中文（繁體）
中文（簡體）
English
IB 數學 AA SL 模擬試題（Paper 1＋Paper 2 共 14 題）＋完整詳解、評分要點及 IA 探究指引
直接答案：IB 數學（Analysis and Approaches，簡稱 AA）標準級 SL 的公開評核分三部分：Paper 1（1 小時 30 分，80 分，佔 40%，不許使用計算機）、Paper 2（1 小時 30 分，80 分，佔 40%，須使用 GDC／計算機），以及校內評估 Internal Assessment「數學探究（Mathematical Exploration）」20 分，佔 20%。兩卷各設 Section A 短答題與 Section B 長答題，全部必答。以下為 TutorZone 原創模擬試題（兩卷共 14 題）連完整詳解與評分要點，全部答案已逐題核算。
下載與列印（免費，無需登記）
整份模擬卷（題目＋答案＋評分準則）已排版成 A4 PDF，課堂或自修都可以直接列印：下載 PDF 版｜開啟列印版（自動彈出列印視窗）
列印視窗會自動開啟；選「另存為 PDF」即可存檔。
考制速覽：IB 數學 AA SL 評核結構
| 評核部分 | 形式 | 時間 | 分數 | 比重 |
|---|---|---|---|---|
| Paper 1 | 不准使用計算機；Section A 短答題（必答）＋ Section B 長答題（必答） | 1 小時 30 分 | 80 分 | 40% |
| Paper 2 | 須使用計算機（GDC）；Section A 短答題（必答）＋ Section B 長答題（必答） | 1 小時 30 分 | 80 分 | 40% |
| 校內評估（IA） | 數學探究（Mathematical Exploration）：一份獨立書面探究，由校內教師評分、IB 校外審核 | 課程期間完成 | 20 分 | 20% |
| 合計 | 180 分 | 100% | ||
SL 與 HL 的分別：HL 卷一、卷二各 2 小時、110 分（各佔 30%），另有 Paper 3（1 小時、55 分、佔 20%），IA 同樣 20 分佔 20%。SL 沒有 Paper 3。
AA 與 AI 的分別：兩者共享 60 小時共同內容，但 AA 側重函數與微積分、代數推理與證明（適合數理、工程、經濟等方向），AI 側重統計、建模與科技應用。
2029 新課程預告（升學規劃要知）：IB 已公布新一版數學 AA 課程2027 年 2 月發布、2027 年 8 月首次教授、2029 年 5 月首次評核。新課程下 SL 卷一、卷二分數由 80 分減至 75 分（題目數量減少），HL 卷一、卷二由 110 減至 100 分、卷三由 55 分減至 50 分且時間改為 1 小時；IA 準則亦改以「數學探究過程」為框架。換言之：2027 及 2028 年應考的學生仍用現行結構（本卷依此編寫），2027 年 8 月入讀的學生才會用到新課程。
本卷設計與版權說明
本模擬卷由 TutorZone 導師團隊依據 IB 公開資料（《Mathematics: analysis and approaches》科目簡介與課程指引所載的評核大綱）自行編寫，並非 IB 官方試題、樣本試卷或過往試題。IB 名稱、課程文件及試題版權屬 International Baccalaureate Organization，本卷不轉載任何官方試題或課程文件內容。題目、詳解與評分要點均為本卷原創，所有數值答案已逐題核算；分數分配為本卷自訂（總分依官方 80 分設計），僅供操練與自我評估之用。
Paper 1 模擬試題（不許使用計算機，80 分）
Section A：短答題（5 題，每題 8 分，共 40 分）——除非另有指示，所有答案須以「準確值」或指定有效數字表達，並展示足夠步驟。
1. 等差數列（arithmetic sequence）中，u₃ = 16 且 u₈ = 41。
(a) 求公差 d 與首項 u₁。（3 分）
(b) 求首 20 項之和 S₂₀。（5 分）
2. 求 (2 + 3x)⁶ 展開式中 x⁴ 的係數。（8 分）
3. 解方程 log₂ x + log₂(x − 2) = 3。（8 分）
4. 設複數 z = 2 − 2√3 i。
(a) 求 |z| 與 arg z（以弧度或度數表示）。（4 分）
(b) 由此求 z³。（4 分）
5. 設 f(x) = x² ln x（x > 0）。
(a) 求 f′(x)。（4 分）
(b) 求曲線 y = f(x) 在 x = 1 處的切線方程。（4 分）
Section B：長答題（2 題，每題 20 分，共 40 分）
6. 設 f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1。
(a) 求 f′(x) 並解 f′(x) = 0。（4 分）
(b) 由此判定各駐點（stationary point）的性質，並求其坐標。（6 分）
(c) 求曲線的拐點（point of inflection）坐標。（4 分）
(d) 解 f(x) = 1，並說明圖像與直線 y = 1 的交點數目。（6 分）
7. 在三角形 ABC 中，AB = 7 cm、AC = 9 cm，且 ∠A = 60°。
(a) 求 BC 的準確值。（5 分）
(b) 求三角形面積的準確值，並以 3 位有效數字表示。（7 分）
(c) 求 ∠C 與 ∠B（3 位有效數字）。（8 分）
Paper 1 答案與評分要點
1. (a) 3 分：u₈ − u₃ = 5d ⇒ 41 − 16 = 5d ⇒ d = 5（2 分）；u₁ = u₃ − 2d = 16 − 10 = 6（1 分）。
(b) 5 分：S₂₀ = 20/2 [2(6) + 19(5)] = 10(12 + 95) = 1070。（公式 2 分；代入 2 分；答案 1 分）
2. 8 分：一般項 Tk+1 = C(6, k)·26−k·(3x)k（3 分）。設 k = 4：C(6,4) = 15（2 分）；15 × 2² × 3⁴ = 15 × 4 × 81 = 4860（3 分）。
3. 8 分：合併對數：log₂[x(x − 2)] = 3（2 分）⇒ x(x − 2) = 2³ = 8（2 分）⇒ x² − 2x − 8 = 0 ⇒ (x − 4)(x + 2) = 0（2 分）⇒ x = 4 或 x = −2；因 x > 2（真數必須為正），故 x = 4（2 分）。只寫 x = 4 而無剔除 x = −2 者扣 1 分。
4. (a) 4 分：|z| = √(2² + (2√3)²) = √(4 + 12) = 4（2 分）；arg z = −π/3（即 −60°），因 z 位於第四象限（2 分）。
(b) 4 分：z = 4 cis(−π/3)（1 分）⇒ z³ = 4³ cis(−π) = −64（3 分）。（直接展開 (2 − 2√3i)³ 亦接受。）
5. (a) 4 分：乘積法則：f′(x) = 2x·ln x + x²·(1/x) = 2x ln x + x。（每項 2 分）
(b) 4 分：f(1) = 1²·ln 1 = 0，故切點為 (1, 0)（2 分）；f′(1) = 2(1)(0) + 1 = 1（1 分）；切線：y − 0 = 1(x − 1)，即 y = x − 1（1 分）。
6. (a) 4 分：f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3)（2 分）；f′(x) = 0 ⇒ x = 1 或 x = 3（2 分）。
(b) 6 分：f″(x) = 6x − 12（1 分）；f″(1) = −6 < 0 ⇒ (1, 5) 為極大點（2 分）；f″(3) = 6 > 0 ⇒ (3, 1) 為極小點（2 分）；坐標計算：f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5、f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1（1 分）。
(c) 4 分：f″(x) = 0 ⇒ x = 2（2 分）；f(2) = 8 − 24 + 18 + 1 = 3，故拐點為 (2, 3)（2 分）。
(d) 6 分：x³ − 6x² + 9x + 1 = 1 ⇒ x³ − 6x² + 9x = 0 ⇒ x(x² − 6x + 9) = x(x − 3)² = 0（3 分）⇒ x = 0 或 x = 3（重根）（2 分）。圖像與 y = 1 有兩個相異交點：(0, 1) 及 (3, 1)（1 分）。答案寫「三個交點」者視為概念錯誤。
7. (a) 5 分：餘弦定理：BC² = 7² + 9² − 2(7)(9)cos 60° = 49 + 81 − 126(½) = 67（3 分）⇒ BC = √67 cm（2 分）。
(b) 7 分：面積 = ½(7)(9)sin 60° = ½ × 63 × (√3/2) = (63√3)/4 cm²（4 分）≈ 27.3 cm²（3 有效數字，3 分）。
(c) 8 分：正弦定理：sin C / 7 = sin 60° / √67（2 分）⇒ sin C = 7(√3/2)/√67 ≈ 0.7407（2 分）⇒ ∠C ≈ 47.8°（2 分）；∠B = 180° − 60° − 47.8° ≈ 72.2°（2 分）。用餘弦定理直接求 ∠C 亦接受（(9² + 67 − 49)/(2 × 9 × √67)）。
Paper 2 模擬試題（須使用計算機，80 分）
Section A：短答題（5 題，每題 8 分，共 40 分）——結果須以 3 位有效數字表示，並須寫出所用分配或函數。
1. 設 X ~ N(52, 8²)。求：
(a) P(X > 60)；（3 分）
(b) P(45 < X < 58)；（3 分）
(c) 使 P(X < a) = 0.9 的 a 值。（2 分）
2. 某生產線有 12% 產品不合規格。隨機抽取 20 件。
(a) 求恰有 3 件不合規格的概率。（4 分）
(b) 求至少 1 件不合規格的概率。（4 分）
3. 某細菌群落數量 N(t) = 500e0.35t（t 以小時計）。
(a) 求 t = 6 時的數量。（4 分）
(b) 求數量倍增所需時間。（4 分）
4. 設向量 a = (2, −1, 3)、b = (1, 4, −2)。
(a) 求 a·b 及兩向量之間的夾角。（5 分）
(b) 求 a 在 b 上的向量投影。（3 分）
5. 解方程 3 sin x = 2 cos x，其中 0 ≤ x ≤ 2π，答案以弧度表示（3 位有效數字）。（8 分）
Section B：長答題（2 題，每題 20 分，共 40 分）
6. 一個無蓋長方體盒，底為邊長 x cm 的正方形，容積為 1000 cm³。
(a) 以 x 表示盒高 h。（3 分）
(b) 證明表面積 S = x² + 4000/x。（5 分）
(c) 求使表面積最小的 x 值與 h 值（3 位有效數字）。（8 分）
(d) 證明該值確為最小值，並求最小表面積。（4 分）
7. 一個球從 3 m 高處落下，每次反彈高度為前一次高度的 60%。
(a) 求第 3 次反彈後的高度。（4 分）
(b) 寫出第 n 次反彈後高度的表達式。（4 分）
(c) 求球靜止前所經過的總垂直距離（準確值）。（12 分）
Paper 2 答案與評分要點
1. (a) 3 分：z = (60 − 52)/8 = 1（1 分）；P(X > 60) = 1 − Φ(1) ≈ 0.159（2 分）。
(b) 3 分：z₁ = (45 − 52)/8 = −0.875、z₂ = (58 − 52)/8 = 0.75（2 分）；P = Φ(0.75) − Φ(−0.875) ≈ 0.583（1 分）。
(c) 2 分：z = 1.2816 ⇒ a = 52 + 1.2816(8) ≈ 62.3。
2. 4+4 分：設 Y ~ B(20, 0.12)。
(a) P(Y = 3) = C(20,3)(0.12)³(0.88)¹⁷ ≈ 0.224。（列式 2 分；答案 2 分）
(b) P(Y ≥ 1) = 1 − P(Y = 0) = 1 − (0.88)²⁰ ≈ 0.922。（方法 2 分；答案 2 分）
3. 4+4 分：(a) N(6) = 500e2.1 ≈ 4083（隻）。（代入 2 分；答案 2 分）
(b) 2N(0) = 500e0.35t ⇒ e0.35t = 2 ⇒ t = ln 2 / 0.35 ≈ 1.98 小時。（列式 3 分；答案 1 分）
4. (a) 5 分：a·b = 2(1) + (−1)(4) + 3(−2) = −8（2 分）；|a| = √14、|b| = √21（1 分）；cos θ = −8/√294 ≈ −0.4666 ⇒ θ ≈ 117.8°（2 分）。
(b) 3 分：projba = (a·b / |b|²) b = (−8/21)(1, 4, −2) ≈ (−0.381, −1.524, 0.762)。
5. 8 分：3 sin x = 2 cos x ⇒ tan x = 2/3（3 分）；x = arctan(2/3) ≈ 0.588（3 分）；第二解 x = 0.588 + π ≈ 3.73（2 分）。只寫一個解得 3 分以下。
6. (a) 3 分：x²h = 1000 ⇒ h = 1000/x²。
(b) 5 分：S = x² + 4xh = x² + 4x(1000/x²) = x² + 4000/x。（列式 3 分；化簡 2 分）
(c) 8 分：dS/dx = 2x − 4000/x²（3 分）；設為 0：2x³ = 4000 ⇒ x³ = 2000 ⇒ x ≈ 12.6 cm（3 分）；h = 1000/x² ≈ 6.30 cm（2 分）。
(d) 4 分：S″ = 2 + 8000/x³（2 分）；在 x ≈ 12.6 時 S″ = 6 > 0，故為極小（1 分）；S ≈ 476 cm²（1 分）。只寫「圖像開口向上」而無計算者不給第 1 分。
7. (a) 4 分：h₃ = 3(0.6)³ = 0.648 m。（列式 2 分；答案 2 分）
(b) 4 分：hn = 3(0.6)n m。
(c) 12 分：首次下落 3 m（2 分）；其後每次反彈與回落距離各為 3(0.6)n，總計 2 × Σn=1∞ 3(0.6)n（4 分）；等比數列和 = 3(0.6)/(1 − 0.6) = 1.8/0.4 = 4.5（3 分）；故總距離 = 3 + 2(4.5) = 12 m（3 分）。只答 3 + 4.5 = 7.5 m 者，漏算回落段，只給 4 分。
校內評估（IA）20 分：數學探究怎麼做
| 準則 | 評核重點 |
|---|---|
| A：Presentation（表達） | 整體結構是否清晰連貫：題目、目標、數學過程與結論的組織，圖表與符號使用是否一致。 |
| B：Mathematical communication（數學傳意） | 是否準確使用數學語言與符號、定義變數、清楚交代推理步驟，讓讀者能跟隨你的思路。 |
| C：Personal engagement（個人投入） | 題目是否来自你真正感興趣的問題；有沒有你自己的選擇、假設與反思。 |
| D：Reflection（反思） | 是否檢視結果的合理性、方法的限制、誤差的影響，並提出可改進之處。 |
| E：Use of mathematics（數學運用） | 所用的數學是否切合探究目標、程度是否達到課綱要求、是否展現對數學概念的理解（而非只套公式）。 |
五個可行的探究題目示例：① 用指數函數與對數分析某款手機電池的充放電曲線；② 以正態分布檢驗校內某一項數據（如通勤時間）是否近似常態；③ 用幾何與微積分尋找最省材料的包裝設計；④ 以等比數列與極限分析籃球運球反彈的高度衰減；⑤ 用統計回歸分析氣溫與用電量的關係。重點是「有真實數據、有數學、有反思」，不是題目聽起來高深。
IA 三個致命錯誤：① 把它寫成「資料報告」——大量背景與數據，卻沒有數學推導；② 題目太闊（例如「數學與藝術」）而無明確研究問題；③ 使用網上現成的探究（抄襲會直接失去資格）。時間線建議：中五下學期定題並收集數據，暑假完成初稿，中六上學期依老師回饋修訂。
AA SL 最常見的失分位
- 卷二忘記使用 GDC：卷二本來就容許（並預期）使用圖形計算機處理正態分布、二項分布、回歸與方程數值解；手算既慢又易錯。
- 不看指令動詞：「Show that」要展示推導過程、「Hence」必須用上一部分的結果、「Sketch」不要求精確標點但要有關鍵特徵。
- 有效數字與單位：除非題目要求準確值，答案一般取 3 位有效數字；中間步驟過早四捨五入會失分。
- 只寫答案不寫步驟：AA 卷設「方法分（M marks）」，結論正確但無過程仍會扣分。
- 忽略定義域與真數條件：對數方程、根式方程與函數定義域常設陷阱（如本卷第 3 題須剔除 x = −2）。
- 證明只靠圖像：圖像可輔助，但「證明」須靠代數或微積分推導。
12 週備考時間表
| 週次 | 卷一（不用計算機） | 卷二（用 GDC） | IA |
|---|---|---|---|
| 1–3 | 代數與函數基本功：求根、指數對數、複數運算 | GDC 操作：求解、繪圖、分布計算 | 選題與資料來源確認 |
| 4–6 | 微積分：微分技巧、切線、極值、積分 | 微積分與圖像分析（GDC 求導與積分） | 收集數據並完成初稿 50% |
| 7–9 | 三角、向量、數列與二項式 | 概率與統計：正態／二項分布、回歸 | 完成全稿，交老師初評 |
| 10–11 | 限時操卷：卷一 90 分鐘完成 80 分 | 限時操卷：卷二 90 分鐘完成 80 分 | 按回饋修訂（重點：反思部分） |
| 12 | 錯題重做（只做錯過的題型） | GDC 熟練度最後檢查 | 格式與引用最後檢查 |
常見問題 FAQ
問：AA SL 與 AI SL 該選哪一個？
想讀數理、工程、經濟、電腦等方向，通常選 AA；想讀商科、社會科學、設計或人文，AI 的統計與建模取向更合用。兩者 SL 都是 150 小時、評核結構相同（兩卷各 40%＋IA 20%）。
問：卷二可以用哪一部計算機？
須使用 IB 認可的圖形顯示計算機（GDC），型號清單以 IB 官方公布為準；入場前應清空記憶或按規定處理。
問：IA 何時做最好？
中五下學期定題、暑假完成初稿、中六上學期修訂。IA 佔 20%，比任何一卷的一半還重，切勿留到最後一刻。
問：2027 / 2028 應考會改變嗎？
不會。新課程 2027 年 8 月才首次教授、2029 年 5 月首次評核；現行結構（卷一卷二各 80 分、IA 20 分）適用於 2027 及 2028 年應考的學生。
問：卷一完全不能用計算機，怎樣練？
平時練習卷一時把手機與計算機完全收起，只准用草稿紙；並熟記常用值（如 √2、√3、sin 60° = √3/2、log 2）與心算技巧。
問：香港有 IB 數學補習嗎？
有。TutorZone 可配對熟悉 AA／AI 課程與 IA 指導的導師，亦可針對卷一「無計算機」技巧作專項訓練。
官方資源對照表
| 資源 | 用途 |
|---|---|
| IB《Mathematics: analysis and approaches》科目簡介（PDF） | 核對 SL／HL 的評核比重、卷別時間與教學時數 |
| IB 官方課程更新頁：Mathematics: analysis and approaches | 2027 年 8 月首次教授、2029 年首次評核的新課程改動（SL 卷減至 75 分、IA 準則改版） |
| IB DP 數學課程頁 | AA 與 AI 的分別、選科建議與課程概覽 |
延伸閱讀：IB Mathematical Studies 課程指南、模擬試題練習區。想安排 IB 數學或 IA 指導，可先看 學科的解釋，再配對合適導師。
- 同系列——IB Mathematical Studies 課程指南、模擬試題練習區（DSE 各科模擬試題）。
- 科目指南——學科的解釋：了解各課程與課綱。
- 交通與安排——跨區交通指南：安排上門或跨區上課前先看通勤時間。
註：以上資訊僅供參考，IB 課程與評核規則一律以 International Baccalaureate Organization 官方公布為準。本卷為原創練習題，並非 IB 官方試題。
立即行動：免費搵 IB 數學導師
學生與家長：AA SL 的三個部分各有䢷門：卷一考不用計算機的正確與速度、卷二考 GDC 的選擇與解讀、IA 則考狀依探究的完整度。填寫年級、學校與可上課時間，TutorZone 會免費為你配對熟悉 AA／AI 課程與 IA 指導的導師：
導師：香港國際學校學生對 IB 數學與 IA 指導的需求全年不斷，懂得看課綱、能改 IA 初稿的導師尤其缺人。歡迎免費登記，配對成功才收費：
