TutorZone（www.tutorzone.com.hk）原創模擬試題 · 非考評局官方試題
直接答案：AP Calculus 分 AB 與 BC 兩卷，結構完全相同：全長 3 小時 10 分，Section I 選擇題 42 題／1 小時 40 分／佔 50%（Part A 29 題、62 分鐘，不可用圖形計算機，佔 35%；Part B 13 題、38 分鐘，須用圖形計算機，佔 15%），Section II 自由作答 6 題／1 小時 30 分／佔 50%（Part A 2 題、30 分鐘，須用計算機，佔 16.7%；Part B 4 題、60 分鐘，不可用計算機，佔 33.3%）。考試為混合數位模式：選擇題與題目在 Bluebook 應用程式作答，自由作答題手寫在紙本答題簿。成績以 1–5 分報告，不設校本評核；AB 與 BC 同一年不可同時報考。BC 卷覆蓋 AB 全部內容，另加參數／極坐標／向量函數、級數、分部積分等課題。
| 部分 | 題數 | 時間 | 計算機 | 佔分 |
|---|---|---|---|---|
| Section I A（選擇題） | 29 題 | 62 分鐘 | 不可使用圖形計算機 | 35% |
| Section I B（選擇題） | 13 題 | 38 分鐘 | 須使用圖形計算機 | 15% |
| Section I 合計——42 題／1 小時 40 分 | 50% | |||
| Section II A（自由作答） | 2 題 | 30 分鐘 | 須使用圖形計算機 | 16.7% |
| Section II B（自由作答） | 4 題 | 60 分鐘 | 不可使用計算機 | 33.3% |
| Section II 合計——6 題／1 小時 30 分 | 50% | |||
考試總時長 3 小時 10 分；選擇題與自由作答題的題目在 Bluebook 測試應用程式中呈現，自由作答題則手寫在紙本答題簿上，答題簿回收後由官方評分。計算機必須是 AP 認可型號（圖形計算機），詳見 College Board 的計算機政策。成績報告為 1–5 分，沒有校本評核或課程作業。
四條要記住的規則：① AB 與 BC 同一年不可同時報考（同一考生一年只可考其中一卷）；② 兩卷的卷制、時間與佔分完全一樣，分別在於課題範圍；③ Section I Part A 與 Section II Part B 是不可使用計算機的部分，佔全卷 68.3%（35% + 33.3%），手算能力直接影響成績；④ 成績為 1–5 級，不少大學對 Calculus 給予學分或豁免，實際要求以各大學公布為準。
| 項目 | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
|---|---|---|
| 卷制、時間、佔分 | 完全相同（見上表） | |
| 課題範圍 | 極限與連續、微分、積分、微分方程（分離變數）、面積與體積 | 包含 AB 全部內容，另加：參數方程、極坐標與向量函數；分部積分、部分分式、瑕積分；歐拉方法與邏輯斯蒂模型；弧長；數列與級數（含泰勒級數） |
| 適合對象 | 高中一年修完微積分、目標醫科／商科／生命科學 | 已完成 AB 或數學基礎較強、目標工程／物理／數學／計算機 |
| 難度定位 | 相等於大學第一學期微積分 | 相等於大學第一、二學期微積分 |
選科建議：校內只開一科微積分，而學生打算讀工程或物理，直接選 BC；若時間緊迫、或只需要一張 Calculus 成績用於商科／醫科前置要求，AB 的分數通常更容易做高。切勿為「考多一張」而在同一年同時報考 AB 與 BC（官方不允許）。
本模擬卷由 TutorZone 導師團隊依據 College Board 公開的 AP Calculus AB 與 AP Calculus BC 課程與考試說明（含考制、時間、佔分與計算機政策）自行編寫，並非 AP 官方試題、樣本試卷或過往試題。AP® 及相關課程文件版權屬 College Board，本卷不轉載任何官方試題或課程文件內容。題目、詳解與評分要點均為本卷原創，所有數值答案已逐題核算。為方便自學，本卷把官方 42 題選擇題縮短為 18 題代表題（Part A 12 題、Part B 6 題），自由作答題則完整 6 題，另加一題 BC 加考題；各題分數分配為本卷自訂。
Part A（12 題，不可使用計算機）——每題選一個最佳答案，須顯示運算過程以便自我檢查。
1. 求 limx→3 (x² − 9)/(x − 3)。（1 分）
2. 求 d/dx [x³ ln x]。（1 分）
3. 求 ∫ (3x² − 2x + 1) dx。（1 分）
4. 已知 f(x) = x³ − 6x² + 9x，求 f 的所有臨界點（critical points）的 x 值。（1 分）
5. 求 limx→0 (1 − cos x)/x²。（1 分）
6. 曲線 y = sin 2x 在 x = π/6 處的切線斜率是多少？（1 分）
7. 求 ∫₀² (4 − x²) dx。（1 分）
8. 求 f(x) = x² 在區間 [1, 4] 上的平均變化率。（1 分）
9. 把 limn→∞ Σi=1n (i/n)² (1/n) 寫成定積分並求值。（1 分）
10. 已知 f″(x) = (x − 2)(x + 1)，求 f 的圖像向下凹（concave down）的區間。（1 分）
11. 已知 f(2) = 5 且 f′(2) = 3，求 (f⁻¹)′(5)。（1 分）
12. 曲線 2x² + 3y² = 30 上點 (3, 2) 處的 dy/dx 是多少？（1 分）
Part B（6 題，可使用圖形計算機，數值取 3 位小數或 3 位有效數字）
13. 求 f(x) = x³ 在區間 [0, 2] 上的平均值。（1 分）
14. 求曲線 y = x² 與直線 y = 2x 所圍成區域的面積。（1 分）
15. 質點的速率為 v(t) = 6t − 4（m/s），已知 s(1) = 3，求 s(3)。（1 分）
16. 曲線 y = √x 在 x = 0 至 x = 4 之間繞 x 軸旋轉，求旋轉體體積。（1 分）
17. 某量以 y = 100e0.05t 增長，求 y 增至 200 所需的 t。（1 分）
18. 帳戶餘額 A(t) = 500(1.02)t（元），求 A′(10)，即第 10 年時的瞬時增長率。（1 分）
Part A（第 1–2 題，須使用圖形計算機）
1. 區域 R 由曲線 y = x² 與直線 y = 2x + 3 所圍成。
(a) 求兩者的交點。（3 分）
(b) 求 R 的面積。（3 分）
(c) R 繞 x 軸旋轉，求旋轉體體積（以 π 表示）。（3 分）
2. 一個球形氣球的體積以 100 cm³/s 的速率增加。
(a) 當半徑 r = 5 cm 時，求半徑的增長率 dr/dt。（5 分）
(b) 此時表面積 S = 4πr² 的增長率 dS/dt 是多少？（4 分）
Part B（第 3–6 題，不可使用計算機）
3. 已知 f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 4。
(a) 求 f′(x)。（2 分）
(b) 求所有臨界點，並判定各點為極大或極小。（4 分）
(c) 求 f 在 x = 0 處的切線方程。（2 分）
(d) 求 f 遞減的區間。（1 分）
4. 曲線的方程為 x² + xy + y² = 7。
(a) 以隱函數微分求 dy/dx。（4 分）
(b) 求點 (1, 2) 處的 dy/dx。（2 分）
(c) 求該點處的切線方程。（2 分）
(d) 求曲線上切線為鉛直線（vertical tangent）的兩點。（1 分）
5. 定義 F(x) = ∫₁x (t² − 4) dt。
(a) 求 F′(x)。（2 分）
(b) 求 F 的極值點位置並判定性質。（3 分）
(c) 求 F(2)。（2 分）
(d) 在 [1, 5] 上，方程 F(x) = 0 有多少個解？說明理由。（2 分）
6. (a) 解微分方程 dy/dx = 2xy，已知 y(0) = 3。（6 分）
(b) 求 y(0.5)。（3 分）
BC 加考題（選考，1 題）
7. (BC) (a) 寫出 f(x) = e−x² 的麥克勞林級數首四項。（4 分）
(b) 用 (a) 的級數估算 ∫₀0.5 e−x² dx，取 4 位小數。（3 分）
(c) 判斷級數 Σn=1∞ 1/(n·3n) 是否收斂，並說明所用檢驗法。（2 分）
1. 約去分母：原式 = lim (x + 3) = 6。
2. 乘積法則：3x²·ln x + x³·(1/x) = x²(3 ln x + 1)。
3. x³ − x² + x + C（每一項各自積分）。
4. f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) ⇒ x = 1 或 x = 3。
5. 用 1 − cos x ≈ x²/2（或洛必達法則兩次）⇒ 極限 = 1/2。
6. y′ = 2cos 2x ⇒ y′(π/6) = 2cos(π/3) = 1。
7. [4x − x³/3]₀² = 8 − 8/3 = 16/3 ≈ 5.333。
8. 平均變化率 = (f(4) − f(1))/(4 − 1) = (16 − 1)/3 = 5。
9. 黎曼和對應 ∫₀¹ x² dx = 1/3。
10. f″ < 0 ⇒ (x − 2)(x + 1) < 0 ⇒ −1 < x < 2。
11. (f⁻¹)′(5) = 1/f′(2) = 1/3。
12. 隱函數微分：4x + 6y·y′ = 0 ⇒ y′ = −2x/(3y) ⇒ 在 (3, 2) 得 −1。
13. 平均值 = (1/(2 − 0))∫₀² x³ dx = (1/2)(4) = 2。
14. 交點 x = 0、2；面積 = ∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3 ≈ 1.333。
15. s(3) = 3 + ∫₁³ (6t − 4) dt = 3 + [3t² − 4t]₁³ = 3 + (15 + 1) = 19。
16. V = π∫₀⁴ (√x)² dx = π[x²/2]₀⁴ = 8π ≈ 25.133。
17. 100e0.05t = 200 ⇒ t = ln 2 / 0.05 = 約 13.863。
18. A′(t) = 500(1.02)t ln 1.02 ⇒ A′(10) = 約 12.070（元／年）。
1. (a) 3 分：x² = 2x + 3 ⇒ x² − 2x − 3 = 0 ⇒ (x − 3)(x + 1) = 0 ⇒ x = −1 與 x = 3（交點 (−1, 1) 與 (3, 9)）。(b) 3 分：面積 = ∫₋₁³ (2x + 3 − x²) dx = [x² + 3x − x³/3]₋₁³ = 9 − (−5/3) = 32/3 ≈ 10.667。(c) 3 分：V = π∫₋₁³ [(2x + 3)² − (x²)²] dx = π(364/3 − 244/5) = 1088π/15 ≈ 227.87。必須寫出 V = π∫(外半徑² − 內半徑²) dx 才給方法分。
2. (a) 5 分：V = (4/3)πr³ ⇒ dV/dt = 4πr²·(dr/dt)（3 分）；100 = 4π(25)(dr/dt) ⇒ dr/dt = 1/π ≈ 0.318 cm/s（2 分）。(b) 4 分：S = 4πr² ⇒ dS/dt = 8πr·(dr/dt)（2 分）= 8π(5)(1/π) = 40 cm²/s（2 分）。
3. (a) 2 分：f′(x) = 6x² − 6x − 12。(b) 4 分：6x² − 6x − 12 = 0 ⇒ 6(x − 2)(x + 1) = 0 ⇒ x = 2 或 −1（2 分）；f″(x) = 12x − 6：x = −1 時 f″ = −18 < 0 ⇒ (−1, 11) 為極大點；x = 2 時 f″ = 18 > 0 ⇒ (2, −16) 為極小點（2 分）。(c) 2 分：f(0) = 4、f′(0) = −12 ⇒ 切線 y = −12x + 4。(d) 1 分：f′ < 0 ⇒ −1 < x < 2 為遞減區間。
4. (a) 4 分：2x + y + xy′ + 2yy′ = 0（3 分）⇒ y′ = −(2x + y)/(x + 2y)（1 分）。(b) 2 分：代入 (1, 2)：−(2 + 2)/(1 + 4) = −4/5。(c) 2 分：y − 2 = −(4/5)(x − 1) ⇒ y = −(4/5)x + 14/5。(d) 1 分：鉛直切線須 x + 2y = 0，代入原式得 3y² = 7 ⇒ y = ±√(7/3)，兩點為 (−2√(7/3), √(7/3)) 與 (2√(7/3), −√(7/3))（約 (−3.055, 1.528) 與 (3.055, −1.528)）。
5. (a) 2 分：微積分基本定理 ⇒ F′(x) = x² − 4。(b) 3 分：F′ = 0 ⇒ x = ±2；x = −2 為極大（F′ 由正轉負）、x = 2 為極小（由負轉正）。（注意 −2 不在本題 [1, 5] 的討論範圍內。）(c) 2 分：F(2) = [t³/3 − 4t]₁² = (8/3 − 8) − (1/3 − 4) = −5/3 ≈ −1.667。(d) 2 分：2 個解——x = 1 時 F = 0；F 在 (1, 2) 上由 0 降至 −5/3 後回升，而 F(5) = [t³/3 − 4t]₁⁵ = 76/3 > 0，故在 (2, 5) 內另有一解。
6. (a) 6 分：分離變數 dy/y = 2x dx（2 分）；ln|y| = x² + C（2 分）；y = 3ex²（代入 y(0) = 3 求 C，2 分）。(b) 3 分：y(0.5) = 3e0.25 = 約 3.852。
7. (BC) (a) 4 分：eu = 1 + u + u²/2 + u³/6 + …，令 u = −x² ⇒ 1 − x² + x⁴/2 − x⁶/6。(b) 3 分：逐項積分 ⇒ 0.5 − 0.5³/3 + 0.5⁵/10 − 0.5⁷/42 = 約 0.4613。(c) 2 分：收斂——比值檢驗法：an+1/an = n/(3(n + 1)) → 1/3 < 1。另可用與收斂的 Σ1/3n 作比較檢驗（n·3n ≥ 3n）。
| 課題 | AB | BC 額外內容 |
|---|---|---|
| 極限與連續 | 極限定義、單側極限、連續性、夾擠定理 | 洛必達法則處理不定型、瑕積分 |
| 微分 | 定義、冪／乘積／商／鏈式法則、隱函數微分、相關變化率 | 參數方程與向量函數的微分、弧長、極坐標曲線面積 |
| 微分的應用 | 均值定理、極值與凹性、優化問題、率相關問題 | 邏輯斯蒂增長模型、歐拉方法 |
| 積分 | 黎曼和、微積分基本定理、換元法、定積分應用（面積、體積、累積變化量） | 分部積分、部分分式、瑕積分、弧長 |
| 微分方程 | 分離變數、斜率場、指數增長與衰減 | 邏輯斯蒂微分方程、歐拉方法近似解 |
| 數列與級數 | 不考 | 收斂與發散、比值／比較／積分／交錯級數檢驗、泰勒與麥克勞林級數、誤差界 |
| 週次 | 內容 | 操練重點 |
|---|---|---|
| 1–2 | 極限、連續、導數定義 | 代數化簡求極限；不可使用計算機的極限題 |
| 3–4 | 微分法則、隱函數微分 | 每日 10 題純手算求導（含乘積與鏈式） |
| 5 | 微分的應用：極值、凹性、均值定理 | 寫齊判定理由（一階變號或二階導數） |
| 6 | 相關變化率與優化問題 | 先寫出關係式，再對時間求導 |
| 7–8 | 黎曼和、微積分基本定理、換元法 | 把極限形式的和式轉成定積分 |
| 9 | 面積與體積、累積變化量 | 畫圖定上下限；體積題寫 R² − r² |
| 10 | 微分方程與斜率場 | 分離變數、指數增長模型 |
| 11 | 限時操練：Section I Part A（62 分鐘）＋Part B（38 分鐘） | 選擇題節奏：不可使用計算機部分約 2 分鐘／題 |
| 12 | 限時操練：Section II 全套（1 小時 30 分，2＋4 題） | 每題約 15 分鐘，先寫評分點公式再運算 |
| BC 考生加 2 週 | 級數收斂檢驗、泰勒級數、參數與極坐標 | 比值／比較／交錯級數檢驗各 20 題 |
問：AB 與 BC 可以同年一起考嗎？
不可以。官方規定同一考生在同一年度不可同時報考 AP Calculus AB 與 AP Calculus BC；只能選其中一科。
問：BC 是不是「AB 加一科」？
BC 覆蓋 AB 的全部課題，再加參數方程、極坐標與向量函數、分部積分與部分分式、瑕積分、歐拉方法、弧長，以及數列與級數（含泰勒級數）。因此 BC 的備考時間通常比 AB 多三分之一左右。
問：考試用什麼計算機？
須使用 College Board 認可的圖形計算機（4 個功能部分中，2 個部分可用）；不得使用手機、電腦或未經認可的型號。詳見官方 AP 計算機政策。
問：Free Response 是打字還是手寫？
自由作答題的題目在 Bluebook 應用程式中顯示，但答案手寫在紙本答題簿上，答題簿回收後由官方評分。
問：成績怎樣算？
選擇題與自由作答題各佔 50%，經統計程序合成後以 1–5 報告（5 為最佳）。各大學的學分或豁免政策不同，須以個別大學公布為準。
問：這份模擬卷與官方試題有何分別？
本卷是依官方公開考制與課題自行編寫的原創練習題，選擇題為代表題（官方 42 題中抽取 18 題形態），自由作答題共 6 題加 1 題 BC 加考題。建議配合官方歷年 Free Response 題目與評分指引一同使用。
| 資源 | 用途 |
|---|---|
| AP Calculus AB（College Board 官方課程頁） | 考制、題數、時間、佔分與考試日期 |
| AP Calculus BC（College Board 官方課程頁） | BC 加考課題與卷制 |
| AP Central：Calculus AB 考試說明 | 各部分題數、時間與計算機規則（官方原文） |
| AP Central：Calculus BC 考試說明 | BC 各部分題數、時間與計算機規則（官方原文） |
延伸閱讀：A Level 數學 9709 Paper 1 模擬試題、IB 數學 AA SL 模擬試題、IGCSE 數學 0580 模擬試題、備考練習題總覽。想安排 AP Calculus 補習，可先看 學科的解釋，再配對合適導師。