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DSE 数学（延伸单元二 M2）操卷练习卷：矩阵、行列式与向量（12 题・100 分・75 分钟・附答案）｜原创模拟试题
练习卷 · DSE 数学 M2 矩阵、行列式与向量全卷
本卷 12 题、100 分、75 分钟，涵盖 DSE 数学延伸单元二的矩阵、行列式与向量：行列式展开与克拉玛法则、逆矩阵与线性方程组、变换矩阵、纯量积与向量积、空间直线与平面方程、参数讨论。全卷题目与答案均为原创，并非官方历届试题或评卷参考。
卷面资料 年级：中六（S6） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：12
甲部（Q1–Q4）：行列式、逆矩阵与线性方程组（32 分）
矩阵与行列式：三阶行列式展开、余因式、逆矩阵、克拉玛法则与方程组唯一解的条件。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | （行列式）设 A 为三阶方阵，第一行为 1、2、3，第二行为 0、4、5，第三行为 1、0、6。(a) 沿第一行展开求 det A。(b) 求 A 的第 (2,3) 个元素所对应的余因式。(c) 求 det(3A)。 | 答案：(a) 沿第一行展开：det A = 1×(4×6 − 5×0) − 2×(0×6 − 5×1) + 3×(0×0 − 4×1) = 24 + 10 − 12 = 22。[4 分] (b) 删去第二行第三列余下第一行 1、2，第二行 1、0，其行列式 = 1×0 − 2×1 = −2，故余因式 = (−1)⁵×(−2) = 2。[2 分] (c) det(3A) = 3³ × 22 = 594。[2 分] |
| 2 | （逆矩阵）设 B 为二阶方阵，第一行为 3、5，第二行为 1、2。(a) 求 det B 及 B⁻¹。(b) 用 B⁻¹ 解方程组 3x + 5y = 4、x + 2y = 1。(c) 说明为何行列式为零的方阵没有逆矩阵。 | 答案：(a) det B = 3×2 − 5×1 = 1，故 B⁻¹ = (1/1)×第一行 2、−5、第二行 −1、3 = 第一行 2、−5，第二行 −1、3。[4 分] (b) x = 2×4 − 5×1 = 3，y = −1×4 + 3×1 = −1。[3 分] (c) 逆矩阵公式带因子 1/det B；det B = 0 时该因子无意义，且矩阵把平面压成一直线，不能还原。[1 分] |
| 3 | （线性方程组）解方程组 x + 2y + z = 8、2x − y + 3z = 9、3x + y − z = 2。(a) 求系数矩阵的行列式。(b) 用克拉玛法则求 x、y、z。(c) 说明行列式不为零如何保证解唯一。 | 答案：(a) det = 1×((−1)×(−1) − 3×1) − 2×(2×(−1) − 3×3) + 1×(2×1 − (−1)×3) = −2 + 22 + 5 = 25。[3 分] (b) 以常数栏依次替换三栏，得行列式 25、50、75，故 x = 1、y = 2、z = 3。[3 分] (c) 行列式不为零表示三条方程互相独立，克拉玛法则的分母不为零，故解存在且唯一。[2 分] |
| 4 | （矩阵乘法）设 A 为第一行 1、2、第二行 3、4 的二阶方阵，B 为第一行 0、1、第二行 1、0 的二阶方阵。(a) 求 AB 与 BA，并说明矩阵乘法不可交换。(b) 求 A²。(c) 验证 det(AB) = det A × det B。 | 答案：(a) AB = 第一行 2、1，第二行 4、3；BA = 第一行 3、4，第二行 1、2；两者不等，故矩阵乘法不可交换。[4 分] (b) A² = 第一行 7、10，第二行 15、22。[2 分] (c) det A = −2、det B = −1、det(AB) = 2×3 − 1×4 = 2 = (−2)×(−1)，验证成立。[2 分] |
乙部（Q5–Q8）：矩阵性质、变换与向量运算（36 分）
矩阵运算与变换：乘法不可交换、行列式乘积性质、旋转与反射矩阵、纯量积与向量积。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | （行列式性质）设 M 为三阶方阵，第一行 2、0、1，第二行 1、3、2，第三行 0、1、1。(a) 求 det M。(b) 由此求 det(2M)、det(M²)、det(M⁻¹) 与 det(Mᵀ)。(c) 若 N 为三阶方阵且 det N = 5，求 det(MN) 及 det(N⁻¹)。 | 答案：(a) det M = 2×(3×1 − 2×1) − 0×(1×1 − 2×0) + 1×(1×1 − 3×0) = 2 + 0 + 1 = 3。[3 分] (b) det(2M) = 2³×3 = 24；det(M²) = 3² = 9；det(M⁻¹) = 1/3；det(Mᵀ) = 3。[3 分] (c) det(MN) = 3×5 = 15；det(N⁻¹) = 1/5。[2 分] |
| 6 | （变换矩阵）设 R 表示逆时针旋转 90°，其第一行 0、−1，第二行 1、0；S 表示关于 y 轴的反射，其第一行 −1、0，第二行 0、1。(a) 求 RS，并描述合成变换的几何效果。(b) 求点 (3, 4) 先经 S 再经 R 后的像。(c) 求 det(RS)，并说明它与面积变化的关系。 | 答案：(a) RS = 第一行 0、−1，第二行 −1、0，即关于直线 y = −x 的反射。[4 分] (b) S(3, 4) = (−3, 4)，再 R(−3, 4) = (−4, −3)。[2 分] (c) det(RS) = 0×0 − (−1)×(−1) = −1；绝对值为 1 表示面积不变，负号表示定向反转。[2 分] |
| 7 | （纯量积与投影）设 a = (1, 2, 2)、b = (2, −2, 1)、c = (3, 1, 5)。(a) 证明 a 与 b 垂直，并求 |a| 与 |b|。(b) 求 c 在 a 方向上的投影向量及投影长度。(c) 求 c 到直线 r = t a 的最短距离，答案取三位小数。 | 答案：(a) a·b = 1×2 + 2×(−2) + 2×1 = 0，故互相垂直；|a| = √(1+4+4) = 3，|b| = √(4+4+1) = 3。[4 分] (b) c·a = 3 + 2 + 10 = 15，投影向量 = (15/9)(1, 2, 2) = (5/3, 10/3, 10/3)，投影长度 = 15/3 = 5。[3 分] (c) |c|² = 9 + 1 + 25 = 35，最短距离 = √(35 − 25) = √10 ≈ 3.162。[3 分] |
| 8 | （向量积与平面）设三点 P(1, 0, 2)、Q(3, 2, 1)、R(0, 1, 4)。(a) 求向量 PQ 与 PR，再求 PQ × PR。(b) 求三角形 PQR 的面积，取三位小数。(c) 求通过 P、Q、R 的平面方程。(d) 求原点到该平面的距离，取三位小数。 | 答案：(a) PQ = (2, 2, −1)、PR = (−1, 1, 2)；PQ × PR = (2×2 − (−1)×1, (−1)×(−1) − 2×2, 2×1 − 2×(−1)) = (5, −3, 4)。[4 分] (b) |PQ × PR| = √(25+9+16) = √50，面积 = √50/2 ≈ 3.536。[2 分] (c) 取 (5, −3, 4) 为法向量，代入 P 得 5x − 3y + 4z = 13。[2 分] (d) 距离 = 13/√50 ≈ 1.838。[2 分] |
丙部（Q9–Q12）：空间直线、平面与参数讨论（32 分）
空间几何：直线相交与夹角、三点定平面、点到平面距离、含参数方程组的解的讨论。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | （空间直线）L1: r = (1, 2, 3) + t(2, −1, 1)；L2: r = (1, −1, 0) + s(1, 1, 2)。(a) 证明 L1 与 L2 相交，并求交点及对应的 t、s。(b) 求两条直线的夹角，取一位小数。 | 答案：(a) 比较分量得 1 + 2t = 1 + s、2 − t = −1 + s、3 + t = 2s，解得 t = 1、s = 2，交点为 (3, 1, 4)。[4 分] (b) 两方向向量的纯量积为 3，两者模均为 √6，故 cos θ = 3/6 = 0.5，θ = 60.0°。[4 分] |
| 10 | （点到平面距离）平面 π 的方程为 2x − y + 2z = 10，点 A 为 (3, 1, 2)。(a) 写出 π 的单位法向量。(b) 求 A 到 π 的距离。(c) 求 A 在 π 上的垂足坐标。 | 答案：(a) 法向量 (2, −1, 2) 的模为 3，单位法向量 = (2/3, −1/3, 2/3)。[2 分] (b) 距离 = |2×3 − 1 + 2×2 − 10|/3 = 1/3 ≈ 0.333。[3 分] (c) 垂足 = A − (−1/9)(2, −1, 2) = (29/9, 8/9, 20/9) ≈ (3.222, 0.889, 2.222)。[3 分] |
| 11 | （向量积）设 a = 2i + 3j − k、b = i − j + 2k。(a) 求 a × b 及 |a × b|。(b) 求同时垂直于 a 与 b 的单位向量。(c) 求以 a、b 为两边的三角形面积，取三位小数。(d) 说明为何 a 与 a × b 的纯量积必为零。 | 答案：(a) a × b = (3×2 − (−1)×(−1), (−1)×1 − 2×2, 2×(−1) − 3×1) = (5, −5, −5)，|a × b| = 5√3 ≈ 8.660。[3 分] (b) 单位向量 = (1, −1, −1)/√3。[2 分] (c) 面积 = 5√3/2 ≈ 4.330。[2 分] (d) a × b 垂直于 a，故两者纯量积必为 0。[1 分] |
| 12 | （参数讨论）考虑方程组 x + y + kz = 1、x + ky + z = 1、kx + y + z = 1。(a) 证明系数矩阵的行列式为 −(k − 1)²(k + 2)。(b) 当 k = −2 时，说明方程组无解。(c) 当 k = 1 时，求通解。(d) 求方程组有唯一解时 k 的取值范围。 | 答案：(a) 展开行列式得 −k³ + 3k − 2 = −(k − 1)²(k + 2)。[3 分] (b) k = −2 时三式相加左边为 0、右边为 3，矛盾，故无解。[2 分] (c) k = 1 时三式同为 x + y + z = 1，通解为 (1 − s − t, s, t)，s、t 为任意实数。[2 分] (d) 行列式不为零即 k 不等于 1 亦不等于 −2 时，方程组有唯一解。[1 分] |
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