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DSE 数学（延伸单元一）练习卷：微积分与统计
练习卷 · DSE 数学 M1 微积分与统计全卷
本卷 12 题、100 分、75 分钟，涵盖多项式、对数与指数函数的微分、切线与变化率、极值应用、定积分与曲线下面积、梯形法则，以及二项、正态与泊松分布和置信区间；所有数值由程式逐项验算，适合中六文凭试数学延伸单元一考生计时练习。
卷面资料 年级：中六（S6） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：12
甲部（Q1–Q4）：微分法及其应用（32 分）
微分法：多项式、对数与指数函数求导，切线、变化率与极值应用。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | （微分・链式法则）设 y = (3x² + 1)⁴。(a) 求 dy/dx。(b) 求曲线在 x = 1 处的切线方程，并以 y = mx + c 的形式表示。 | 答案：(a) 设 u = 3x² + 1，则 y = u⁴，dy/du = 4u³，du/dx = 6x，故 dy/dx = 24x(3x² + 1)³。[4 分] (b) x = 1 时 y = 4⁴ = 256，斜率 = 24(1)(4)³ = 1536，故切线为 y − 256 = 1536(x − 1)，即 y = 1536x − 1280。[4 分] |
| 2 | （微分・对数函数）设 y = x² ln x，其中 x 大于 0。(a) 求 dy/dx，并化简为 x(2 ln x + 1)。(b) 求曲线在 x = e 处的切线斜率，答案以 e 表示，并取三位小数。 | 答案：(a) 由积法则 dy/dx = 2x ln x + x²(1/x) = 2x ln x + x = x(2 ln x + 1)。[4 分] (b) x = e 时 y = e² ≈ 7.389，斜率 = e(2 + 1) = 3e ≈ 8.155。[4 分] |
| 3 | （变化率）球形气球的体积 V 以每秒 50 cm³ 的速率增加，已知 V = (4/3)πr³。(a) 求当 r = 5 cm 时半径的增加率 dr/dt。(b) 求同一时刻表面面积 A = 4πr² 的增加率 dA/dt。(c) 说明气球继续膨胀时 dr/dt 会增加还是减少，并简述理由。 | 答案：(a) dV/dr = 4πr²，r = 5 时为 100π，故 dr/dt = 50/(100π) ≈ 0.159 cm/s。[3 分] (b) dA/dt = 8πr(dr/dt) = 8π(5)(0.159) = 20 cm²/s。[2 分] (c) dr/dt = 50/(4πr²)，r 增加令分母变大，故 dr/dt 减少。[3 分] |
| 4 | （极值应用）一个无盖长方体箱底部为正方形，体积固定为 32 m³。设底部边长 x m、高 h m。(a) 以 x 表示 h。(b) 证明表面面积 S = x² + 128/x，并求使 S 最小的 x。(c) 求最小表面面积。 | 答案：(a) x²h = 32，故 h = 32/x²。[3 分] (b) S = x² + 4xh = x² + 128/x；dS/dx = 2x − 128/x² = 0 得 x³ = 64，即 x = 4；d²S/dx² = 2 + 256/x³，x = 4 时为 6 大于 0，故为极小。[3 分] (c) h = 2，S = 16 + 32 = 48 m²。[2 分] |
乙部（Q5–Q8）：积分法、面积与梯形法则（36 分）
积分法：原函数、定积分、曲线下面积与梯形法则。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | （定积分）计算 ∫₁³ (3x² − 4x + 5) dx，并写出所用的原函数。 | 答案：原函数 F(x) = x³ − 2x² + 5x。[4 分]；F(3) = 27 − 18 + 15 = 24，F(1) = 1 − 2 + 5 = 4，故积分值 = 24 − 4 = 20。[5 分] |
| 6 | （定积分・对数）计算 ∫₁ᵉ (1/x + 2) dx。(a) 先写出原函数。(b) 求积分值，答案以 e 表示并取三位小数。 | 答案：(a) 原函数为 ln x + 2x。[4 分] (b) (ln e + 2e) − (0 + 2) = 1 + 2e − 2 = 2e − 1 ≈ 4.437。[5 分] |
| 7 | （曲线下面积）曲线 y = x² − 4x + 3 与 x 轴交于 A、B 两点。(a) 求 A、B 的 x 坐标。(b) 求曲线与 x 轴所围区域的面积。(c) 说明为何直接计算 ∫₁³ (x² − 4x + 3) dx 会得出负值。 | 答案：(a) x² − 4x + 3 = 0，即 (x − 1)(x − 3) = 0，故 x = 1 与 x = 3。[3 分] (b) 原函数 x³/3 − 2x² + 3x，(9 − 18 + 9) − (1/3 − 2 + 3) = −4/3，面积取绝对值 4/3 ≈ 1.333 平方单位。[4 分] (c) 该段曲线位于 x 轴下方，定积分带负号，面积须取绝对值，故直接计算只得负值。[2 分] |
| 8 | （梯形法则）设 f(x) = eˣ。用 4 个等宽子区间，以梯形法则估算 ∫₀¹ eˣ dx。(a) 写出 h 及分点 x₀ 至 x₄。(b) 求估算值（五位小数）。(c) 与准确值 e − 1 比较，求绝对误差，并说明估算偏高还是偏低。 | 答案：(a) h = 0.25，分点为 0、0.25、0.5、0.75、1。[3 分] (b) T = (0.25/2)[1 + e + 2(e^0.25 + e^0.5 + e^0.75)] ≈ 1.72722。[3 分] (c) 准确值为 1.71828，绝对误差约 0.00894；估算偏高，因 eˣ 为凸函数，各弦位于曲线之上。[3 分] |
丙部（Q9–Q12）：概率分布与统计推论（32 分）
统计：二项、正态与泊松分布，标准误与置信区间。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | （二项分布）设 X ~ B(10, 0.3)。(a) 求 E(X) 与 Var(X)。(b) 求 P(X = 3)（四位小数）。(c) 求 P(X ≥ 1)（四位小数）。 | 答案：(a) E(X) = np = 3，Var(X) = np(1 − p) = 2.1。[3 分] (b) P(X = 3) = C(10,3)(0.3)³(0.7)⁷ = 120 × 0.027 × 0.0823543 ≈ 0.2668。[3 分] (c) P(X ≥ 1) = 1 − 0.7¹⁰ = 1 − 0.0282475 ≈ 0.9718。[2 分] |
| 10 | （正态分布）设 X ~ N(50, 8²)。(a) 求 P(X 大于 62)。(b) 求 k 使 P(X 小于 k) = 0.9（三位小数）。(c) 说明为何 P(42 ≤ X ≤ 58) 约为 0.68。 | 答案：(a) z = (62 − 50)/8 = 1.5，P(X 大于 62) = 1 − Φ(1.5) ≈ 0.0668。[3 分] (b) Φ(z) = 0.9 得 z ≈ 1.2816，故 k = 50 + 8(1.2816) ≈ 60.252。[3 分] (c) 42 与 58 分别距平均值一个标准差，正态分布在正负一个标准差内约占 68.27%。[2 分] |
| 11 | （泊松近似）某工厂每件产品有 1% 机会有瑕疵，各件独立。现抽取 200 件，以泊松分布近似计算：(a) 参数 λ；(b) 没有瑕疵品的概率；(c) 至少两件瑕疵品的概率。概率取四位小数。 | 答案：(a) λ = 200 × 0.01 = 2。[2 分] (b) P(X = 0) = e⁻² ≈ 0.1353。[3 分] (c) P(X ≥ 2) = 1 − e⁻²(1 + 2) = 1 − 0.4060 ≈ 0.5940。[3 分] |
| 12 | （置信区间）某品牌咖啡每包净重量呈正态分布，标准差 12 克。随机抽取 64 包，样本平均重量 42 克。(a) 求样本平均值的标准误。(b) 求母体平均重量的 95% 置信区间。(c) 若样本数增至 144，区间宽度变为原来的多少倍？ | 答案：(a) 标准误 = 12/√64 = 1.5 克。[2 分] (b) 42 ± 1.96(1.5) = 42 ± 2.94，即 (39.06, 44.94) 克。[3 分] (c) 新标准误 = 12/12 = 1，宽度比 = 1/1.5 = 2/3，即缩窄至原来的三分之二。[3 分] |
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