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DSE 数学（必修部分）：面积、体积与相似立体练习卷
练习卷 · DSE 数学 · 计时练习
本卷针对中六数学必修部分的面积与体积单元，涵盖圆锥、球体、相似立体、圆台、复合立体及量度误差。全卷 12 题，总分 100 分，时限 75 分钟，由基本计算到多步推理，附完整答案与评分要点。 适合中六学生作计时练习，附完整答案及评分要点。
卷面资料 年级：中六（S6） ｜ 科目：数学（必修部分） ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：12
甲部（第 1 至 4 题，共 26 分）
细阅下列各题，写出正确答案并加以解释。若涉及计算，须列出算式及单位。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 一个圆锥的底半径为 5 cm，高为 12 cm。求它的斜高、曲面面积、总表面积及体积（答案以 π 表示，并取至一位小数）。 | 斜高 = √(5² + 12²) = 13 cm。曲面面积 = π × 5 × 13 = 65π ≈ 204.2 cm²。总表面积 = 65π + 25π = 90π ≈ 282.7 cm²。体积 = (1/3) × π × 25 × 12 = 100π ≈ 314.2 cm³。评分：斜高 2 分、曲面面积 1 分、总表面积 1 分、体积 2 分。 |
| 2 | 两个圆柱相似，对应长度之比为 2 : 3。较小圆柱的体积为 64 cm³，总表面积为 72 cm²。求较大圆柱的体积及总表面积，并说明所用的比例关系。 | 体积比为 (2 : 3)³ = 8 : 27，故较大体积 = 64 × 27/8 = 216 cm³。表面积比为 (2 : 3)² = 4 : 9，故较大表面积 = 72 × 9/4 = 162 cm²。评分：体积比 2 分、表面积比 2 分、两个答案各 1 分。 |
| 3 | 一个底半径 7 cm、高 20 cm 的实心圆柱被熔化，再铸成半径 3 cm 的小球。求可铸成小球的最多数目，以及剩余金属的体积。 | 圆柱体积 = π × 49 × 20 = 980π cm³。每个小球体积 = (4/3) × π × 27 = 36π cm³。980π ÷ 36π = 27.2，故最多可铸 27 个。剩余体积 = 980π − 972π = 8π ≈ 25.1 cm³。评分：圆柱体积 2 分、球体积 2 分、个数 2 分、余料 1 分。 |
| 4 | 一个正棱柱的横截面是梯形，两条平行边分别长 8 cm 及 14 cm，梯形的高为 6 cm，棱柱长 25 cm。求横截面面积、棱柱体积；若材料密度为 2.7 g/cm³，求棱柱的质量（以 kg 表示）。 | 横截面面积 = (8 + 14) ÷ 2 × 6 = 66 cm²。体积 = 66 × 25 = 1650 cm³。质量 = 1650 × 2.7 = 4455 g = 4.455 kg。评分：截面面积 2 分、体积 2 分、质量及单位换算 3 分。 |
乙部（第 5 至 8 题，共 32 分）
回答下列各题，须展示计算步骤及单位，并以题目提供的资料支持论点。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | 一个长方形的长与宽分别量得 12.4 cm 及 8.6 cm，准确至最接近的 0.1 cm。求面积的最大可能值，以及最大面积相对量度面积的百分误差。 | 最大尺寸为 12.45 cm 与 8.65 cm，最大面积 = 107.6925 cm²。量度面积 = 12.4 × 8.6 = 106.64 cm²。百分误差 = (107.6925 − 106.64) ÷ 106.64 × 100% ≈ 0.99%。评分：上限尺寸 2 分、最大面积 2 分、百分误差 2 分。 |
| 6 | 一个半径 9 cm 的实心金属球被熔化，再铸成一个底半径 9 cm 的圆锥。求圆锥的高，以及该球原来的表面积。 | 球体积 = (4/3) × π × 729 = 972π cm³。设圆锥高为 h，则 (1/3) × π × 81 × h = 972π，得 h = 36 cm。球表面积 = 4π × 81 = 324π ≈ 1017.9 cm²。评分：球体积 2 分、建立等式 1 分、高 3 分、表面积 2 分。 |
| 7 | 同一时刻，身高 1.8 m 的人影长 2.4 m，附近一支旗杆的影子长 12 m。求旗杆的高度；若另一时刻旗杆影子长 15 m，求该时刻人影的长度，并解释两次计算的共通原理。 | 由相似三角形，旗杆高 ÷ 12 = 1.8 ÷ 2.4，故旗杆高 = 9 m。另一时刻人影 = 1.8 × 15 ÷ 9 = 3.0 m。两次均利用同一时刻太阳光线平行，人与旗杆构成相似三角形，对应边成比例。评分：比例式 3 分、旗杆高 3 分、第二情况 2 分、原理解释 1 分。 |
| 8 | 一个大圆锥的底半径 9 cm、高 24 cm，在离顶点 8 cm 处以平行于底面的平面切去小圆锥，余下部分称为圆台。求大圆锥与小圆锥的体积，圆台的体积，以及两者体积之比。 | 大圆锥体积 = (1/3) × π × 81 × 24 = 648π cm³。小圆锥与大圆锥相似，长度比 8 : 24 = 1 : 3，体积 = 648π ÷ 27 = 24π cm³。圆台体积 = 624π ≈ 1960.4 cm³。体积比为 27 : 1。评分：大圆锥 2 分、小圆锥 2 分、圆台 2 分、体积比及解释 3 分。 |
丙部（第 9 至 12 题，共 42 分）
就下列各题作较详细的论述，须使用正确的学科术语，并以香港或日常情况举例。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | 一个复合立体由底半径 6 cm、高 10 cm 的圆柱，以及在圆柱顶部加上一个同半径的半球组成。求复合立体的体积及总表面积（包括底面）。 | 圆柱体积 = π × 36 × 10 = 360π cm³，半球体积 = (2/3) × π × 216 = 144π cm³，合共 504π ≈ 1583.4 cm³。表面积 = 圆柱侧面 2π × 6 × 10 = 120π，半球曲面 2π × 36 = 72π，底面 π × 36 = 36π，合共 228π ≈ 716.3 cm²。评分：两部分体积各 2 分、三个面积部分各 2 分。 |
| 10 | 两个相似的模型，对应长度之比为 1 : 4。已知较小模型的表面积为 200 cm²，质量为 1.5 kg。求较大模型的表面积与质量；若油漆每升可涂 1000 cm²，每升售 18 元，求为较大模型上漆的材料费。 | 表面积比 = 1 : 16，较大表面积 = 200 × 16 = 3200 cm²。体积与质量比 = 1 : 64，较大质量 = 1.5 × 64 = 96 kg。所需油漆 = 3200 ÷ 1000 = 3.2 L，费用 = 3.2 × 18 = 57.6 元。评分：两个比各 2 分、质量 2 分、油漆量 2 分、费用 2 分。 |
| 11 | 一个圆柱形水箱的底半径 1.2 m、高 2 m。水以每分钟 15 L 注入。求水箱的容积（以 L 表示）、注满所需的时间（以分钟及小时表示），以及注至容积四分之三时所需的时间。 | 容积 = π × 1.44 × 2 = 2.88π ≈ 9.048 m³ = 9047.8 L。注满时间 = 9047.8 ÷ 15 ≈ 603.2 分钟 ≈ 10.05 小时。注至四分之三需 9047.8 × 0.75 ÷ 15 ≈ 452.4 分钟 ≈ 7.54 小时。评分：体积 2 分、单位换算 2 分、注满时间 3 分、四分之三 3 分、单位表达 1 分。 |
| 12 | 一个有盖圆柱的体积固定为 500 cm³。以微积分或配方的方法求令总表面积最小的底半径与高，并求该最小表面积；同时说明最小表面积出现时，高与底半径的关系。 | 设底半径 r、高 h，则 πr²h = 500，总表面积 S = 2πr² + 1000/r。令 dS/dr = 4πr − 1000/r² = 0，得 r³ = 250/π，r ≈ 4.30 cm，h ≈ 8.60 cm。最小表面积 = 2π(18.5) + 1000/4.30 ≈ 348.7 cm²。此时 h = 2r，即高等于直径的长度。评分：关系式 3 分、r 及 h 各 2 分、最小表面积 3 分、关系解释 1 分。 |
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