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DSE 数学 M1（微积分与统计）模拟卷（10 题・100 分・2 小时 15 分）
练习卷 · DSE 数学 M1
DSE 数学延伸部分单元一 M1 模拟卷：10 题、100 分、限时 2 小时 15 分，涵盖二项分布与泊松分布、正态分布与标准分、微分求极值与拐点、定积分求面积、梯形法则、条件概率、置信区间与样本数、线性回归与相关系数、离散随机变数的期望与方差。所有题目均为原创，附逐步答案与评分要点。
卷面资料 年级：中六（DSE 延伸部分单元一 M1） ｜ 科目：数学（M1） ｜ 时限：135 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：10
甲部（第 1 至 5 题・50 分）
全部题目均须作答。本卷可用计算机，惟计算机不得附有图表显示或符号运算功能。计算题须展示步骤，数值答案取三位有效数字（另有指明者除外），并在答案末标明单位。所有数据为示例，并非任何考试机构的历届试题。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 某电子零件厂的生产线每件产品有 12% 机会出现瑕疵，各件产品是否出现瑕疵互相独立。现从生产线随机抽出 10 件产品，设 X 为其中出现瑕疵的件数。 (a) 说明为何 X 可视为二项分布，并写出 X 的分布。 (b) 求恰好有 2 件瑕疵品的概率（取四位小数）。 (c) 求至少有一件瑕疵品的概率（取四位小数）。 (d) 求 X 的平均值与方差。 |
(a) 每次抽验只有“有瑕疵”与“无瑕疵”两个结果，成功的概率固定为 0.12，各件产品互相独立，抽验件数固定为 10，故 X 服从二项分布：X ～ B(10, 0.12)。 (b) P(X ＝ 2) ＝ C(10,2) × 0.12² × 0.88⁸ ＝ 45 × 0.0144 × 0.359635 ＝ 0.2330。 (c) P(X ≥ 1) ＝ 1 − P(X ＝ 0) ＝ 1 − 0.88¹⁰ ＝ 1 − 0.2785 ＝ 0.7215。 (d) 平均值 E(X) ＝ np ＝ 10 × 0.12 ＝ 1.2；方差 Var(X) ＝ np(1 − p) ＝ 10 × 0.12 × 0.88 ＝ 1.056。 评分要点：(a) 2 分（说明两个结果、固定概率、独立、固定次数）、(b) 2 分、(c) 2 分、(d) 2 分。 |
| 2 | 某电话支援中心在繁忙时段平均每 5 分钟接到 3.2 个来电，来电的出现可视为随机且互相独立。设 Y 为某 5 分钟时段内接到的来电数目。 (a) 写出 Y 的分布及其参数，并列出使用泊松分布所需的两个假设。 (b) 求某 5 分钟内完全没有来电的概率（取三位小数）。 (c) 求某 5 分钟内最多接到 2 个来电的概率（取三位小数）。 (d) 求某 5 分钟内接到 3 个或以上来电的概率。 (e) 求某 10 分钟时段内平均接到的来电数目，并说明为何 10 分钟的来电数目仍可用泊松分布描述。 |
(a) Y ～ Po(3.2)。假设：来电在时段内均匀地随机出现（发生率固定）；不同时段的来电数目互相独立。 (b) P(Y ＝ 0) ＝ e^(−3.2) ＝ 0.041。 (c) P(Y ≤ 2) ＝ e^(−3.2)(1 ＋ 3.2 ＋ 3.2²/2) ＝ 0.380。 (d) P(Y ≥ 3) ＝ 1 − P(Y ≤ 2) ＝ 1 − 0.380 ＝ 0.620。 (e) 10 分钟的平均来电数目 ＝ 3.2 × 2 ＝ 6.4 个；泊松分布的参数与时段长度成正比，而“独立”与“均匀发生率”两个条件在较长的固定时段内仍然成立，故仍可用 Po(6.4) 描述。 评分要点：(a) 2 分、(b) 2 分、(c) 2 分、(d) 1 分、(e) 2 分。 |
| 3 | 某校中六学生在某科的模拟考试成绩 X 近似正态分布，平均值 62 分，标准差 8 分。已知标准正态分布 Φ(1) ＝ 0.8413、Φ(−1) ＝ 0.1587、Φ⁻¹(0.90) ＝ 1.2816。 (a) 求成绩高于 70 分的学生比例。 (b) 求成绩介乎 54 分与 70 分之间的学生比例。 (c) 成绩最高的 10% 学生可获奖学金，求最低可获奖学金的分数（取一位小数）。 (d) 若该校有 240 名考生，估计成绩低于 54 分的人数。 (e) 说明为何在 (d) 中只能作“估计”而不能得出确实人数。 |
(a) z ＝ (70 − 62) ÷ 8 ＝ 1，P(X > 70) ＝ 1 − 0.8413 ＝ 0.1587，即约 15.87％。 (b) z(54) ＝ (54 − 62) ÷ 8 ＝ −1，z(70) ＝ 1；P(54 ＜ X ＜ 70) ＝ 0.8413 − 0.1587 ＝ 0.6826，即约 68.26％。 (c) 设分数为 s，则 P(X > s) ＝ 0.10，即 z ＝ 1.2816；s ＝ 62 ＋ 1.2816 × 8 ＝ 72.3 分。 (d) P(X ＜ 54) ＝ 0.1587，估计人数 ＝ 240 × 0.1587 ＝ 38.1，约 38 人。 (e) 成绩只是“近似”正态分布，实际分布与模型有偏差；而且 240 人只是有限样本，真正的比例是未知的固定值，用概率乘以人数只得到期望值，所以只能视为估计。 评分要点：(a) 2 分、(b) 2 分、(c) 3 分、(d) 2 分、(e) 1 分。 |
| 4 | 设 f(x) ＝ x³ − 6x² ＋ 9x ＋ 2。 (a) 求 f′(x) 及 f″(x)。 (b) 解 f′(x) ＝ 0，求曲线 y ＝ f(x) 的所有驻点坐标。 (c) 用二阶导数测试判断各驻点是极大点还是极小点，并写出对应的极值。 (d) 求曲线的拐点（反曲点）坐标，并说明该点是否为极值点。 (e) 求曲线在 x ＝ 0 处的切线方程，并描述 f 在区间 [0, 3] 上的增减情况。 |
(a) f′(x) ＝ 3x² − 12x ＋ 9；f″(x) ＝ 6x − 12。 (b) 3x² − 12x ＋ 9 ＝ 0，即 3(x − 1)(x − 3) ＝ 0，得 x ＝ 1 或 x ＝ 3。对应 f(1) ＝ 1 − 6 ＋ 9 ＋ 2 ＝ 6，f(3) ＝ 27 − 54 ＋ 27 ＋ 2 ＝ 2，故驻点为 (1, 6) 与 (3, 2)。 (c) f″(1) ＝ 6 − 12 ＝ −6 ＜ 0，故 (1, 6) 为极大点，极大值 6；f″(3) ＝ 18 − 12 ＝ 6 > 0，故 (3, 2) 为极小点，极小值 2。 (d) f″(x) ＝ 0 得 x ＝ 2，f(2) ＝ 8 − 24 ＋ 18 ＋ 2 ＝ 4，故拐点为 (2, 4)。因 f′ 在 x ＝ 2 附近仍然为负（f′(2) ＝ 12 − 24 ＋ 9 ＝ −3），该点只是凹凸性改变，并非极值点。 (e) f(0) ＝ 2，f′(0) ＝ 9，切线方程为 y ＝ 9x ＋ 2。在 [0, 1] 上 f′ > 0，f 递增；在 [1, 3] 上 f′ ＜ 0，f 递减，故 f 在 x ＝ 1 取得区间内最大值 6。 评分要点：(a) 2 分、(b) 3 分、(c) 2 分、(d) 2 分、(e) 2 分。 |
| 5 | 考虑曲线 C：y ＝ x² − 2x 与直线 L：y ＝ x。 (a) 求 C 与 L 的交点。 (b) 求由 C 与 L 所围成的区域面积。 (c) 求由 C 与 x 轴在 x ＝ 0 至 x ＝ 2 之间所围成的区域面积。 (d) 在 (c) 中，定积分 ∫₀² (x² − 2x) dx 的数值是负数，说明这与面积的关系。 (e) 若把 (b) 的区域绕 x 轴旋转一周，写出计算旋转体体积的定积分式（不必求值）。 |
(a) 令 x² − 2x ＝ x，得 x² − 3x ＝ 0，即 x(x − 3) ＝ 0，故 x ＝ 0 或 x ＝ 3；交点为 (0, 0) 与 (3, 3)。 (b) 在 0 ＜ x ＜ 3 内 L 在 C 之上，面积 ＝ ∫₀³ [x − (x² − 2x)] dx ＝ ∫₀³ (3x − x²) dx ＝ [3x²/2 − x³/3]₀³ ＝ 27/2 − 9 ＝ 4.5 平方单位。 (c) ∫₀² (x² − 2x) dx ＝ [x³/3 − x²]₀² ＝ 8/3 − 4 ＝ −4/3，故面积 ＝ 4/3 平方单位（约 1.33）。 (d) 在 0 ＜ x ＜ 2 内 x² − 2x ＜ 0，曲线在 x 轴之下，定积分给出的是“有向面积”，负号表示该区域位于 x 轴下方；面积须取绝对值，即 |−4/3| ＝ 4/3。 (e) 以垫圈法，体积 ＝ π∫₀³ {x² − (x² − 2x)²} dx。 评分要点：(a) 3 分、(b) 3 分、(c) 3 分、(d) 2 分、(e) 1 分。 |
乙部（第 6 至 10 题・50 分）
全部题目均须作答。本卷可用计算机，惟计算机不得附有图表显示或符号运算功能。计算题须展示步骤，数值答案取三位有效数字（另有指明者除外），并在答案末标明单位。所有数据为示例，并非任何考试机构的历届试题。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 6 | 考虑定积分 ∫₀¹ 1/(1 ＋ x²) dx，其准确值为 π/4 ＝ 0.785398…。 (a) 以 f(x) ＝ 1/(1 ＋ x²)、子区间宽度 h ＝ 0.25，完成下表（取六位小数）：x ＝ 0、0.25、0.5、0.75、1 时对应的 f(x)。 (b) 用梯形法则（n ＝ 4）求该积分的近似值（取六位小数）。 (c) 求近似值的绝对误差。 (d) 说明为何增加 n 会令误差减少，并指出梯形法则在本题是高估还是低估。 (e) 写出梯形法则的一般公式（以 h、f₀、f₁、…、fₙ 表示）。 |
(a) f(0) ＝ 1.000000；f(0.25) ＝ 1 ÷ 1.0625 ＝ 0.941176；f(0.5) ＝ 1 ÷ 1.25 ＝ 0.800000；f(0.75) ＝ 1 ÷ 1.5625 ＝ 0.640000；f(1) ＝ 1 ÷ 2 ＝ 0.500000。 (b) T ＝ h/2 × [f₀ ＋ f₄ ＋ 2(f₁ ＋ f₂ ＋ f₃)] ＝ 0.125 × [1 ＋ 0.5 ＋ 2(0.941176 ＋ 0.800000 ＋ 0.640000)] ＝ 0.125 × 6.262353 ＝ 0.782794。 (c) 误差 ＝ 0.785398 − 0.782794 ＝ 0.002604。 (d) n 增大时每个子区间变短，以直线段代替曲线的偏差减少，误差的量级与 h² 成正比，故误差减少。本题中 f 为上凸（f″(x) ＝ (6x² − 2)/(1 ＋ x²)³，在 [0, 1] 上先正后负），梯形法则在本题给出低估（近似值 0.782794 小于真值 0.785398）。 (e) T ＝ h/2 × [f₀ ＋ 2f₁ ＋ 2f₂ ＋ … ＋ 2fₙ₋₁ ＋ fₙ]，其中 h ＝ (b − a)/n。 评分要点：(a) 3 分、(b) 3 分、(c) 1 分、(d) 2 分、(e) 1 分。 |
| 7 | 某工厂有 A、B 两部机器生产同一款零件：A 生产全部产量的 60%，其中 2% 为瑕疵品；B 生产其余 40%，其中 5% 为瑕疵品。现从总产量中随机抽出一件零件。 (a) 以树形图或概率公式求抽到瑕疵品的概率。 (b) 已知抽到的零件是瑕疵品，求它由 A 机器生产的概率（取三位小数）。 (c) 已知抽到的零件是瑕疵品，求它由 B 机器生产的概率，并验证 (b)、(c) 两答案之和为 1。 (d) 已知抽到的零件没有瑕疵，求它由 B 机器生产的概率（取三位小数）。 (e) 判断“零件由 A 生产”与“零件是瑕疵品”两事件是否独立，并以数值说明。 |
(a) P(瑕疵) ＝ 0.6 × 0.02 ＋ 0.4 × 0.05 ＝ 0.012 ＋ 0.020 ＝ 0.032。 (b) P(A | 瑕疵) ＝ (0.6 × 0.02) ÷ 0.032 ＝ 0.012 ÷ 0.032 ＝ 0.375。 (c) P(B | 瑕疵) ＝ (0.4 × 0.05) ÷ 0.032 ＝ 0.020 ÷ 0.032 ＝ 0.625；0.375 ＋ 0.625 ＝ 1，验证成立。 (d) P(无瑕疵) ＝ 0.6 × 0.98 ＋ 0.4 × 0.95 ＝ 0.588 ＋ 0.380 ＝ 0.968；P(B | 无瑕疵) ＝ 0.380 ÷ 0.968 ＝ 0.393。 (e) P(A) × P(瑕疵) ＝ 0.6 × 0.032 ＝ 0.0192，而 P(A 且 瑕疵) ＝ 0.012，两者不相等，故两事件不独立（A 生产的零件较不容易有瑕疵）。 评分要点：(a) 2 分、(b) 2 分、(c) 2 分、(d) 2 分、(e) 2 分。 |
| 8 | 为估计某校全体学生某科的测验平均分 μ，随机抽出 50 名学生，样本平均分 x̄ ＝ 72.4，样本标准差 s ＝ 10.5。已知母体标准差可由 s 估计，样本平均数的抽样分布近似正态，且 z₀.₀₂₅ ＝ 1.96。 (a) 写出 μ 的点估计值。 (b) 求样本平均数的标准误（取三位小数）。 (c) 求 μ 的 95％ 置信区间（取三位小数），并解释该区间的意义。 (d) 若希望 95％ 置信区间的误差上限（误差界限）不超过 2 分，求所需的最少样本数。 (e) 说明为何 (c) 的区间不能理解为“μ 有 95％ 机会落在此区间内”。 |
(a) μ 的点估计值为 x̄ ＝ 72.4 分。 (b) 标准误 ＝ s/√n ＝ 10.5 ÷ √50 ＝ 1.485。 (c) 误差界限 ＝ 1.96 × 1.485 ＝ 2.910；置信区间为 (72.4 − 2.910, 72.4 ＋ 2.910) ＝ (69.490, 75.310)。意义：若以同样方法重复抽样多次，约 95％ 的样本所计出的区间会包含真正的 μ。 (d) 要求 1.96 × 10.5 ÷ √n ≤ 2，即 √n ≥ 1.96 × 10.5 ÷ 2 ＝ 10.29，n ≥ 105.88，故最少需要 106 名学生。 (e) 在频率学派的观点下 μ 是固定但未知的常数，区间 (69.490, 75.310) 已是固定数值，而 95％ 描述的是“此方法能成功盖住 μ 的长期比率”，不是 μ 本身的概率。 评分要点：(a) 1 分、(b) 2 分、(c) 3 分、(d) 2 分、(e) 2 分。 |
| 9 | 某研究记录变数 x（每日温习时数）与 y（测验分数）的五组数据：(1, 2)、(2, 4)、(3, 5)、(4, 4)、(5, 5)。 (a) 求 x 与 y 的平均值 x̄、ȳ。 (b) 求 Sxx、Syy 及 Sxy。 (c) 求 y 对 x 的回归直线 y ＝ a ＋ bx 中的 b 与 a（取一位小数）。 (d) 求相关系数 r（取三位小数），并描述两变数关系的强弱与方向。 (e) 用回归直线预测 x ＝ 6 时的 y 值，并说明在 x ＝ 15 时作预测是否恰当。 |
(a) x̄ ＝ (1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5) ÷ 5 ＝ 3；ȳ ＝ (2 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 4 ＋ 5) ÷ 5 ＝ 4。 (b) Sxx ＝ Σ(x − x̄)² ＝ 4 ＋ 1 ＋ 0 ＋ 1 ＋ 4 ＝ 10；Syy ＝ Σ(y − ȳ)² ＝ 4 ＋ 0 ＋ 1 ＋ 0 ＋ 1 ＝ 6；Sxy ＝ Σ(x − x̄)(y − ȳ) ＝ 4 ＋ 0 ＋ 0 ＋ 0 ＋ 2 ＝ 6。 (c) b ＝ Sxy ÷ Sxx ＝ 6 ÷ 10 ＝ 0.6；a ＝ ȳ − b·x̄ ＝ 4 − 0.6 × 3 ＝ 2.2，故回归直线为 y ＝ 2.2 ＋ 0.6x。 (d) r ＝ Sxy ÷ √(Sxx × Syy) ＝ 6 ÷ √60 ＝ 0.775；r 为正且接近 1，表示 x 与 y 有颇强的正相关。 (e) 当 x ＝ 6，y ＝ 2.2 ＋ 0.6 × 6 ＝ 5.8。x ＝ 15 远超数据范围（1 至 5），属于外推，回归关系未必在该处成立，故此预测并不恰当。 评分要点：(a) 2 分、(b) 3 分、(c) 2 分、(d) 2 分、(e) 1 分。 |
| 10 | 离散随机变数 X 的概率分布如下：P(X ＝ 0) ＝ 0.1、P(X ＝ 1) ＝ 0.3、P(X ＝ 2) ＝ 0.4、P(X ＝ 3) ＝ 0.2。 (a) 验证此为有效的概率分布。 (b) 求 E(X)。 (c) 求 E(X²) 及 Var(X)。 (d) 求 E(3X ＋ 2) 及 Var(3X ＋ 2)。 (e) 写出 X 的累积分布函数 F(x) 在 x ＝ 0、1、2、3 的值，并求 P(1 ≤ X ≤ 2)。 |
(a) 各概率均介乎 0 与 1 之间，且 0.1 ＋ 0.3 ＋ 0.4 ＋ 0.2 ＝ 1，故为有效的概率分布。 (b) E(X) ＝ 0×0.1 ＋ 1×0.3 ＋ 2×0.4 ＋ 3×0.2 ＝ 0 ＋ 0.3 ＋ 0.8 ＋ 0.6 ＝ 1.7。 (c) E(X²) ＝ 0×0.1 ＋ 1×0.3 ＋ 4×0.4 ＋ 9×0.2 ＝ 0 ＋ 0.3 ＋ 1.6 ＋ 1.8 ＝ 3.7；Var(X) ＝ E(X²) − [E(X)]² ＝ 3.7 − 2.89 ＝ 0.81。 (d) E(3X ＋ 2) ＝ 3E(X) ＋ 2 ＝ 3 × 1.7 ＋ 2 ＝ 7.1；Var(3X ＋ 2) ＝ 3² × Var(X) ＝ 9 × 0.81 ＝ 7.29。 (e) F(0) ＝ 0.1、F(1) ＝ 0.4、F(2) ＝ 0.8、F(3) ＝ 1；P(1 ≤ X ≤ 2) ＝ 0.3 ＋ 0.4 ＝ 0.7。 评分要点：(a) 2 分、(b) 2 分、(c) 2 分、(d) 2 分、(e) 2 分。 |
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