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DSE 数学（必修部分）练习卷：二次方程与二次函数（12 题・50 分・75 分钟）
练习卷 · DSE 数学二次方程与函数全卷
DSE 数学必修部分练习卷：12 题原创题目、50 分、75 分钟，涵盖因式分解、判别式、配方法、根与系数、二次不等式与抛物线应用，每题附完整步骤及评分要点。适合中六文凭试备考。适合中六文凭试备考。适合中六文凭试备考。适合中六文凭试备考。适合中六文凭试备考。
卷面资料 年级：中六（S6） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：50 分 ｜ 题数：12
甲部：短题（每题 4 分）
回答全部题目，须列出算式及计算步骤。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 解方程 x² − 5x + 6 = 0，并求两根之和与两根之积。（4 分） | 因式分解得 (x − 2)(x − 3) = 0，故 x = 2 或 x = 3。两根之和 = 2 + 3 = 5，两根之积 = 2 × 3 = 6。评分：因式分解 1 分，两根各 1 分，和与积 1 分。 |
| 2 | 考虑方程 2x² + 4x + k = 0。（a）以 k 表示其判别式。（b）若方程有重根，求 k 的值及该重根。（4 分） | （a）判别式 Δ = 4² − 4 × 2 × k = 16 − 8k。（b）重根表示 Δ = 0，即 16 − 8k = 0，故 k = 2。此时方程为 2x² + 4x + 2 = 2(x + 1)² = 0，重根为 x = −1。 |
| 3 | 把 x² + 8x + 11 写成 a(x − h)² + k 的形式，并写出图像的顶点及最小值。（4 分） | x² + 8x + 11 = (x² + 8x + 16) − 16 + 11 = (x + 4)² − 5。顶点为 (−4, −5)，最小值为 −5。评分：配方 2 分，顶点 1 分，最小值 1 分。 |
| 4 | 已知 y = x² − 6x + 5。（a）求图像与 x 轴的交点。（b）求对称轴及顶点。（4 分） | （a）令 y = 0，得 x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5) = 0，故与 x 轴交于 (1, 0) 及 (5, 0)。（b）对称轴为 x = 6 ÷ 2 = 3；代入得 y = 9 − 18 + 5 = −4，顶点为 (3, −4)。 |
| 5 | 设 α、β 为方程 3x² − 7x + 2 = 0 的两根。（a）求 α + β 与 αβ。（b）求以 1/α 与 1/β 为根、系数为整数的二次方程。（4 分） | （a）α + β = 7/3，αβ = 2/3。（b）1/α + 1/β = (α + β) ÷ αβ = (7/3) ÷ (2/3) = 7/2；1/α × 1/β = 1 ÷ (2/3) = 3/2。所求方程为 x² − (7/2)x + 3/2 = 0，两边乘 2 得 2x² − 7x + 3 = 0。 |
| 6 | 一个球从地面垂直向上抛出，t 秒后离地高度为 h = −5t² + 20t 米（0 ≤ t ≤ 4）。（a）求球达到的最高高度。（b）求球离地 15 米时的时刻。（4 分） | （a）h = −5(t² − 4t) = −5[(t − 2)² − 4] = −5(t − 2)² + 20，故 t = 2 时高度最大，最高为 20 米。（b）令 −5t² + 20t = 15，化简得 t² − 4t + 3 = 0，即 (t − 1)(t − 3) = 0，故 t = 1 秒或 t = 3 秒。 |
乙部：应用题（每题 4 分）
解方程及不等式时须写出因式分解或公式，并清楚标示答案。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 7 | 解不等式 x² − 3x − 10 ≤ 0。（4 分） | x² − 3x − 10 = (x − 5)(x + 2) ≤ 0，临界值为 −2 与 5。由于抛物线开口向上，两根之间的值为负，故解为 −2 ≤ x ≤ 5。评分：因式分解 2 分，范围 2 分（端点错扣 1 分）。 |
| 8 | 判断方程 4x² − 12x + 9 = 0 的实根数目，并解该方程。（4 分） | 判别式 Δ = (−12)² − 4 × 4 × 9 = 144 − 144 = 0，故方程有一个重根（二重实根）。4x² − 12x + 9 = (2x − 3)² = 0，故 x = 3/2。 |
| 9 | 一个长方形的周界为 28 cm，面积为 45 cm²。求它的长与阔。（4 分） | 设阔为 w cm，则长为 (14 − w) cm。由面积得 w(14 − w) = 45，即 w² − 14w + 45 = 0，因式分解得 (w − 5)(w − 9) = 0，故 w = 5 或 w = 9。长方形的长为 9 cm，阔为 5 cm。 |
丙部：长题（共 14 分）
长题须列出完整的解题步骤，应用题的答案须附单位。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 10 | 直线 y = 2x + 3 与抛物线 y = x² − 2x + 1 相交于 P、Q 两点。（a）证明两图像有两个交点。（b）求 P、Q 的 x 坐标，答案准确至三位有效数字。（4 分） | （a）令 x² − 2x + 1 = 2x + 3，得 x² − 4x − 2 = 0。其判别式 Δ = 16 + 8 = 24 ＞ 0，故有两个相异实根，即两图像有两个交点。（b）由公式 x = (4 ± √24) ÷ 2 = 2 ± √6，故 x ≈ 4.45 或 x ≈ −0.449（三位有效数字）。 |
| 11 | 已知 f(x) = 2x² − 12x + 13。（a）把 f(x) 写成 a(x − h)² + k 的形式。（b）求 f(x) 的最小值及对应的 x 值。（4 分） | （a）f(x) = 2(x² − 6x) + 13 = 2[(x − 3)² − 9] + 13 = 2(x − 3)² − 5。（b）因为 (x − 3)² ≥ 0，故 f(x) ≥ −5，最小值为 −5，在 x = 3 时取得。评分：配方 2 分，最小值 1 分，对应 x 值 1 分。 |
| 12 | 某小店售卖一款笔记本。每本售价 x 元时，每月利润 P（元）为 P = −2x² + 80x − 600，其中 10 ≤ x ≤ 30。（a）求使每月利润最大的售价及该最大利润。（b）求使每月利润为正的售价范围。（6 分） | （a）P = −2(x² − 40x) − 600 = −2[(x − 20)² − 400] − 600 = −2(x − 20)² + 200。因为 −2(x − 20)² ≤ 0，故 x = 20 时利润最大，最大利润为 200 元。（b）P ＞ 0 即 −2x² + 80x − 600 ＞ 0，两边除以 −2（不等号反向）得 x² − 40x + 300 ＜ 0，即 (x − 10)(x − 30) ＜ 0，故 10 ＜ x ＜ 30。评分：配方 2 分，最大利润 2 分，范围 2 分。 |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。
