式 a(x + b)² + c 表示 y。（2 分）
(b) 写出曲线的顶点坐标及 y 的最小值。（2 分）
(c) 解方程 2x² − 12x + 7 = 0，答案以最简根式表示。（2 分）
3. 已知 f(x) = (x + 4)/3（x ∈ ℝ）、g(x) = x² − 6x + 5（x ≥ 3）。
(a) 求 f⁻¹(x)。（2 分）
(b) 以配方形式表示 g(x)，并写出 g 的值域。（2 分）
(c) 求 g⁻¹(x) 及其定义域。（2 分）
4. 圆 C 的方程为 x² + y² − 8x + 6y − 24 = 0。
(a) 求 C 的圆心及半径。（3 分）
(b) 证明点 P(11, −3) 在 C 上。（1 分）
(c) 求 C 在 P 点的切线方程。（2 分）
5. 扇形 OAB 的半径为 6 cm，圆心角 ∠AOB = 1.2 弧度。
(a) 求弧 AB 的长度及扇形的周界。（2 分）
(b) 求扇形 OAB 的面积。（2 分）
(c) 求弓形（segment）的面积，答案取 3 位有效数字。（2 分）
6. (a) 解方程 2sin²θ + 3cosθ − 3 = 0，其中 0° ≤ θ ≤ 360°。（4 分）
(b) 将 3sinθ + 4cosθ 写成 R sin(θ + α) 的形式（R > 0，0° < α < 90°），并由此写出 3sinθ + 4cosθ 的最大值。（3 分）
Section B（6 题，共 38 分）
7. (a) 某等差数列的第 3 项为 11、第 8 项为 31；求首项 a 及公差 d。（3 分）
(b) 求该数列首 20 项之和。（2 分）
(c) 某等比数列的首项为 24、无穷项和为 60；求公比 r。（2 分）
8. (a) 展开 (2 − x/4)⁶，写出按 x 升幂排列的首三项。（3 分）
(b) 由此求 (1 + 2x)(2 − x/4)⁶ 展开式中 x² 的系数。（3 分）
9. (a) 已知 y = (2x − 5)⁷，求 dy/dx。（2 分）
(b) 已知 y = (3x + 1)/(x − 2)，求 dy/dx。（2 分）
(c) 曲线的方程为 y = x³ − 4x + 1；求该曲线在 x = 2 处的切线方程。（3 分）
10. (a) 求曲线 y = x³ − 3x² − 9x + 5 的所有驻点坐标，并判断各驻点的性质。（4 分）
(b) 一段 40 m 长的篱笆用来围出一个矩形花园，其中一边靠墙（该边不需篱笆）。求可围出的最大面积及对应的阔度。（3 分）
11. (a) 求 ∫₁³ (2x + 3) dx。（2 分）
(b) 求曲线 y = 9 − x² 与 x 轴在 x = −2 至 x = 2 之间所围成的面积。（2 分）
(c) 曲线 y = x² 在 x = 0 至 x = 3 之间绕 x 轴旋转，求所形成旋转体的体积（答案以 π 表示）。（2 分）
12. (a) 解联立方程 y = x + 2 及 y = x² − 4。（3 分）
(b) 解不等式 x² − 5x + 4 ≥ 0。（2 分）
1. (a) 2 分：展开 = 15 − 6√2 + 5√2 − 4（1 分）；11 − √2（1 分）。(b) 2 分：分子分母同乘 (3 + √2)（1 分）；(3 + √2)/7（1 分）。(c) 2 分：设 u = √x ⇒ u² − 6u + 8 = 0 ⇒ u = 2 或 4（1 分）；x = 4 或 x = 16（1 分）。漏写 u = √x 的替换而直接写出答案不给方法分。
2. (a) 2 分：2(x² − 6x) + 7 = 2[(x − 3)² − 9] + 7（1 分）；y = 2(x − 3)² − 11（1 分）。(b) 2 分：顶点 (3, −11)（1 分）；最小值 −11（1 分）。(c) 2 分：2(x − 3)² = 11 ⇒ (x − 3)² = 11/2（1 分）；x = 3 ± √22/2 ≈ 5.35 或 0.65（1 分）。
3. (a) 2 分：y = (x + 4)/3 ⇒ x = 3y − 4；f⁻¹(x) = 3x − 4（2 分）。(b) 2 分：g(x) = (x − 3)² − 4（1 分）；因 x ≥ 3，值域 g(x) ≥ −4（1 分）。(c) 2 分：y = (x − 3)² − 4 ⇒ x − 3 = +√(y + 4)（1 分）；g⁻¹(x) = 3 + √(x + 4)，定义域 x ≥ −4（1 分）。取负根（x − 3 = −√…）不接受，因原函数定义域为 x ≥ 3。
4. (a) 3 分：配方 (x − 4)² + (y + 3)² = 24 + 16 + 9 = 49（2 分）；圆心 (4, −3)、半径 7（1 分）。(b) 1 分：(11 − 4)² + (−3 + 3)² = 49，距离等于半径，故 P 在 C 上。（须写出距离平方的比较。）(c) 2 分：圆心与 P 在同一水平线，故半径水平 ⇒ 切线垂直（1 分）；x = 11（1 分）。
5. (a) 2 分：弧长 = 6 × 1.2 = 7.2 cm（1 分）；周界 = 7.2 + 6 + 6 = 19.2 cm（1 分）。(b) 2 分：½ × 6² × 1.2 = 21.6 cm²（2 分）。(c) 2 分：三角形面积 = ½ × 6² × sin 1.2 = 16.7767（1 分）；弓形 = 21.6 − 16.7767 = 4.82 cm²（1 分）。
6. (a) 4 分：用 sin²θ = 1 − cos²θ ⇒ 2cos²θ − 3cosθ + 1 = 0（2 分）；(2cosθ − 1)(cosθ − 1) = 0 ⇒ cosθ = 1/2 或 1（1 分）；θ = 0°、60°、300°、360°（1 分）。只写 60°、300° 而漏掉 0° 与 360° 者扣分。(b) 3 分：R = √(3² + 4²) = 5（1 分）；tan α = 4/3 ⇒ α = 53.1°（1 分）；3sinθ + 4cosθ = 5 sin(θ + 53.1°)，最大值 5（1 分）。
7. (a) 3 分：a + 2d = 11 及 a + 7d = 31（1 分）；两式相减得 5d = 20 ⇒ d = 4（1 分）；a = 11 − 2(4) ⇒ a = 3（1 分）。(b) 2 分：S₂₀ = 20/2 [2(3) + 19(4)] = 10(6 + 76)（1 分）= 820（1 分）。(c) 2 分：24/(1 − r) = 60 ⇒ 1 − r = 0.4（1 分）⇒ r = 0.6（1 分；须注意 |r| < 1 才可用无穷项和公式）。
8. (a) 3 分：2⁶ = 64（1 分）；6 · 2⁵ · (−x/4) = −48x（1 分）；15 · 2⁴ · (x/4)² = 15x²（1 分）；即 64 − 48x + 15x²。(b) 3 分：x² 项来自 1 × 15x² 及 2x × (−48x)（1 分）；15 + (−96)（1 分）= −81（1 分）。只写 15 而漏掉交叉项是最常见的失分。
9. (a) 2 分：链式法则 ⇒ 7(2x − 5)⁶ × 2（1 分）= 14(2x − 5)⁶（1 分）。(b) 2 分：商法则 ⇒ [(3)(x − 2) − (3x + 1)(1)]/(x − 2)²（1 分）= −7/(x − 2)²（1 分）。(c) 3 分：y(2) = 8 − 8 + 1 = 1（1 分）；dy/dx = 3x² − 4 ⇒ m = 3(4) − 4 = 8（1 分）；切线为 y = 8x − 15（1 分）。
10. (a) 4 分：dy/dx = 3x² − 6x − 9 = 0 ⇒ x² − 2x − 3 = 0 ⇒ x = −1 或 x = 3（1 分）；y(−1) = 10、y(3) = −22（2 分）；y″ = 6x − 6：x = −1 时 y″ = −12 < 0 ⇒ (−1, 10) 为极大点；x = 3 时 y″ = 12 > 0 ⇒ (3, −22) 为极小点（1 分）。(b) 3 分：设与墙垂直的两边各长 x，则与墙平行的边长 = 40 − 2x（1 分）；面积 A = x(40 − 2x)，dA/dx = 40 − 4x = 0 ⇒ x = 10（1 分）；A = 10 × 20 = 200 m²（1 分；须以 d²A/dx² = −4 < 0 确认极大）。
11. (a) 2 分：[x² + 3x]₁³（1 分）= (9 + 9) − (1 + 3) = 18 − 4 = 14（1 分）。(b) 2 分：∫₋₂² (9 − x²) dx = [9x − x³/3]₋₂²（1 分）= (18 − 8/3) − (−18 + 8/3) = 92/3 ≈ 30.7 平方单位（1 分）。(c) 2 分：V = π∫₀³ (x²)² dx = π[x⁵/5]₀³（1 分）= 243π/5 = 48.6π ≈ 152.7 立方单位（1 分）。体积题必须先写出 V = π∫y² dx 才给方法分。
12. (a) 3 分：x + 2 = x² − 4 ⇒ x² − x − 6 = 0（1 分）；(x − 3)(x + 2) = 0 ⇒ x = 3 或 x = −2（1 分）；交点为 (3, 5) 及 (−2, 0)（1 分）。(b) 2 分：(x − 1)(x − 4) ≥ 0（1 分）⇒ x ≤ 1 或 x ≥ 4（1 分）。答案写成 1 ≤ x ≤ 4 属符号方向错误，不给分。
| Paper 1 主题 | 考核重点 |
|---|---|
| 二次方程（Quadratics） | 配方、判别式、二次不等式、联立方程（直线与曲线） |
| 函数（Functions） | 定义域与值域、复合函数、反函数、图像变换 |
| 坐标几何（Coordinate geometry） | 直线方程、圆的方程、圆与直线的关系、切线与法线 |
| 弧度法（Circular measure） | 弧长、扇形面积、弓形面积 |
| 三角学（Trigonometry） | 恒等式、解三角方程、a sinθ + b cosθ 化为 R sin(θ ± α) |
| 数列（Series） | 等差与等比数列、无穷项和、二项展开 |
| 微分（Differentiation） | 链式／乘积／商法则、切线与法线、驻点与极值、变化率 |
| 积分（Integration） | 不定积分与定积分、面积、旋转体体积 |
| 周次 | 内容 | 操练重点 |
|---|---|---|
| 1–2 | 二次方程、函数与图像变换 | 配方与判别式的文字题；反函数的定义域 |
| 3–4 | 坐标几何（直线、圆、切线）、不等式与联立方程 | 圆与直线相交／相切的三种情形 |
| 5 | 弧度法（弧长、扇形、弓形） | 角度与弧度互换、弓形面积 |
| 6–7 | 三角学：恒等式、三角方程、R sin(θ ± α) | 限时解方程（每题 6 分钟内完成并写齐全根） |
| 8 | 数列：等差、等比、二项展开 | 无穷项和的收敛条件、展开式中指定系数 |
| 9–10 | 微分：法则、切线与法线、驻点、变化率 | 先写法则再求导；二阶导数判别极值 |
| 11 | 积分：定积分、面积、旋转体体积 | 画图确认上下限；体积题写出 V = π∫y² dx |
| 12 | 限时操卷：Paper 1（1 小时 50 分、75 分） | 每分约 1.5 分钟；预留 10 分钟检查未取的根与有效数字 |
问：A Level 数学到底要考几张卷？
四张。必修 Paper 1 及 Paper 3，然后在（Paper 4＋Paper 5）或（Paper 5＋Paper 6）两组之中选一组。Paper 4 与 Paper 6 不能同时选，因为 Paper 6 需要 Paper 5 的先修知识。
问：可以只考 AS Level 吗？
可以。AS 考两张卷（Paper 1 加 Paper 2／4／5 其中一张），成绩为 a–e 级。但要留意：“Paper 1＋Paper 2”这条纯数路线不能带分完成 A Level；若日后想补上 A Level，应选 Paper 1＋Paper 4 或 Paper 1＋Paper 5 的路线。
问：可以用计算机吗？
可以，而且必须带一部具标准科学功能的计算机。不可使用电脑、图形计算机，以及具符号运算、符号微分或积分功能的计算机。考场会提供 MF19 公式表及统计表，亦须自备直尺；量角器与圆规不需要。
问：A* 怎么计？
A Level 成绩为 A*–E；A* 并非单看总分，考生须同时在 A Level 全部卷别取得整体高分，并在两张纯数学卷（Paper 1 及 Paper 3）达到指定水平。实际等级界线每年由 Cambridge 公布，不应以补习班的估算分数为准。
问：香港考生在哪里报名？
香港的 Cambridge 考试由香港考试及评核局（HKEAA）作为考试中心安排，考生一般经就读学校或考试中心报名。报名截止日期、考期（6 月及 11 月）与费用请以 HKEAA 及 Cambridge 官方公布为准。
问：这份模拟卷与官方试题有何分别？
本卷是依官方公开大纲的评核结构自行编写的原创练习题，题目、详解与分数分配均为 TutorZone 自订，并非官方试题、样本卷或过往试题。建议配合官方样本卷一同使用。
| 资源 | 用途 |
|---|---|
| Cambridge AS & A Level Mathematics 9709 课程大纲（2026–2027 考期，PDF） | 核对六张卷的时间、分数、比重、路线组合、计算机规则与 MF19 公式表 |
| 9709 课程大纲（2028–2030 考期，PDF） | 确认 2028 年起的评核结构（经核对与 2026–2027 相同） |
| Cambridge AS & A Level Mathematics 9709 科目页 | 最新大纲版本、样本试卷与教学资源 |
| 香港考试及评核局（HKEAA）Cambridge 考试安排 | 香港报名、考期与考试中心资讯 |
延伸阅读：A-Level 数学课程范围全攻略（9709）、IGCSE 数学 0580 模拟试题、IB 数学 AA SL 模拟试题、备考练习题总览。想安排 A Level 数学补习，可先看 学科的解释，再配对合适导师。