TutorZone（www.tutorzone.com.hk）原創模擬試題 · 非考評局官方試題
直接答案：Cambridge IGCSE 數學（0580）不設校本評核，考生按程度選考一個層級、各考兩卷：Core（核心）卷——Paper 1 不准用計算機（1 小時 30 分、80 分）＋ Paper 3 可用計算機（1 小時 30 分、80 分），各佔 50%，成績上限為 C 級；Extended（增潤）卷——Paper 2 不准用計算機（2 小時、100 分）＋ Paper 4 可用計算機（2 小時、100 分），各佔 50%，可達 A*。由 2025 年考期起，Paper 1 與 Paper 2 改為非計算機卷，公式表會印在卷面第 2 頁。
| 層級 | 卷別 | 時間 | 分數 | 比重 | 計算機 | 成績範圍 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Core | Paper 1 | 1 小時 30 分 | 80 | 50% | 不准使用 | C 至 G |
| Paper 3 | 1 小時 30 分 | 80 | 50% | 須用科學計算機 | ||
| Extended | Paper 2 | 2 小時 | 100 | 50% | 不准使用 | A* 至 E |
| Paper 4 | 2 小時 | 100 | 50% | 須用科學計算機 |
考生只考同一層級的兩卷（Core 考生考 Paper 1＋3；Extended 考生考 Paper 2＋4），全部由 Cambridge 校外評分，沒有課程作業（coursework）。Extended 卷包含 Core 全部內容並加上增潤部分。
2025–2027 新卷制四個重點：① Paper 1（Core）改為非計算機卷，時間改為 1 小時 30 分；② Paper 2（Extended）改為非計算機卷，時間改為 2 小時；③ Paper 3 時間改為 1 小時 30 分、Paper 4 時間改為 2 小時（兩卷仍可用計算機）；④ 公式表（List of formulas）已印在卷面第 2 頁——卷一至卷四都有，毋須背默公式，但要懂得選用。
| 範疇 | 內容 |
|---|---|
| 1 數 | 四則運算、分數與小數、百分比、比與比例、標準形式、指數律、根式（surds）、上限與下限、比例尺 |
| 2 代數與圖像 | 代數化簡與因式分解、方程與不等式、聯立方程、函數與圖像、數列、正比與反比 |
| 3 坐標幾何 | 直線方程、斜率、平行與垂直、距離與中點 |
| 4 幾何 | 角與平行線、三角形與多邊形、圓的性質（圓心角／圓周角、切線）、相似與全等 |
| 5 度量 | 周界、面積、表面積與體積（含圓柱、圓錐、球）、相似形體的比例關係 |
| 6 三角 | 勾股定理、正弦／餘弦／正切、正弦與餘弦定理、三維三角、特殊角（30°、45°、60°） |
| 7 向量與變換 | 向量運算、平移、反射、旋轉、放大 |
| 8 概率 | 概率計算、樹狀圖、互斥與獨立事件、條件概率（Extended） |
| 9 統計 | 平均數、中位數、眾數、四分位數與箱形圖、累積頻率、散點圖與相關 |
工具：Paper 3／4 須使用科學計算機（強烈建議具三角函數；代數或圖形計算機不允許）；Paper 1／2 不准用計算機。所有卷別應帶備量角器與直尺（並建議帶圓規）。公式表中 π 可使用計算機數值或 3.142。
本模擬卷由 TutorZone 導師團隊依據 Cambridge Assessment International Education 公開的《Cambridge IGCSE Mathematics 0580》課程大綱（適用於 2025、2026 及 2027 年考試，版本 3，2024 年 5 月發布）所載的評核結構與內容範疇自行編寫，並非 Cambridge 官方試題、樣本試卷或過往試題。Cambridge、IGCSE 及相關課程文件版權屬 Cambridge Assessment International Education，本卷不轉載任何官方試卷或課程文件內容。題目、詳解與評分要點均為本卷原創，所有數值答案已逐題核算；分數分配為本卷自訂（卷面總分依官方 100 分設計）。
Section A（8 題，每題 5 分，共 40 分）——須顯示運算步驟；除特別指示外，答案取 3 位有效數字或準確值。
1. 化簡 √50 − √18 + √8，答案以最簡根式表示。（5 分）
2. (a) 把 0.00000425 寫成標準形式。（2 分）
(b) 計算 (3 × 10⁵) × (4 × 10⁻³)，答案以標準形式表示。（3 分）
3. 因式分解 6x² + 11x − 35。（5 分）
4. 解方程 3/(x + 1) = 2/(x − 2)。（5 分）
5. 求正十二邊形每個內角的大小。（5 分）
6. 已知 tan 60° = √3、sin 30° = 1/2，證明 tan 60° × sin 30° = √3/2。（5 分）
7. 已知 A : B = 3 : 5 且 B : C = 2 : 7，求 A : B : C。（5 分）
8. 已知向量 a = (3, −2)、b = (−1, 4)，求 |2a − b| 的準確值。（5 分）
Section B（3 題，每題 20 分，共 60 分）
9. 曲線 y = x² − 4x − 5 與 x 軸相交於 A、B 兩點。
(a) 求 A、B 兩點的坐標。（6 分）
(b) 求曲線頂點（turning point）的坐標。（6 分）
(c) 由此解方程 x² − 4x − 5 = 7。（8 分）
10. 在圓中，AB 為直徑，C 為圓周上一點，∠ABC = 35°。
(a) 求 ∠ACB，並說明理由。（10 分）
(b) 求 ∠BAC。（5 分）
(c) 若圓的半徑為 6 cm，求 AC 的長度（3 位有效數字）。（5 分）
11. 袋中有 5 個紅球、3 個藍球、4 個綠球，共 12 個球。
(a) 隨機取出一個球，求 P(紅)。（3 分）
(b) 求 P(並非綠球)。（3 分）
(c) 連續取出兩個球（不放回），求 P(先紅後藍)。（6 分）
(d) 連續取出兩個球（不放回），求 P(至少一個紅球)。（8 分）
1. 5 分：√50 = 5√2、√18 = 3√2、√8 = 2√2（各 1 分）；5√2 − 3√2 + 2√2 = 4√2（2 分）。
2. (a) 2 分：4.25 × 10⁻⁶。(b) 3 分：3 × 4 = 12（1 分）；10⁵ × 10⁻³ = 10²（1 分）；答案 1.2 × 10³（1 分）。
3. 5 分：(2x + 7)(3x − 5)。（兩項各 2 分；展開驗證 1 分——考官接受其他等價分解，但須完全正確。）
4. 5 分：交叉相乘：3(x − 2) = 2(x + 1)（2 分）；3x − 6 = 2x + 2（1 分）；x = 8（2 分）。須註明 x ≠ −1、x ≠ 2。
5. 5 分：外角 = 360 ÷ 12 = 30°（2 分）；內角 = 180 − 30 = 150°（3 分）。
6. 5 分：tan 60° = √3、sin 30° = 1/2（各 1 分）；√3 × 1/2 = √3/2（3 分，證明格式須完整）。
7. 5 分：B 的兩組比例取最小公倍數 10（2 分）；A : B = 6 : 10、B : C = 10 : 35（2 分）；A : B : C = 6 : 10 : 35（1 分）。
8. 5 分：2a = (6, −4)（1 分）；2a − b = (7, −8)（2 分）；|2a − b| = √(7² + 8²) = √113（2 分）。
9. 20 分：(a) x² − 4x − 5 = 0 ⇒ (x − 5)(x + 1) = 0 ⇒ A(5, 0)、B(−1, 0)（6 分）。(b) 配方或對稱軸 x = 2 ⇒ y = 4 − 8 − 5 = −9 ⇒ 頂點 (2, −9)（6 分）。(c) x² − 4x − 12 = 0 ⇒ (x − 6)(x + 2) = 0 ⇒ x = 6 或 x = −2（8 分）。(c) 亦可由圖像 y = 12 與曲線的交點求得。
10. 20 分：(a) ∠ACB = 90°（10 分）——理由：半圓上的圓周角為 90°（angle in a semicircle）；只寫答案而無理由最多得一半分。(b) ∠BAC = 180 − 90 − 35 = 55°（5 分）。(c) AC = 2r × cos 35° = 12 × cos 35° ≈ 9.83 cm（5 分）。
11. 20 分：(a) 5/12（3 分）。(b) (5 + 3)/12 = 2/3（3 分）。(c) 5/12 × 3/11 = 15/132 = 5/44（6 分；未寫「不放回」導致分母仍用 12 者扣分）。(d) 1 − P(兩次皆非紅) = 1 − (7/12)(6/11) = 1 − 42/132 = 15/22（8 分）。直接用 (5/12)(7/11) + (7/12)(5/11) + (5/12)(4/11) 相加亦接受。
Section A（8 題，每題 5 分，共 40 分）——須寫出所用公式或方法，答案取 3 位有效數字（除特別指示外）。
1. 一件貨品原價 $240，先加價 15%，其後減價 15%。求最終售價。（5 分）
2. $5,000 以年利率 3.5% 複利計算 6 年，求本利和（準確至分）。（5 分）
3. 某物體質量 3.2 kg、體積 0.004 m³，求其密度（kg/m³）。（5 分）
4. 直角三角形中，對邊 7 cm、斜邊 12 cm。求斜邊旁的銳角（1 位小數）及鄰邊長度。（5 分）
5. 數據：12、15、11、19、15、18。求平均數、中位數與眾數。（5 分）
6. 事件 A、B 獨立，P(A) = 0.6、P(B) = 0.3。求 P(A 且 B) 與 P(A 或 B)。（5 分）
7. 一個長度量度為 12.5 cm（準確至 1 位小數）。求其上限與下限。（5 分）
8. 匯率為 1 英鎊 = 10.5 港元。以 5,000 港元可兌換多少英鎊（準確至分）？（5 分）
Section B（3 題，每題 20 分，共 60 分）
9. 設 y = 2x³ − 9x² + 12x + 5。
(a) 求 dy/dx。（4 分）
(b) 求駐點（stationary points）的坐標。（8 分）
(c) 判斷各駐點的性質。（4 分）
(d) 求曲線在 x = 1 處的切線方程。（4 分）
10. 一個長方體長 8 cm、闊 6 cm、高 5 cm。
(a) 求底面對角線長度。（5 分）
(b) 求空間對角線（由一頂點至對角頂點）長度（3 位有效數字）。（8 分）
(c) 求空間對角線與底面所成的角（1 位小數）。（7 分）
11. 某城市人口 25,000，每年增長 2.4%。
(a) 求 10 年後的人口（準確至百位）。（8 分）
(b) 求最少多少年後人口會超過 30,000。（8 分）
(c) 若人口改為每年線性增長 600 人，10 年後人口為多少？並指出兩種模型在第 10 年的差異。（4 分）
1. 5 分：240 × 1.15 = 276（2 分）；276 × 0.85 = $234.60（3 分）。只答「$240（加完再減互相抵消）」屬概念錯誤。
2. 5 分：5000(1.035)⁶（3 分）= $6,146.28（2 分）。用單利 5000(1 + 0.035 × 6) = $6,050 者不給分。
3. 5 分：密度 = 質量 ÷ 體積（2 分）；3.2 ÷ 0.004 = 800 kg/m³（3 分）。
4. 5 分：sin θ = 7/12 ⇒ θ ≈ 35.7°（3 分）；鄰邊 = √(12² − 7²) = √95 ≈ 9.75 cm（2 分）。
5. 5 分：平均數 = 90 ÷ 6 = 15（2 分）；中位數 = 15（2 分）；眾數 = 15（1 分）。
6. 5 分：P(A 且 B) = 0.6 × 0.3 = 0.18（3 分）；P(A 或 B) = 0.6 + 0.3 − 0.18 = 0.72（2 分）。
7. 5 分：上限 12.55 cm（3 分）；下限 12.45 cm（2 分）。
8. 5 分：5000 ÷ 10.5（3 分）= £476.19（2 分）。
9. 20 分：(a) dy/dx = 6x² − 18x + 12（4 分）。(b) 6(x² − 3x + 2) = 0 ⇒ x = 1 或 x = 2（4 分）；y(1) = 2 − 9 + 12 + 5 = 10、y(2) = 16 − 36 + 24 + 5 = 9 ⇒ (1, 10) 與 (2, 9)（4 分）。(c) y″ = 12x − 18：x = 1 時 y″ = −6 < 0 ⇒ 極大；x = 2 時 y″ = 6 > 0 ⇒ 極小（4 分）。(d) 在 x = 1 時 dy/dx = 0 ⇒ 切線為水平線 y = 10（4 分）。
10. 20 分：(a) √(8² + 6²) = 10 cm（5 分）。(b) √(10² + 5²) = √125 ≈ 11.2 cm（8 分；用 8² + 6² + 5² 一次過計算同樣接受）。(c) tan θ = 5/10 ⇒ θ ≈ 26.6°（7 分）。角度必須以底面與對角線所成的直角三角形處理；用錯邊（例如 tan θ = 5/8）不給分。
11. 20 分：(a) 25000(1.024)¹⁰（4 分）= 31,691 ⇒ 約 31,700 人（4 分）。(b) 25000(1.024)ⁿ > 30000 ⇒ 1.024ⁿ > 1.2 ⇒ n > ln1.2 / ln1.024 ≈ 7.66 ⇒ 最少 8 年（8 分；只答 7.66 年而無取整者扣 2 分）。(c) 線性模型：25,000 + 600 × 10 = 31,000 人（2 分）；指數模型約 31,700，較線性多約 700 人（2 分）。
| 週次 | 內容 | 操練重點 |
|---|---|---|
| 1–2 | 數、百分比、比與比例、標準形式、根式 | 非計算機心算與估算（每日 10 題） |
| 3–4 | 代數：展開、因式分解、方程與不等式、聯立方程 | 不用計算機解二次方程（因式分解法） |
| 5–6 | 函數與圖像、坐標幾何、數列 | 繪圖與頂點／對稱軸 |
| 7–8 | 幾何、圓的性質、度量、相似 | 理由名稱背默＋作圖 |
| 9 | 三角（含三維）與向量 | 度數模式、正弦／餘弦定理 |
| 10 | 概率與統計 | 樹狀圖、箱形圖、累積頻率 |
| 11 | 微積分（Extended） | 求導、駐點、切線 |
| 12 | 限時操卷：Paper 2（2 小時）＋Paper 4（2 小時） | 時間分配：每 100 分卷約 1.2 分鐘／分 |
問：Core 還是 Extended？
Extended 涵蓋核心內容加增潤部分，成績可達 A*，是大多數升學方向的通行證；Core 的成績上限為 C 級。若數學基礎較弱、只求合格，Core 可減輕壓力，但選科前應先確認大學或高中選科的要求。
問：可否帶圖形計算機？
不可以。Paper 3／4 須使用科學計算機（具三角函數功能更佳），代數或圖形計算機不允許；Paper 1／2 完全不准使用計算機。
問：公式表會提供哪些公式？
公式表印在卷面第 2 頁，包含面積、體積、正弦定理（Extended）等常用公式。它不會涵蓋全部內容，因此仍要熟悉公式的適用情境。
問：可以只考一張卷嗎？
不可以。每個層級都要考兩卷，且必須是同一層級的兩卷。
問：IGCSE 數學有課程作業嗎？
沒有。0580 全部由校外筆試評核（Core：Paper 1＋3；Extended：Paper 2＋4）。
| 資源 | 用途 |
|---|---|
| Cambridge IGCSE Mathematics 0580 課程大綱（2025–2027 考期，PDF） | 核對卷別、時間、分數、比重、計算機規則與公式表 |
| Cambridge IGCSE Mathematics 0580 科目頁 | 最新大綱版本、資源與考試安排 |
| Cambridge Assessment International Education 官網 | 考試時間表、報名與成績資訊 |
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