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IGCSE 数学练习卷：代数与图像（12 题・100 分）
练习卷 · IGCSE 数学代数与图像全卷
IGCSE 数学练习卷：代数与图像，12 题共 100 分、75 分钟，涵盖展开与因式分解、联立方程、二次公式、直线斜率与方程、二次图像配方、不等式、函数与反函数、判别式、指数图像、代数分式及二次应用；每题附评分要点。
卷面资料 年级：中四至中五（S4–S5） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：12
甲部：展开、因式分解与方程（第 1 至 4 题，共 24 分）
回答全部题目；除特别指明外，答案取三位有效数字，并写出计算步骤。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 展开 (2x − 3)(x + 5)，并化简 6x⁴y² ÷ 9x²y⁵。（6 分） | (2x − 3)(x + 5) = 2x² + 10x − 3x − 15 = 2x² + 7x − 15 (3)。6x⁴y² ÷ 9x²y⁵ = (6 ÷ 9)x²y⁻³ = 2x² ÷ (3y³) (3)。 |
| 2 | 因式分解：(a) x² − 7x + 12；(b) 2x² + 5x − 3；(c) 9x² − 16。（6 分） | (a) (x − 3)(x − 4) (2)。(b) 2x² + 6x − x − 3 = (2x − 1)(x + 3) (3)。(c) (3x − 4)(3x + 4) (1)。 |
| 3 | 解联立方程 3x + 2y = 13 及 5x − 2y = 11；并解 (2x − 1) ÷ 3 = (x + 4) ÷ 2。（6 分） | 两式相加：8x = 24，得 x = 3 (2)；代回 3x + 2y = 13 得 y = 2 (2)。去分母：2(2x − 1) = 3(x + 4)，即 4x − 2 = 3x + 12，故 x = 14 (2)。 |
| 4 | 用二次公式解 2x² − 5x − 3 = 0（答案取准确值），并由此把 2x² − 5x − 3 因式分解。（6 分） | a = 2，b = −5，c = −3，判别式 = 25 + 24 = 49 (2)；x = (5 ± 7) ÷ 4，得 x = 3 或 x = −0.5 (2)；故 2x² − 5x − 3 = (2x + 1)(x − 3) (2)。 |
乙部：直线、二次图像与函数（第 5 至 8 题，共 32 分）
解方程须逐步列出步骤；解二次方程须写出所用方法及舍去不合理解的理由。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | A(−1, 3) 与 B(3, 11) 为直线 L 上两点。(a) 求 L 的斜率及方程；(b) 求 L 与 x 轴的交点；(c) 求过 B 且垂直于 L 的直线方程。（8 分） | (a) 斜率 = (11 − 3) ÷ (3 + 1) = 2 (2)；y − 3 = 2(x + 1)，即 y = 2x + 5 (2)。(b) 令 y = 0，得 x = −2.5，交点为 (−2.5, 0) (1)。(c) 垂直斜率为 −0.5，y − 11 = −0.5(x − 3)，即 y = −0.5x + 12.5 (3)。 |
| 6 | 曲线 y = x² − 4x + 1。(a) 配方求顶点坐标及对称轴；(b) 解 x² − 4x + 1 = 0，答案取三位有效数字；(c) 直线 y = 2 与曲线相交，求交点的 x 坐标。（8 分） | (a) y = (x − 2)² − 3，顶点为 (2, −3)，对称轴为 x = 2 (3)。(b) (x − 2)² = 3，x = 2 ± 1.73，即 x ≈ 3.73 或 0.268 (3)。(c) x² − 4x − 1 = 0，x = 2 ± 2.24，即 x ≈ 4.24 或 −0.236 (2)。 |
| 7 | 解下列不等式：(a) 3 − 2x ≥ 7；(b) 列出所有满足“2x 大于 −3 且 2x ≤ 5”的整数 x；(c) 求使 x² − 5x + 6 为负数的 x 范围。（8 分） | (a) −2x ≥ 4，除以负数须变号，故 x ≤ −2 (3)。(b) −1.5 小于 x 而 x ≤ 2.5，整数为 −1、0、1、2 (3)。(c) (x − 2)(x − 3) 为负数，故 x 介乎 2 与 3 之间 (2)。 |
| 8 | 已知 f(x) = 3x − 2，g(x) = x² + 1。(a) 求 fg(2)；(b) 求 gf(2)；(c) 求反函数 f⁻¹(x)；(d) 解 f⁻¹(x) = 4。（8 分） | (a) g(2) = 5，f(5) = 13 (2)。(b) f(2) = 4，g(4) = 17 (2)。(c) y = 3x − 2 即 x = (y + 2) ÷ 3，故 f⁻¹(x) = (x + 2) ÷ 3 (2)。(d) (x + 2) ÷ 3 = 4，得 x = 10 (2)。 |
丙部：判别式、指数图像与综合应用（第 9 至 12 题，共 44 分）
图像题须标示交点与顶点坐标；应用题须先写出所用变数的定义。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | (a) 已知二次方程 x² + kx + 9 = 0 有重根，求 k 的两个可能值。(b) 当 k = 6 时求该重根，并写出曲线 y = x² + 6x + 9 与 x 轴的接触点及 y 轴截距。（11 分） | (a) 重根条件为判别式 k² − 36 = 0，故 k = 6 或 k = −6 (4)。(b) k = 6 时 x² + 6x + 9 = (x + 3)²，重根 x = −3 (2)；k = −6 时重根 x = 3 (1)；曲线与 x 轴接触于 (−3, 0)，y 轴截距为 (0, 9) (4)。 |
| 10 | 曲线 y = a · b^x 通过 (0, 3) 与 (2, 27)。(a) 求 a 与 b；(b) 求 x = 4 时的 y 值；(c) 求 y = 1/9 时的 x 值；(d) 写出该曲线的渐近线方程。（11 分） | (a) x = 0 时 y = a = 3 (2)；x = 2 时 3b² = 27，b² = 9，故 b = 3 (2)。(b) y = 3 × 3⁴ = 243 (2)。(c) 3^(x + 1) = 3⁻²，x + 1 = −2，故 x = −3 (3)。(d) 渐近线为 y = 0 (2)。 |
| 11 | (a) 把 y = (3x + 1) ÷ (x − 2) 变换为以 x 为主项。(b) 解 3 ÷ (x − 1) + 2 ÷ (x + 2) = 1，答案取三位有效数字。(c) 写出 (b) 中 x 不可取的值。（11 分） | (a) y(x − 2) = 3x + 1，xy − 3x = 1 + 2y，x(y − 3) = 1 + 2y，故 x = (1 + 2y) ÷ (y − 3) (4)。(b) 乘 (x − 1)(x + 2)：3(x + 2) + 2(x − 1) = (x − 1)(x + 2)，5x + 4 = x² + x − 2，x² − 4x − 6 = 0，x = 2 ± √10 ≈ 5.16 或 −1.16 (5)。(c) x = 1 及 x = −2 使分母为零 (2)。 |
| 12 | 一长方形的周界为 40 cm，两边长分别为 x cm 与 (20 − x) cm。(a) 以 x 表示面积 A；(b) 配方求 A 的最大值及此时的 x；(c) 说明 x = 8 与 x = 12 得出相同面积的原因；(d) 求使面积为 75 cm² 的 x 值。（11 分） | (a) A = x(20 − x) = 20x − x² (2)。(b) A = −(x − 10)² + 100，x = 10 时 A 的最大值为 100 cm² (4)。(c) 8 与 12 关于 x = 10 对称，故两者面积相同，均为 96 cm² (2)。(d) x² − 20x + 75 = 0，(x − 5)(x − 15) = 0，故 x = 5 或 15 (3)。 |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。
