TutorZone（www.tutorzone.com.hk）原創模擬試題 · 非考評局官方試題
直接答案：Cambridge AS & A Level 數學（9709）分六張卷，A Level 考生須考四張卷：Paper 1（純數學 1）1 小時 50 分、75 分＋Paper 3（純數學 3）1 小時 50 分、75 分為必修，再加（Paper 4 力學＋Paper 5 概率與統計 1）或（Paper 5 ＋ Paper 6 概率與統計 2）其中一組；Paper 4 與 Paper 6 不能同時選（Paper 6 依賴 Paper 5 的先修內容）。Paper 1 佔 AS 60%、A Level 30%，是整個資格的基礎卷。所有卷別須使用科學計算機，圖形計算機及具符號運算功能的計算機不准使用；考試提供 MF19 公式表及統計表。
| 卷別 | 名稱 | 時間 | 分數 | 題型 | 比重（AS／A Level） | 是否必修 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Paper 1 | Pure Mathematics 1（純數學 1） | 1 小時 50 分 | 75 | 10–12 題結構題 | AS 60%／A Level 30% | AS 及 A Level 必修 |
| Paper 2 | Pure Mathematics 2 | 1 小時 15 分 | 50 | 6–8 題結構題 | AS 40% | 只限 AS（純數路線） |
| Paper 3 | Pure Mathematics 3 | 1 小時 50 分 | 75 | 9–11 題結構題 | A Level 30% | A Level 必修 |
| Paper 4 | Mechanics（力學） | 1 小時 15 分 | 50 | 6–8 題結構題 | AS 40%／A Level 20% | 選修（見路線表） |
| Paper 5 | Probability & Statistics 1 | 1 小時 15 分 | 50 | 6–8 題結構題 | AS 40%／A Level 20% | A Level 必修 |
| Paper 6 | Probability & Statistics 2 | 1 小時 15 分 | 50 | 6–8 題結構題 | A Level 20% | 選修（A Level 專用） |
六張卷全部為筆試、校外評核，不設課程作業（coursework）。AS 成績為 a–e，A Level 成績為 A*–E。考核目標（AO）比重：AO1 知識與理解——AS 55%／A Level 52%；AO2 應用與表達——AS 45%／A Level 48%。
四個最容易搞錯的規則：① A Level 考生必須考 Paper 1 及 Paper 3，單靠 AS 成績不能直升；② AS 的「純數學路線」（Paper 1＋Paper 2）不能帶分上 A Level——Paper 2 只是 AS 卷，內容大致是 Paper 3 的子集；③ Paper 4 與 Paper 6 不能同時選（Paper 6 需要 Paper 5 的先修知識）；④ 同一考期不得同時報考 Paper 2 與 Paper 3。
| 路線 | 組合 | 說明 |
|---|---|---|
| AS Level（只讀一年） | Paper 1 ＋ Paper 2 | 純數學路線；不能帶分完成 A Level |
| Paper 1 ＋ Paper 4 | 純數學＋力學 | |
| Paper 1 ＋ Paper 5 | 純數學＋概率與統計 | |
| A Level（一年內考完） | Paper 1 ＋ Paper 3 ＋ Paper 4 ＋ Paper 5 | 香港最常見的組合（純數＋力學＋統計） |
| Paper 1 ＋ Paper 3 ＋ Paper 5 ＋ Paper 6 | 純數＋統計深化（適合數據、經濟、心理方向） | |
| A Level（分兩年考） | 第一年 P1＋P4，第二年 P3＋P5 | 第一年先考 AS 並保留成績，第二年補考兩卷完成 A Level（須符合成績保留的年期規定） |
| 第一年 P1＋P5，第二年 P3＋P4 | ||
| 第一年 P1＋P5，第二年 P3＋P6 |
選卷建議：打算讀工程、物理或精算，Paper 4 力學幾乎是必需；打算讀經濟、商科、心理或數據科學，Paper 5＋Paper 6 的統計組合更實用。若學校未有明確安排，Paper 1＋Paper 3＋Paper 4＋Paper 5 是最穩妥的默認組合，日後亦可配合 Further Mathematics（9231）的銜接。
本模擬卷由 TutorZone 導師團隊依據 Cambridge Assessment International Education 公開的《Cambridge International AS & A Level Mathematics 9709》課程大綱（適用於 2026 及 2027 年考試，版本 4；經核對，2028–2030 年版本的評核結構相同）所載的評核結構與內容範疇自行編寫，並非 Cambridge 官方試題、樣本試卷或過往試題。Cambridge 及相關課程文件版權屬 Cambridge Assessment International Education，本卷不轉載任何官方試卷或課程文件內容。題目、詳解與評分要點均為本卷原創，所有數值答案已逐題核算；各題分數分配為本卷自訂（全卷總分依官方 75 分設計），作答時間依官方 1 小時 50 分。
作答須知：可使用科學計算機（不可使用圖形計算機或具符號運算功能的計算機），須自備直尺；量角器與圓規不需要。除特別指示外，角度以度為單位，非準確值答案取 3 位有效數字。Section A（6 題，共 37 分）、Section B（6 題，共 38 分）；全部題目均須顯示運算步驟。
1. (a) 展開並化簡 (3 + √2)(5 − 2√2)，答案以 a + b√2 的形式表示（a、b 為整數）。（2 分）
(b) 將 1/(3 − √2) 寫成 (a + b√2)/c 的形式，其中 a、b、c 為整數。（2 分）
(c) 解方程 x − 6√x + 8 = 0。（2 分）
2. 已知 y = 2x² − 12x + 7。
(a) 以配方形式 a(x + b)² + c 表示 y。（2 分）
(b) 寫出曲線的頂點坐標及 y 的最小值。（2 分）
(c) 解方程 2x² − 12x + 7 = 0，答案以最簡根式表示。（2 分）
3. 已知 f(x) = (x + 4)/3（x ∈ ℝ）、g(x) = x² − 6x + 5（x ≥ 3）。
(a) 求 f⁻¹(x)。（2 分）
(b) 以配方形式表示 g(x)，並寫出 g 的值域。（2 分）
(c) 求 g⁻¹(x) 及其定義域。（2 分）
4. 圓 C 的方程為 x² + y² − 8x + 6y − 24 = 0。
(a) 求 C 的圓心及半徑。（3 分）
(b) 證明點 P(11, −3) 在 C 上。（1 分）
(c) 求 C 在 P 點的切線方程。（2 分）
5. 扇形 OAB 的半徑為 6 cm，圓心角 ∠AOB = 1.2 弧度。
(a) 求弧 AB 的長度及扇形的周界。（2 分）
(b) 求扇形 OAB 的面積。（2 分）
(c) 求弓形（segment）的面積，答案取 3 位有效數字。（2 分）
6. (a) 解方程 2sin²θ + 3cosθ − 3 = 0，其中 0° ≤ θ ≤ 360°。（4 分）
(b) 將 3sinθ + 4cosθ 寫成 R sin(θ + α) 的形式（R > 0，0° < α < 90°），並由此寫出 3sinθ + 4cosθ 的最大值。（3 分）
Section B（6 題，共 38 分）
7. (a) 某等差數列的第 3 項為 11、第 8 項為 31；求首項 a 及公差 d。（3 分）
(b) 求該數列首 20 項之和。（2 分）
(c) 某等比數列的首項為 24、無窮項和為 60；求公比 r。（2 分）
8. (a) 展開 (2 − x/4)⁶，寫出按 x 升冪排列的首三項。（3 分）
(b) 由此求 (1 + 2x)(2 − x/4)⁶ 展開式中 x² 的係數。（3 分）
9. (a) 已知 y = (2x − 5)⁷，求 dy/dx。（2 分）
(b) 已知 y = (3x + 1)/(x − 2)，求 dy/dx。（2 分）
(c) 曲線的方程為 y = x³ − 4x + 1；求該曲線在 x = 2 處的切線方程。（3 分）
10. (a) 求曲線 y = x³ − 3x² − 9x + 5 的所有駐點坐標，並判斷各駐點的性質。（4 分）
(b) 一段 40 m 長的籬笆用來圍出一個矩形花園，其中一邊靠牆（該邊不需籬笆）。求可圍出的最大面積及對應的闊度。（3 分）
11. (a) 求 ∫₁³ (2x + 3) dx。（2 分）
(b) 求曲線 y = 9 − x² 與 x 軸在 x = −2 至 x = 2 之間所圍成的面積。（2 分）
(c) 曲線 y = x² 在 x = 0 至 x = 3 之間繞 x 軸旋轉，求所形成旋轉體的體積（答案以 π 表示）。（2 分）
12. (a) 解聯立方程 y = x + 2 及 y = x² − 4。（3 分）
(b) 解不等式 x² − 5x + 4 ≥ 0。（2 分）
1. (a) 2 分：展開 = 15 − 6√2 + 5√2 − 4（1 分）；11 − √2（1 分）。(b) 2 分：分子分母同乘 (3 + √2)（1 分）；(3 + √2)/7（1 分）。(c) 2 分：設 u = √x ⇒ u² − 6u + 8 = 0 ⇒ u = 2 或 4（1 分）；x = 4 或 x = 16（1 分）。漏寫 u = √x 的替換而直接寫出答案不給方法分。
2. (a) 2 分：2(x² − 6x) + 7 = 2[(x − 3)² − 9] + 7（1 分）；y = 2(x − 3)² − 11（1 分）。(b) 2 分：頂點 (3, −11)（1 分）；最小值 −11（1 分）。(c) 2 分：2(x − 3)² = 11 ⇒ (x − 3)² = 11/2（1 分）；x = 3 ± √22/2 ≈ 5.35 或 0.65（1 分）。
3. (a) 2 分：y = (x + 4)/3 ⇒ x = 3y − 4；f⁻¹(x) = 3x − 4（2 分）。(b) 2 分：g(x) = (x − 3)² − 4（1 分）；因 x ≥ 3，值域 g(x) ≥ −4（1 分）。(c) 2 分：y = (x − 3)² − 4 ⇒ x − 3 = +√(y + 4)（1 分）；g⁻¹(x) = 3 + √(x + 4)，定義域 x ≥ −4（1 分）。取負根（x − 3 = −√…）不接受，因原函數定義域為 x ≥ 3。
4. (a) 3 分：配方 (x − 4)² + (y + 3)² = 24 + 16 + 9 = 49（2 分）；圓心 (4, −3)、半徑 7（1 分）。(b) 1 分：(11 − 4)² + (−3 + 3)² = 49，距離等於半徑，故 P 在 C 上。（須寫出距離平方的比較。）(c) 2 分：圓心與 P 在同一水平線，故半徑水平 ⇒ 切線垂直（1 分）；x = 11（1 分）。
5. (a) 2 分：弧長 = 6 × 1.2 = 7.2 cm（1 分）；周界 = 7.2 + 6 + 6 = 19.2 cm（1 分）。(b) 2 分：½ × 6² × 1.2 = 21.6 cm²（2 分）。(c) 2 分：三角形面積 = ½ × 6² × sin 1.2 = 16.7767（1 分）；弓形 = 21.6 − 16.7767 = 4.82 cm²（1 分）。
6. (a) 4 分：用 sin²θ = 1 − cos²θ ⇒ 2cos²θ − 3cosθ + 1 = 0（2 分）；(2cosθ − 1)(cosθ − 1) = 0 ⇒ cosθ = 1/2 或 1（1 分）；θ = 0°、60°、300°、360°（1 分）。只寫 60°、300° 而漏掉 0° 與 360° 者扣分。(b) 3 分：R = √(3² + 4²) = 5（1 分）；tan α = 4/3 ⇒ α = 53.1°（1 分）；3sinθ + 4cosθ = 5 sin(θ + 53.1°)，最大值 5（1 分）。
7. (a) 3 分：a + 2d = 11 及 a + 7d = 31（1 分）；兩式相減得 5d = 20 ⇒ d = 4（1 分）；a = 11 − 2(4) ⇒ a = 3（1 分）。(b) 2 分：S₂₀ = 20/2 [2(3) + 19(4)] = 10(6 + 76)（1 分）= 820（1 分）。(c) 2 分：24/(1 − r) = 60 ⇒ 1 − r = 0.4（1 分）⇒ r = 0.6（1 分；須注意 |r| < 1 才可用無窮項和公式）。
8. (a) 3 分：2⁶ = 64（1 分）；6 · 2⁵ · (−x/4) = −48x（1 分）；15 · 2⁴ · (x/4)² = 15x²（1 分）；即 64 − 48x + 15x²。(b) 3 分：x² 項來自 1 × 15x² 及 2x × (−48x)（1 分）；15 + (−96)（1 分）= −81（1 分）。只寫 15 而漏掉交叉項是最常見的失分。
9. (a) 2 分：鏈式法則 ⇒ 7(2x − 5)⁶ × 2（1 分）= 14(2x − 5)⁶（1 分）。(b) 2 分：商法則 ⇒ [(3)(x − 2) − (3x + 1)(1)]/(x − 2)²（1 分）= −7/(x − 2)²（1 分）。(c) 3 分：y(2) = 8 − 8 + 1 = 1（1 分）；dy/dx = 3x² − 4 ⇒ m = 3(4) − 4 = 8（1 分）；切線為 y = 8x − 15（1 分）。
10. (a) 4 分：dy/dx = 3x² − 6x − 9 = 0 ⇒ x² − 2x − 3 = 0 ⇒ x = −1 或 x = 3（1 分）；y(−1) = 10、y(3) = −22（2 分）；y″ = 6x − 6：x = −1 時 y″ = −12 < 0 ⇒ (−1, 10) 為極大點；x = 3 時 y″ = 12 > 0 ⇒ (3, −22) 為極小點（1 分）。(b) 3 分：設與牆垂直的兩邊各長 x，則與牆平行的邊長 = 40 − 2x（1 分）；面積 A = x(40 − 2x)，dA/dx = 40 − 4x = 0 ⇒ x = 10（1 分）；A = 10 × 20 = 200 m²（1 分；須以 d²A/dx² = −4 < 0 確認極大）。
11. (a) 2 分：[x² + 3x]₁³（1 分）= (9 + 9) − (1 + 3) = 18 − 4 = 14（1 分）。(b) 2 分：∫₋₂² (9 − x²) dx = [9x − x³/3]₋₂²（1 分）= (18 − 8/3) − (−18 + 8/3) = 92/3 ≈ 30.7 平方單位（1 分）。(c) 2 分：V = π∫₀³ (x²)² dx = π[x⁵/5]₀³（1 分）= 243π/5 = 48.6π ≈ 152.7 立方單位（1 分）。體積題必須先寫出 V = π∫y² dx 才給方法分。
12. (a) 3 分：x + 2 = x² − 4 ⇒ x² − x − 6 = 0（1 分）；(x − 3)(x + 2) = 0 ⇒ x = 3 或 x = −2（1 分）；交點為 (3, 5) 及 (−2, 0)（1 分）。(b) 2 分：(x − 1)(x − 4) ≥ 0（1 分）⇒ x ≤ 1 或 x ≥ 4（1 分）。答案寫成 1 ≤ x ≤ 4 屬符號方向錯誤，不給分。
| Paper 1 主題 | 考核重點 |
|---|---|
| 二次方程（Quadratics） | 配方、判別式、二次不等式、聯立方程（直線與曲線） |
| 函數（Functions） | 定義域與值域、複合函數、反函數、圖像變換 |
| 坐標幾何（Coordinate geometry） | 直線方程、圓的方程、圓與直線的關係、切線與法線 |
| 弧度法（Circular measure） | 弧長、扇形面積、弓形面積 |
| 三角學（Trigonometry） | 恆等式、解三角方程、a sinθ + b cosθ 化為 R sin(θ ± α) |
| 數列（Series） | 等差與等比數列、無窮項和、二項展開 |
| 微分（Differentiation） | 鏈式／乘積／商法則、切線與法線、駐點與極值、變化率 |
| 積分（Integration） | 不定積分與定積分、面積、旋轉體體積 |
| 週次 | 內容 | 操練重點 |
|---|---|---|
| 1–2 | 二次方程、函數與圖像變換 | 配方與判別式的文字題；反函數的定義域 |
| 3–4 | 坐標幾何（直線、圓、切線）、不等式與聯立方程 | 圓與直線相交／相切的三種情形 |
| 5 | 弧度法（弧長、扇形、弓形） | 角度與弧度互換、弓形面積 |
| 6–7 | 三角學：恆等式、三角方程、R sin(θ ± α) | 限時解方程（每題 6 分鐘內完成並寫齊全根） |
| 8 | 數列：等差、等比、二項展開 | 無窮項和的收斂條件、展開式中指定係數 |
| 9–10 | 微分：法則、切線與法線、駐點、變化率 | 先寫法則再求導；二階導數判別極值 |
| 11 | 積分：定積分、面積、旋轉體體積 | 畫圖確認上下限；體積題寫出 V = π∫y² dx |
| 12 | 限時操卷：Paper 1（1 小時 50 分、75 分） | 每分約 1.5 分鐘；預留 10 分鐘檢查未取的根與有效數字 |
問：A Level 數學到底要考幾張卷？
四張。必修 Paper 1 及 Paper 3，然後在（Paper 4＋Paper 5）或（Paper 5＋Paper 6）兩組之中選一組。Paper 4 與 Paper 6 不能同時選，因為 Paper 6 需要 Paper 5 的先修知識。
問：可以只考 AS Level 嗎？
可以。AS 考兩張卷（Paper 1 加 Paper 2／4／5 其中一張），成績為 a–e 級。但要留意：「Paper 1＋Paper 2」這條純數路線不能帶分完成 A Level；若日後想補上 A Level，應選 Paper 1＋Paper 4 或 Paper 1＋Paper 5 的路線。
問：可以用計算機嗎？
可以，而且必須帶一部具標準科學功能的計算機。不可使用電腦、圖形計算機，以及具符號運算、符號微分或積分功能的計算機。考場會提供 MF19 公式表及統計表，亦須自備直尺；量角器與圓規不需要。
問：A* 怎麼計？
A Level 成績為 A*–E；A* 並非單看總分，考生須同時在 A Level 全部卷別取得整體高分，並在兩張純數學卷（Paper 1 及 Paper 3）達到指定水平。實際等級界線每年由 Cambridge 公布，不應以補習班的估算分數為準。
問：香港考生在哪裡報名？
香港的 Cambridge 考試由香港考試及評核局（HKEAA）作為考試中心安排，考生一般經就讀學校或考試中心報名。報名截止日期、考期（6 月及 11 月）與費用請以 HKEAA 及 Cambridge 官方公布為準。
問：這份模擬卷與官方試題有何分別？
本卷是依官方公開大綱的評核結構自行編寫的原創練習題，題目、詳解與分數分配均為 TutorZone 自訂，並非官方試題、樣本卷或過往試題。建議配合官方樣本卷一同使用。
| 資源 | 用途 |
|---|---|
| Cambridge AS & A Level Mathematics 9709 課程大綱（2026–2027 考期，PDF） | 核對六張卷的時間、分數、比重、路線組合、計算機規則與 MF19 公式表 |
| 9709 課程大綱（2028–2030 考期，PDF） | 確認 2028 年起的評核結構（經核對與 2026–2027 相同） |
| Cambridge AS & A Level Mathematics 9709 科目頁 | 最新大綱版本、樣本試卷與教學資源 |
| 香港考試及評核局（HKEAA）Cambridge 考試安排 | 香港報名、考期與考試中心資訊 |
延伸閱讀：A-Level 數學課程範圍全攻略（9709）、IGCSE 數學 0580 模擬試題、IB 數學 AA SL 模擬試題、備考練習題總覽。想安排 A Level 數學補習，可先看 學科的解釋，再配對合適導師。