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IGCSE 数学 0580 Paper 4（Extended）模拟卷（第二份・12 题・100 分・105 分钟）
练习卷 · IGCSE 数学 0580
IGCSE 数学 0580 Paper 4（Extended）模拟卷：12 题、100 分、限时 105 分钟，涵盖百分数与比、标准形式与界限、二次方程、数列、复利息与反比例、多边形与圆形定理、余弦定理与三角形面积、立体图形表面面积与体积、统计与四分位距、概率树、座标几何、函数与行程图。全部题目原创，附逐步答案与评分要点。
卷面资料 年级：中四至中五（IGCSE Extended） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：105 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：12
甲部（第 1 至 6 题・50 分）
全部题目均须作答。本卷可用计算机，惟计算机不得附有图表显示或符号运算功能。计算题须展示步骤，除另有指明外，数值答案须准确至三位有效数字，并在答案末标明单位。所有数据为示例，并非任何考试机构的历届试题。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 一件外套的标价为 $560。店铺进行促销，全部货品减价 15%。 (a) 求外套的售价。 (b) 阿明与姐姐合资购买这件外套，两人所付金额之比为 3 : 4。求各人付了多少钱。 |
(a) 售价 ＝ 560 × (1 − 0.15) ＝ $476.00。（4 分） (b) 每份金额 ＝ 476.00 ÷ 7 ＝ $68.00；阿明付 3 份 ＝ $204.00，姐姐付 4 份 ＝ $272.00。（4 分） |
| 2 | (a) 把 0.00046 写成标准形式 a × 10ⁿ，其中 1 ≤ a 小于 10。 (b) 计算 (3.2 × 10⁵) × (4.5 × 10⁻³)，并以标准形式表示答案。 (c) x ＝ 6.3（准确至一位小数），y ＝ 2.8（准确至一位小数）。求 x ÷ y 的最大可能值，准确至三位有效数字。 |
(a) 0.00046 ＝ 4.6 × 10⁻⁴。（2 分） (b) 3.2 × 4.5 ＝ 14.4，10⁵ × 10⁻³ ＝ 10²，故答案 ＝ 1.44 × 10³（＝ 1440）。（3 分） (c) x 的上限 ＝ 6.35，y 的下限 ＝ 2.75，最大值 ＝ 6.35 ÷ 2.75 ＝ 2.309。（3 分） |
| 3 | (a) 展开 (3x − 2)(x + 4)。 (b) 因式分解 2x² + 5x − 3。 (c) 由此解方程 2x² + 5x − 3 ＝ 0。 |
(a) (3x − 2)(x + 4) ＝ 3x² + 12x − 2x − 8 ＝ 3x² + 10x − 8。（2 分） (b) 2x² + 5x − 3 ＝ (2x − 1)(x + 3)。（3 分） (c) 2x − 1 ＝ 0 或 x + 3 ＝ 0，故 x ＝ 0.5 或 x ＝ -3。（3 分） |
| 4 | 某数列的首项为 7，其后每一项比前一项大 4。 (a) 写出该数列的首四项。 (b) 求第 20 项。 (c) 求首 20 项之和。 |
(a) 7, 11, 15, 19。（2 分） (b) 第 n 项 ＝ 7 + (n − 1) × 4；第 20 项 ＝ 7 + 19 × 4 ＝ 83。（3 分） (c) 总和 ＝ 20 ÷ 2 × (7 + 83) ＝ 900。（3 分） |
| 5 | (a) 陈先生把 $4 000 存入银行，年利率 3.5%，利息每年复利计算一次。求 4 年后的本利和，准确至最接近的分。 (b) 在 4 年内共得多少利息？ (c) 某变量 p 与 q² 成反比。当 q ＝ 3 时，p ＝ 8。求当 q ＝ 4 时 p 的值。 |
(a) 本利和 ＝ 4000 × (1 + 0.035)⁴ ＝ $4590.09。（4 分） (b) 利息 ＝ 4590.09 − 4000 ＝ $590.09。（2 分） (c) p q² ＝ 常数，故 k ＝ 8 × 9 ＝ 72；q ＝ 4 时 p ＝ 72 ÷ 16 ＝ 4.5。（3 分） |
| 6 | (a) 求正 12 边形的内角、外角及内角和。 (b) 在一个圆中，AB 为直径，C 为圆上一点。已知 ∠ABC ＝ 35°，求 ∠BAC。 (c) ABCD 为圆内接四边形，∠ABC ＝ 108°。求 ∠ADC，并写出所用定理。 |
(a) 内角和 ＝ (12 − 2) × 180° ＝ 1800°；每个内角 ＝ 1800 ÷ 12 ＝ 150°；每个外角 ＝ 360° ÷ 12 ＝ 30°。（3 分） (b) 半圆上的圆周角为 90°，故 ∠ACB ＝ 90°；∠BAC ＝ 180° − 90° − 35° ＝ 55°。（3 分） (c) 圆内接四边形对角互补，∠ADC ＝ 180° − 108° ＝ 72°。（3 分） |
乙部（第 7 至 12 题・50 分）
全部题目均须作答。本卷可用计算机，惟计算机不得附有图表显示或符号运算功能。计算题须展示步骤，除另有指明外，数值答案须准确至三位有效数字，并在答案末标明单位。所有数据为示例，并非任何考试机构的历届试题。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 7 | 在三角形 ABC 中，AB ＝ 7 cm，AC ＝ 9 cm，∠BAC ＝ 62°。 (a) 求 BC 的长度，准确至三位有效数字。 (b) 求三角形 ABC 的面积，准确至三位有效数字。 |
(a) 余弦定理：BC² ＝ 7² + 9² − 2 × 7 × 9 × cos 62° ＝ 49 + 81 − 126 × 0.4695 ＝ 70.847，故 BC ＝ 8.417 cm。（5 分） (b) 面积 ＝ ½ × 7 × 9 × sin 62° ＝ ½ × 63 × 0.8829 ＝ 27.81 cm²。（4 分） |
| 8 | 一个实心圆柱的半径为 6 cm，高为 10 cm。 (a) 求圆柱的体积，准确至三位有效数字。 (b) 求圆柱的总表面面积，准确至三位有效数字。 (c) 若把圆柱熔化并重铸成半径相同的球体，该球能否完全放入圆柱之内？须说明理由。 |
(a) 体积 ＝ π × 6² × 10 ＝ 1130.97 cm³ ≈ 1.13e+03 cm³。（3 分） (b) 总表面面积 ＝ 2π6² + 2π6(10) ＝ 226.19 + 376.99 ＝ 603.19 cm² ≈ 603 cm²。（4 分） (c) 球半径 r 满足 (4/3)πr³ ＝ 1130.97，得 r ≈ 6.46 cm，大于 6 cm，故球不能完全放入圆柱之内。（2 分） |
| 9 | 以下为 11 名学生每月阅读课外书的数目（已按大小排列）： 12, 15, 15, 18, 20, 22, 22, 25, 28, 30, 34 (a) 求平均数、中位数及众数。 (b) 求下四分位数、上四分位数及四分位距。 (c) 若每名学生的阅读量都增加 2 本，写出新的平均数及新的四分位距。 |
(a) 总数 ＝ 241，平均数 ＝ 241 ÷ 11 ＝ 21.91 本；中位数（第 6 个）＝ 22 本；众数 ＝ 15 及 22 本。（4 分） (b) 下四分位数 ＝ 15，上四分位数 ＝ 28，四分位距 ＝ 28 − 15 ＝ 13。（3 分） (c) 新平均数 ＝ 21.91 + 2 ＝ 23.91 本；四分位距不变，仍为 13。（2 分） |
| 10 | 一个袋内有 5 个红球及 3 个蓝球。小明随机抽出一个球，记录颜色后不放回，再抽出第二个球。 (a) 画出树形图，并在每条分枝标明概率。 (b) 求两个球都是红色的概率。 (c) 求两个球颜色不同的概率。 (d) 求至少有一个红球的概率。 |
(a) 第一次：红 5/8、蓝 3/8；第二次：红球剩 4 个、蓝球保持 3 个，总数 7，故各分枝为 4/7、3/7（或 5/7、2/7）。（2 分） (b) P(红, 红) ＝ 5/8 × 4/7 ＝ 0.357。（2 分） (c) P(不同色) ＝ 5/8 × 3/7 + 3/8 × 5/7 ＝ 0.536。（3 分） (d) P(至少一红) ＝ 1 − P(蓝, 蓝) ＝ 1 − 3/8 × 2/7 ＝ 0.893。（2 分） |
| 11 | 已知 A(1, 2) 及 B(7, 10) 两点。 (a) 求 AB 的中点坐标。 (b) 求 AB 的斜率。 (c) 求通过 A 且与 AB 垂直的直线 L 的方程，答案以 y ＝ mx + c 表示。 (d) L 与直线 y ＝ 2x − 3 相交于 P，求 P 的坐标，准确至三位有效数字。 |
(a) 中点 ＝ ((1+7)/2, (2+10)/2) ＝ (4, 6)。（2 分） (b) 斜率 ＝ (10 − 2) ÷ (7 − 1) ＝ 1.3333。（2 分） (c) 垂直斜率 ＝ −1 ÷ 1.3333 ＝ -0.75；y − 2 ＝ -0.75(x − 1)，即 y ＝ -0.75x + 2.75。（2 分） (d) 解 -0.75x + 2.75 ＝ 2x − 3，得 x ＝ 2.0909、y ＝ 1.1818，故 P ＝ (2.09, 1.18)。（2 分） |
| 12 | 设 f(x) ＝ 2x − 3 及 g(x) ＝ x² − 4。 (a) 求 f⁻¹(x)。 (b) 求 fg(3) 及 gf(3)。 (c) 一辆车由静止加速 10 秒至 12 m/s，再以等速行驶 15 秒，最后 5 秒均匀减速至静止。求全程行驶的距离。 |
(a) 令 y ＝ 2x − 3，则 x ＝ (y + 3) ÷ 2，故 f⁻¹(x) ＝ (x + 3) ÷ 2。（2 分） (b) g(3) ＝ 9 − 4 ＝ 5，f(5) ＝ 7，故 fg(3) ＝ 7；f(3) ＝ 3，g(3) ＝ 5，故 gf(3) ＝ 5。（2 分） (c) 距离 ＝ ½ × 10 × 12 + 15 × 12 + ½ × 5 × 12 ＝ 60 + 180 + 30 ＝ 270.0 m。（2 分） |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。
