TutorZone（www.tutorzone.com.hk）原創模擬試題 · 非考評局官方試題
直接答案：Cambridge IGCSE 数学（0580）不设校本评核，考生按程度选考一个层级、各考两卷：Core（核心）卷——Paper 1 不准用计算机（1 小时 30 分、80 分）＋ Paper 3 可用计算机（1 小时 30 分、80 分），各占 50%，成绩上限为 C 级；Extended（增润）卷——Paper 2 不准用计算机（2 小时、100 分）＋ Paper 4 可用计算机（2 小时、100 分），各占 50%，可达 A*。由 2025 年考期起，Paper 1 与 Paper 2 改为非计算机卷，公式表会印在卷面第 2 页。
| 层级 | 卷别 | 时间 | 分数 | 比重 | 计算机 | 成绩范围 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Core | Paper 1 | 1 小时 30 分 | 80 | 50% | 不准使用 | C 至 G |
| Paper 3 | 1 小时 30 分 | 80 | 50% | 须用科学计算机 | ||
| Extended | Paper 2 | 2 小时 | 100 | 50% | 不准使用 | A* 至 E |
| Paper 4 | 2 小时 | 100 | 50% | 须用科学计算机 |
考生只考同一层级的两卷（Core 考生考 Paper 1＋3；Extended 考生考 Paper 2＋4），全部由 Cambridge 校外评分，没有课程作业（coursework）。Extended 卷包含 Core 全部内容并加上增润部分。
2025–2027 新卷制四个重点：① Paper 1（Core）改为非计算机卷，时间改为 1 小时 30 分；② Paper 2（Extended）改为非计算机卷，时间改为 2 小时；③ Paper 3 时间改为 1 小时 30 分、Paper 4 时间改为 2 小时（两卷仍可用计算机）；④ 公式表（List of formulas）已印在卷面第 2 页——卷一至卷四都有，毋须背默公式，但要懂得选用。
| 范畴 | 内容 |
|---|---|
| 1 数 | 四则运算、分数与小数、百分比、比与比例、标准形式、指数律、根式（surds）、上限与下限、比例尺 |
| 2 代数与图像 | 代数化简与因式分解、方程与不等式、联立方程、函数与图像、数列、正比与反比 |
| 3 坐标几何 | 直线方程、斜率、平行与垂直、距离与中点 |
| 4 几何 | 角与平行线、三角形与多边形、圆的性质（圆心角／圆周角、切线）、相似与全等 |
| 5 度量 | 周界、面积、表面积与体积（含圆柱、圆锥、球）、相似形体的比例关系 |
| 6 三角 | 勾股定理、正弦／余弦／正切、正弦与余弦定理、三维三角、特殊角（30°、45°、60°） |
| 7 向量与变换 | 向量运算、平移、反射、旋转、放大 |
| 8 概率 | 概率计算、树状图、互斥与独立事件、条件概率（Extended） |
| 9 统计 | 平均数、中位数、众数、四分位数与箱形图、累积频率、散点图与相关 |
工具：Paper 3／4 须使用科学计算机（强烈建议具三角函数；代数或图形计算机不允许）；Paper 1／2 不准用计算机。所有卷别应带备量角器与直尺（并建议带圆规）。公式表中 π 可使用计算机数值或 3.142。
本模拟卷由 TutorZone 导师团队依据 Cambridge Assessment International Education 公开的《Cambridge IGCSE Mathematics 0580》课程大纲（适用于 2025、2026 及 2027 年考试，版本 3，2024 年 5 月发布）所载的评核结构与内容范畴自行编写，并非 Cambridge 官方试题、样本试卷或过往试题。Cambridge、IGCSE 及相关课程文件版权属 Cambridge Assessment International Education，本卷不转载任何官方试卷或课程文件内容。题目、详解与评分要点均为本卷原创，所有数值答案已逐题核算；分数分配为本卷自订（卷面总分依官方 100 分设计）。
Section A（8 题，每题 5 分，共 40 分）——须显示运算步骤；除特别指示外，答案取 3 位有效数字或准确值。
1. 化简 √50 − √18 + √8，答案以最简根式表示。（5 分）
2. (a) 把 0.00000425 写成标准形式。（2 分）
(b) 计算 (3 × 10⁵) × (4 × 10⁻³)，答案以标准形式表示。（3 分）
3. 因式分解 6x² + 11x − 35。（5 分）
4. 解方程 3/(x + 1) = 2/(x − 2)。（5 分）
5. 求正十二边形每个内角的大小。（5 分）
6. 已知 tan 60° = √3、sin 30° = 1/2，证明 tan 60° × sin 30° = √3/2。（5 分）
7. 已知 A : B = 3 : 5 且 B : C = 2 : 7，求 A : B : C。（5 分）
8. 已知向量 a = (3, −2)、b = (−1, 4)，求 |2a − b| 的准确值。（5 分）
Section B（3 题，每题 20 分，共 60 分）
9. 曲线 y = x² − 4x − 5 与 x 轴相交于 A、B 两点。
(a) 求 A、B 两点的坐标。（6 分）
(b) 求曲线顶点（turning point）的坐标。（6 分）
(c) 由此解方程 x² − 4x − 5 = 7。（8 分）
10. 在圆中，AB 为直径，C 为圆周上一点，∠ABC = 35°。
(a) 求 ∠ACB，并说明理由。（10 分）
(b) 求 ∠BAC。（5 分）
(c) 若圆的半径为 6 cm，求 AC 的长度（3 位有效数字）。（5 分）
11. 袋中有 5 个红球、3 个蓝球、4 个绿球，共 12 个球。
(a) 随机取出一个球，求 P(红)。（3 分）
(b) 求 P(并非绿球)。（3 分）
(c) 连续取出两个球（不放回），求 P(先红后蓝)。（6 分）
(d) 连续取出两个球（不放回），求 P(至少一个红球)。（8 分）
1. 5 分：√50 = 5√2、√18 = 3√2、√8 = 2√2（各 1 分）；5√2 − 3√2 + 2√2 = 4√2（2 分）。
2. (a) 2 分：4.25 × 10⁻⁶。(b) 3 分：3 × 4 = 12（1 分）；10⁵ × 10⁻³ = 10²（1 分）；答案 1.2 × 10³（1 分）。
3. 5 分：(2x + 7)(3x − 5)。（两项各 2 分；展开验证 1 分——考官接受其他等价分解，但须完全正确。）
4. 5 分：交叉相乘：3(x − 2) = 2(x + 1)（2 分）；3x − 6 = 2x + 2（1 分）；x = 8（2 分）。须注明 x ≠ −1、x ≠ 2。
5. 5 分：外角 = 360 ÷ 12 = 30°（2 分）；内角 = 180 − 30 = 150°（3 分）。
6. 5 分：tan 60° = √3、sin 30° = 1/2（各 1 分）；√3 × 1/2 = √3/2（3 分，证明格式须完整）。
7. 5 分：B 的两组比例取最小公倍数 10（2 分）；A : B = 6 : 10、B : C = 10 : 35（2 分）；A : B : C = 6 : 10 : 35（1 分）。
8. 5 分：2a = (6, −4)（1 分）；2a − b = (7, −8)（2 分）；|2a − b| = √(7² + 8²) = √113（2 分）。
9. 20 分：(a) x² − 4x − 5 = 0 ⇒ (x − 5)(x + 1) = 0 ⇒ A(5, 0)、B(−1, 0)（6 分）。(b) 配方或对称轴 x = 2 ⇒ y = 4 − 8 − 5 = −9 ⇒ 顶点 (2, −9)（6 分）。(c) x² − 4x − 12 = 0 ⇒ (x − 6)(x + 2) = 0 ⇒ x = 6 或 x = −2（8 分）。(c) 亦可由图像 y = 12 与曲线的交点求得。
10. 20 分：(a) ∠ACB = 90°（10 分）——理由：半圆上的圆周角为 90°（angle in a semicircle）；只写答案而无理由最多得一半分。(b) ∠BAC = 180 − 90 − 35 = 55°（5 分）。(c) AC = 2r × cos 35° = 12 × cos 35° ≈ 9.83 cm（5 分）。
11. 20 分：(a) 5/12（3 分）。(b) (5 + 3)/12 = 2/3（3 分）。(c) 5/12 × 3/11 = 15/132 = 5/44（6 分；未写“不放回”导致分母仍用 12 者扣分）。(d) 1 − P(两次皆非红) = 1 − (7/12)(6/11) = 1 − 42/132 = 15/22（8 分）。直接用 (5/12)(7/11) + (7/12)(5/11) + (5/12)(4/11) 相加亦接受。
Section A（8 题，每题 5 分，共 40 分）——须写出所用公式或方法，答案取 3 位有效数字（除特别指示外）。
1. 一件货品原价 $240，先加价 15%，其后减价 15%。求最终售价。（5 分）
2. $5,000 以年利率 3.5% 复利计算 6 年，求本利和（准确至分）。（5 分）
3. 某物体质量 3.2 kg、体积 0.004 m³，求其密度（kg/m³）。（5 分）
4. 直角三角形中，对边 7 cm、斜边 12 cm。求斜边旁的锐角（1 位小数）及邻边长度。（5 分）
5. 数据：12、15、11、19、15、18。求平均数、中位数与众数。（5 分）
6. 事件 A、B 独立，P(A) = 0.6、P(B) = 0.3。求 P(A 且 B) 与 P(A 或 B)。（5 分）
7. 一个长度量度为 12.5 cm（准确至 1 位小数）。求其上限与下限。（5 分）
8. 汇率为 1 英镑 = 10.5 港元。以 5,000 港元可兑换多少英镑（准确至分）？（5 分）
Section B（3 题，每题 20 分，共 60 分）
9. 设 y = 2x³ − 9x² + 12x + 5。
(a) 求 dy/dx。（4 分）
(b) 求驻点（stationary points）的坐标。（8 分）
(c) 判断各驻点的性质。（4 分）
(d) 求曲线在 x = 1 处的切线方程。（4 分）
10. 一个长方体长 8 cm、阔 6 cm、高 5 cm。
(a) 求底面对角线长度。（5 分）
(b) 求空间对角线（由一顶点至对角顶点）长度（3 位有效数字）。（8 分）
(c) 求空间对角线与底面所成的角（1 位小数）。（7 分）
11. 某城市人口 25,000，每年增长 2.4%。
(a) 求 10 年后的人口（准确至百位）。（8 分）
(b) 求最少多少年后人口会超过 30,000。（8 分）
(c) 若人口改为每年线性增长 600 人，10 年后人口为多少？并指出两种模型在第 10 年的差异。（4 分）
1. 5 分：240 × 1.15 = 276（2 分）；276 × 0.85 = $234.60（3 分）。只答“$240（加完再减互相抵消）”属概念错误。
2. 5 分：5000(1.035)⁶（3 分）= $6,146.28（2 分）。用单利 5000(1 + 0.035 × 6) = $6,050 者不给分。
3. 5 分：密度 = 质量 ÷ 体积（2 分）；3.2 ÷ 0.004 = 800 kg/m³（3 分）。
4. 5 分：sin θ = 7/12 ⇒ θ ≈ 35.7°（3 分）；邻边 = √(12² − 7²) = √95 ≈ 9.75 cm（2 分）。
5. 5 分：平均数 = 90 ÷ 6 = 15（2 分）；中位数 = 15（2 分）；众数 = 15（1 分）。
6. 5 分：P(A 且 B) = 0.6 × 0.3 = 0.18（3 分）；P(A 或 B) = 0.6 + 0.3 − 0.18 = 0.72（2 分）。
7. 5 分：上限 12.55 cm（3 分）；下限 12.45 cm（2 分）。
8. 5 分：5000 ÷ 10.5（3 分）= £476.19（2 分）。
9. 20 分：(a) dy/dx = 6x² − 18x + 12（4 分）。(b) 6(x² − 3x + 2) = 0 ⇒ x = 1 或 x = 2（4 分）；y(1) = 2 − 9 + 12 + 5 = 10、y(2) = 16 − 36 + 24 + 5 = 9 ⇒ (1, 10) 与 (2, 9)（4 分）。(c) y″ = 12x − 18：x = 1 时 y″ = −6 < 0 ⇒ 极大；x = 2 时 y″ = 6 > 0 ⇒ 极小（4 分）。(d) 在 x = 1 时 dy/dx = 0 ⇒ 切线为水平线 y = 10（4 分）。
10. 20 分：(a) √(8² + 6²) = 10 cm（5 分）。(b) √(10² + 5²) = √125 ≈ 11.2 cm（8 分；用 8² + 6² + 5² 一次过计算同样接受）。(c) tan θ = 5/10 ⇒ θ ≈ 26.6°（7 分）。角度必须以底面与对角线所成的直角三角形处理；用错边（例如 tan θ = 5/8）不给分。
11. 20 分：(a) 25000(1.024)¹⁰（4 分）= 31,691 ⇒ 约 31,700 人（4 分）。(b) 25000(1.024)ⁿ > 30000 ⇒ 1.024ⁿ > 1.2 ⇒ n > ln1.2 / ln1.024 ≈ 7.66 ⇒ 最少 8 年（8 分；只答 7.66 年而无取整者扣 2 分）。(c) 线性模型：25,000 + 600 × 10 = 31,000 人（2 分）；指数模型约 31,700，较线性多约 700 人（2 分）。
| 周次 | 内容 | 操练重点 |
|---|---|---|
| 1–2 | 数、百分比、比与比例、标准形式、根式 | 非计算机心算与估算（每日 10 题） |
| 3–4 | 代数：展开、因式分解、方程与不等式、联立方程 | 不用计算机解二次方程（因式分解法） |
| 5–6 | 函数与图像、坐标几何、数列 | 绘图与顶点／对称轴 |
| 7–8 | 几何、圆的性质、度量、相似 | 理由名称背默＋作图 |
| 9 | 三角（含三维）与向量 | 度数模式、正弦／余弦定理 |
| 10 | 概率与统计 | 树状图、箱形图、累积频率 |
| 11 | 微积分（Extended） | 求导、驻点、切线 |
| 12 | 限时操卷：Paper 2（2 小时）＋Paper 4（2 小时） | 时间分配：每 100 分卷约 1.2 分钟／分 |
问：Core 还是 Extended？
Extended 涵盖核心内容加增润部分，成绩可达 A*，是大多数升学方向的通行证；Core 的成绩上限为 C 级。若数学基础较弱、只求合格，Core 可减轻压力，但选科前应先确认大学或高中选科的要求。
问：可否带图形计算机？
不可以。Paper 3／4 须使用科学计算机（具三角函数功能更佳），代数或图形计算机不允许；Paper 1／2 完全不准使用计算机。
问：公式表会提供哪些公式？
公式表印在卷面第 2 页，包含面积、体积、正弦定理（Extended）等常用公式。它不会涵盖全部内容，因此仍要熟悉公式的适用情境。
问：可以只考一张卷吗？
不可以。每个层级都要考两卷，且必须是同一层级的两卷。
问：IGCSE 数学有课程作业吗？
没有。0580 全部由校外笔试评核（Core：Paper 1＋3；Extended：Paper 2＋4）。
| 资源 | 用途 |
|---|---|
| Cambridge IGCSE Mathematics 0580 课程大纲（2025–2027 考期，PDF） | 核对卷别、时间、分数、比重、计算机规则与公式表 |
| Cambridge IGCSE Mathematics 0580 科目页 | 最新大纲版本、资源与考试安排 |
| Cambridge Assessment International Education 官网 | 考试时间表、报名与成绩资讯 |
延伸阅读：IGCSE 数学课程范围全攻略（0580）、IB 数学 AA SL 模拟试题、备考练习题总览。想安排 IGCSE 数学补习，可先看 学科的解释，再配对合适导师。