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HKDSE 数学延伸部分单元二（代数与微积分）模拟卷（10 题・100 分・2 小时 30 分）
练习卷 · DSE 数学 M2
HKDSE 数学延伸部分单元二模拟卷：10 题、100 分、限时 2 小时 30 分，涵盖数学归纳法、二项式定理、极限与求导、代换法与定积分、三角方程、矩阵与逆矩阵、三元一次方程组、向量与叉积、曲线描绘与面积、分部积分，每题附逐步答案与评分要点。
卷面资料 年级：中六（HKDSE 选修单元） ｜ 科目：数学（延伸部分单元二） ｜ 时限：150 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：10
甲部（第 1 至 6 题・50 分）
全部题目均须作答。本卷须展示步骤，数值答案取三位有效数字（另有指明者除外），并在答案末标明单位。所有数据为示例，并非任何考试机构的历届试题。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 设 S(n) 为命题“对所有正整数 n，Σ（r 由 1 至 n）r·2^r ＝ (n − 1)·2^(n+1) ＋ 2”。\n(a) 以数学归纳法证明 S(n) 对所有正整数 n 成立。\n(b) 由此求 Σ（r 由 1 至 5）r·2^r 的值。 | (a) 当 n ＝ 1：左边 ＝ 1×2 ＝ 2，右边 ＝ (1 − 1)×4 ＋ 2 ＝ 2，命题成立。\n假设对某正整数 k 成立，即 Σ（r 由 1 至 k）r·2^r ＝ (k − 1)·2^(k+1) ＋ 2。\n则 n ＝ k ＋ 1 时：Σ（r 由 1 至 k+1）r·2^r ＝ (k − 1)·2^(k+1) ＋ 2 ＋ (k ＋ 1)·2^(k+1)\n＝ [(k − 1) ＋ (k ＋ 1)]·2^(k+1) ＋ 2 ＝ 2k·2^(k+1) ＋ 2 ＝ k·2^(k+2) ＋ 2\n＝ [(k ＋ 1) − 1]·2^((k+1)+1) ＋ 2，命题对 n ＝ k ＋ 1 亦成立。\n由数学归纳法原理，S(n) 对所有正整数 n 成立。\n(b) 取 n ＝ 5：Σ ＝ (5 − 1)×2^6 ＋ 2 ＝ 4×64 ＋ 2 ＝ 258。\n评分要点：(a) 6 分（奠基 1、归纳假设 1、代入 2、化简 2）；(b) 2 分。 |
| 2 | 在 (2 − x/2)^8 的展开式中，\n(a) 求常数项；\n(b) 求 x^3 的系数；\n(c) 求 x^4 的系数。 | (a) 常数项 ＝ C(8,0)×2^8×( −x/2 )^0 ＝ 256。\n(b) 含 x^3 的项为 C(8,3)×2^5×(−1/2)^3 x^3 ＝ 56×32×(−1/8) x^3 ＝ −224x^3，系数为 −224。\n(c) 含 x^4 的项为 C(8,4)×2^4×(−1/2)^4 x^4 ＝ 70×16×(1/16) x^4 ＝ 70x^4，系数为 70。\n评分要点：(a) 2 分；(b) 4 分（组合数、2 的幂、符号各 1，答案 1）；(c) 2 分。 |
| 3 | (a) 求 lim（x → 2）(x^2 − 5x ＋ 6) / (x − 2)。\n(b) 设 h(x) ＝ x^2 ln x（x 大于 0），求 h′(1)。\n(c) 求曲线 y ＝ h(x) 在 x ＝ 1 处的切线方程。 | (a) x^2 − 5x ＋ 6 ＝ (x − 2)(x − 3)，故当 x ≠ 2 时商式为 x − 3，极限为 2 − 3 ＝ −1。\n(b) h′(x) ＝ 2x ln x ＋ x^2 × (1/x) ＝ 2x ln x ＋ x，故 h′(1) ＝ 0 ＋ 1 ＝ 1。\n(c) h(1) ＝ 1^2 × ln 1 ＝ 0，切线为 y − 0 ＝ 1 × (x − 1)，即 y ＝ x − 1。\n评分要点：(a) 3 分（因式分解 1、约简 1、答案 1）；(b) 3 分；(c) 2 分。 |
| 4 | (a) 以代换 u ＝ x^2 ＋ 3 求 ∫ x√(x^2 ＋ 3) dx。\n(b) 由此计算 ∫（由 x ＝ 1 至 3）x√(x^2 ＋ 3) dx，答案取三位有效数字。 | (a) 令 u ＝ x^2 ＋ 3，则 du ＝ 2x dx，即 x dx ＝ du / 2。\n∫ x√(x^2 ＋ 3) dx ＝ (1/2)∫ u^(1/2) du ＝ (1/2)(2/3)u^(3/2) ＋ C ＝ (1/3)(x^2 ＋ 3)^(3/2) ＋ C。\n(b) 原式 ＝ [(1/3)(x^2 ＋ 3)^(3/2)]（由 1 至 3）＝ (1/3)(12^(3/2) − 4^(3/2))\n＝ (1/3)(41.569 − 8) ＝ 11.190，即约 11.2。\n评分要点：(a) 5 分（代换 2、反导数 2、常数 C 1）；(b) 4 分（上下限代入 2、值 2）。 |
| 5 | (a) 解方程 2sin^2 θ − sin θ − 1 ＝ 0，其中 0° ≤ θ ≤ 360°。\n(b) 由此解方程 2sin^2(2x) − sin(2x) − 1 ＝ 0，其中 0° ≤ x ≤ 180°。 | (a) 2sin^2 θ − sin θ − 1 ＝ (2sin θ ＋ 1)(sin θ − 1) ＝ 0。\n若 sin θ ＝ 1，则 θ ＝ 90°；若 sin θ ＝ −1/2，则 θ ＝ 210° 或 330°。\n故 θ ＝ 90°、210°、330°。\n(b) 令 2x 取 (a) 的三个值，并考虑 0° ≤ 2x ≤ 360°，得 2x ＝ 90°、210°、330°，故 x ＝ 45°、105°、165°。\n评分要点：(a) 5 分（因式分解 2、三个解各 1）；(b) 4 分（范围处理 1、三个解各 1）。 |
| 6 | 设 A ＝ （2 1；3 4）。\n(a) 求 det A 及 A^(−1)。\n(b) 以逆矩阵法解方程组 2x ＋ y ＝ 5，3x ＋ 4y ＝ 6。 | (a) det A ＝ 2×4 − 1×3 ＝ 5；A^(−1) ＝ (1/5)×（4 −1；−3 2）＝（4/5 −1/5；−3/5 2/5）。\n(b) （x；y）＝ A^(−1)（5；6）＝ (1/5)×（4×5 − 1×6；−3×5 ＋ 2×6）＝ (1/5)×（14；−3）\n＝（14/5；-3/5），即 x ＝ 2.8、y ＝ −0.6。\n评分要点：(a) 4 分（行列式 1、余因子 2、逆矩阵 1）；(b) 4 分（矩阵乘法 2、两个值各 1）。 |
乙部（第 7 至 10 题・50 分）
全部题目均须作答。本卷须展示步骤，数值答案取三位有效数字（另有指明者除外），并在答案末标明单位。所有数据为示例，并非任何考试机构的历届试题。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 7 | 考虑方程组 x ＋ y ＋ z ＝ 6，2x − y ＋ z ＝ 3，x ＋ 2y − kz ＝ 3，其中 k 为实数。\n(a) 以 k 表示该方程组的系数矩阵的行列式。\n(b) 求 k 的值使方程组没有唯一解。\n(c) 当 k ＝ 1 时，用克拉玛法则解该方程组。 | (a) 行列式 ＝ 1[(−1)(−k) − 1×2] − 1[2(−k) − 1×1] ＋ 1[2×2 − (−1)×1]\n＝ (k − 2) ＋ (2k ＋ 1) ＋ 5 ＝ 3k ＋ 4。\n(b) 没有唯一解即行列式为 0，故 3k ＋ 4 ＝ 0，k ＝ −4/3。\n(c) 当 k ＝ 1，行列式 ＝ 7。\nx ＝ det（6 1 1；3 −1 1；3 2 −1）÷ 7 ＝ 9/7；y ＝ det（1 6 1；2 3 1；1 3 −1）÷ 7 ＝ 15/7；z ＝ det（1 1 6；2 −1 3；1 2 3）÷ 7 ＝ 18/7。\n即 x ＝ 9/7、y ＝ 15/7、z ＝ 18/7；回代三式均成立。\n评分要点：(a) 4 分；(b) 3 分；(c) 5 分（三个行列式各 1、三个解各 1）。 |
| 8 | 设向量 a ＝ i ＋ 2j − 2k，b ＝ 2i − j ＋ k。\n(a) 求 |a|、|b| 及 a·b。\n(b) 求 a 与 b 之间的夹角，答案取三位有效数字。\n(c) 求 a × b 及 |a × b|。\n(d) 求 b 在 a 方向上的投影长度（纯量分量）。 | (a) |a| ＝ √(1 ＋ 4 ＋ 4) ＝ 3；|b| ＝ √(4 ＋ 1 ＋ 1) ＝ √6 ≈ 2.45；a·b ＝ 2 − 2 − 2 ＝ −2。\n(b) cos θ ＝ −2 ÷ (3√6) ≈ -0.2722，θ ≈ 105.8°，即约 106°。\n(c) a × b ＝（2×1 − (−2)(−1)）i −（1×1 − (−2)×2）j ＋（1×(−1) − 2×2）k\n＝ 0i − 5j − 5k，故 |a × b| ＝ √50 ≈ 7.07。\n(d) 投影长度 ＝ a·b ÷ |a| ＝ −2 ÷ 3 ≈ −0.667（负号表示方向与 a 相反）。\n评分要点：(a) 3 分；(b) 3 分（余弦值 2、角度 1）；(c) 4 分（叉积 3、大小 1）；(d) 2 分。 |
| 9 | 设曲线 C 的方程为 y ＝ x^3 − 6x^2 ＋ 9x ＋ 1。\n(a) 求 C 的驻点，并判定各点的性质。\n(b) 求 C 的拐点。\n(c) 求 C 与直线 x ＝ 0、x ＝ 3 及 x 轴所围成的区域面积（该区域位于 x 轴上方）。 | (a) y′ ＝ 3x^2 − 12x ＋ 9 ＝ 3(x − 1)(x − 3)，驻点为 x ＝ 1 及 x ＝ 3。\ny″ ＝ 6x − 12；x ＝ 1 时 y″ ＝ −6 小于 0，故 (1, 5) 为极大点；x ＝ 3 时 y″ ＝ 6 大于 0，故 (3, 1) 为极小点。\n(b) 令 y″ ＝ 0 得 x ＝ 2，且 y″ 在 x ＝ 2 两侧变号，故拐点为 (2, 3)。\n(c) 面积 ＝ ∫（0 至 3）(x^3 − 6x^2 ＋ 9x ＋ 1) dx\n＝ [x^4/4 − 2x^3 ＋ 9x^2/2 ＋ x]（0 至 3）＝ 81/4 − 54 ＋ 81/2 ＋ 3 ＝ 39/4 ＝ 9.75。\n评分要点：(a) 6 分（导数 1、驻点 2、二阶导数判定 3）；(b) 3 分；(c) 4 分（反导数 2、代入 2）。 |
| 10 | (a) 用分部积分法求 ∫ x^2 e^(2x) dx。\n(b) 由此计算 ∫（由 x ＝ 0 至 1）x^2 e^(2x) dx，答案取三位有效数字。\n(c) 说明为何不能直接用代换 u ＝ e^(2x) 求 (a) 的积分。 | (a) 取 u ＝ x^2，dv ＝ e^(2x) dx，则 du ＝ 2x dx，v ＝ e^(2x)/2。\n∫ x^2 e^(2x) dx ＝ (x^2 e^(2x))/2 − ∫ x e^(2x) dx。\n再取 u ＝ x、dv ＝ e^(2x) dx，得 ∫ x e^(2x) dx ＝ (x e^(2x))/2 − e^(2x)/4。\n故原式 ＝ (x^2 e^(2x))/2 − (x e^(2x))/2 ＋ e^(2x)/4 ＋ C\n＝ e^(2x)(x^2/2 − x/2 ＋ 1/4) ＋ C。\n(b) 代入上下限：e^2 × (1/2 − 1/2 ＋ 1/4) − e^0 × (1/4) ＝ 0.25e^2 − 0.25≈ 1.5973，即约 1.60。\n(c) 代换 u ＝ e^(2x) 得 du ＝ 2e^(2x) dx，被积函数中的 x^2 无法单以 u 表示（需用 ln u），会令积分更复杂，故不宜直接代换。\n评分要点：(a) 7 分（第一次分部 3、第二次分部 3、常数 1）；(b) 4 分；(c) 2 分。 |
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