中四数学练习卷：二次方程、函数图像与变分（100 分）

2026-11-11

练习卷 · 中四数学 · 二次方程与函数图像

中四数学练习卷：全卷 6 题 22 部分、100 分、75 分钟。按香港中四数学课程编写，涵盖二次方程的解法与判别式、二次函数图像与平移、联变与反变、二次方程应用题、对数与复利息，以及统计量与简单概率，附完整答案、算式与评分要点，题目由浅入深，适合期中与期末温习。

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卷面资料　年级：中四　｜　科目：数学　｜　时限：75 分钟　｜　总分：100 分　｜　题数：22

第一部分：二次方程的解法与判别式（15 分）

设 a、b、c 为实数，二次方程 ax² + bx + c = 0（a 不等于 0）的判别式为 b² − 4ac。判别式为正时方程有两个相异实根，为零时有重根，为负时无实根。求根公式为 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)。

#	题目	答案与评分要点
1	以配方法把方程 x² − 6x + 4 = 0 的左式写成 (x − 3)² 的形式，并解该方程（答案准确至小数后两位）。	答案：(x − 3)² = 5，故 x = 3 ± √5，即 x ≈ 5.24 或 x ≈ 0.76。（评分要点：配方 1 分，正确开方 1 分，两个答案 1 分）
2	计算方程 2x² + 5x − 3 = 0 的判别式，由此判断根的性质，然后解该方程。	答案：判别式 = 5² − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49，为正且是完全平方，故有两个相异有理根；x = (−5 ± 7) / 4，即 x = 0.5 或 x = -3.0。（评分要点：判别式 1 分，判断根性质 1 分，两根 1 分）
3	已知方程 x² + kx + 9 = 0 有重根，求 k 的所有可能值。	答案：重根的条件为判别式 k² − 36 = 0，故 k = 6 或 k = -6。（评分要点：列出判别式等于零 2 分，解得两值各 1 分）
4	设 α 与 β 为方程 3x² − 7x + 2 = 0 的两根。求 α + β、αβ 及 α² + β² 的值（最后一项以最简分数及小数表示）。	答案：α + β = 7/3，αβ = 2/3；α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 49/9 − 4/3 = 37/9 ≈ 4.11。（评分要点：根的和与积 2 分，平方和公式 2 分，答案 1 分）

第二部分：二次函数图像与平移（16 分）

考虑函数 y = −x² + 4x + 5。其图像是一条开口向下的抛物线，对称轴为垂直线 x = h，顶点为 (h, k)。

#	题目	答案与评分要点
5	以配方法把 y = −x² + 4x + 5 写成 y = −(x − h)² + k 的形式，并写出顶点的坐标。	答案：y = −(x − 2)² + 9，顶点为 (2, 9)。（评分要点：配方过程 2 分，顶点 2 分）
6	写出图像的对称轴方程，以及图像与 y 轴的交点坐标。	答案：对称轴为 x = 2；当 x = 0 时 y = 5，故交点为 (0, 5)。（评分要点：对称轴 2 分，交点 2 分）
7	求图像与 x 轴的两个交点，并写出 y 大于 0 时 x 的取值范围。	答案：解 −x² + 4x + 5 = 0 得 x = 5 或 x = -1，交点为 (5, 0) 与 (-1, 0)；图像开口向下，故 y 大于 0 时 x 在 -1 与 5 之间。（评分要点：两交点 2 分，范围 2 分）
8	把该图像向右平移 3 单位，写出新图像对应的函数，并写出新顶点的坐标。	答案：新函数为 y = −(x − 5)² + 9，新顶点为 (5, 9)。（评分要点：平移方向 2 分，函数与顶点 2 分）

第三部分：联变与反变（17 分）

设 y 随 x 的平方正变，并随 z 反变，即 y = kx² / z，其中 k 为非零常数。当 x = 3 及 z = 2 时，y = 18。

#	题目	答案与评分要点
9	求常数 k 的值，并写出 y 与 x、z 之间的方程。	答案：18 = k(3²)/2 = 4.5k，故 k = 4，方程为 y = 4x² / z。（评分要点：代入数据 2 分，k 及方程 2 分）
10	当 x = 5 及 z = 4 时，求 y 的值。	答案：y = 4(5²)/4 = 4 × 25 ÷ 4 = 25。（评分要点：代入 2 分，答案 2 分）
11	当 y = 50 及 z = 8 时，求 x 的值（只取正值）。	答案：50 = 4x²/8 = x²/2，故 x² = 100，x = 10。（评分要点：化简方程 2 分，开方 2 分，只取正值 1 分）
12	若 x 增加 20% 而 z 减少 20%，y 会增加百分之几？	答案：x² 变为原来的 1.44 倍，z 变为原来的 0.8 倍，故 y 变为 1.44 ÷ 0.8 = 1.8 倍，即增加 80%。（评分要点：两个倍数各 1 分，结论 2 分）

第四部分：二次方程的应用（18 分）

一个长方形花圃的周界为 34 米，面积为 60 平方米。设花圃的阔为 w 米，长为 (17 − w) 米。

#	题目	答案与评分要点
13	以 w 表示花圃的长，并证明 w 满足方程 w² − 17w + 60 = 0。	答案：长为 (17 − w) 米；由 w(17 − w) = 60 得 17w − w² = 60，移项得 w² − 17w + 60 = 0。（评分要点：写出长 2 分，方程推导 2 分）
14	解上述方程，并写出花圃的长和阔。	答案：w² − 17w + 60 = 0 分解为 (w − 5)(w − 12) = 0，故 w = 5 或 w = 12；阔 5 米、长 12 米。（评分要点：因式分解 2 分，两根 2 分，尺寸 1 分）
15	围栏每米造价 45 元，求围绕花圃一周的费用。	答案：费用 = 34 × 45 = 1530 元。（评分要点：用周界 2 分，答案 2 分）
16	若周界不变而面积改为 72 平方米，求新的长和阔。	答案：w² − 17w + 72 = 0，判别式 = 289 − 288 = 1，故 w = (17 ± 1) ÷ 2 = 9 或 8；新尺寸为 8 米 × 9 米。（评分要点：方程 2 分，判别式或分解 2 分，尺寸 1 分）

第五部分：对数与复利息（17 分）

对数律包括 log(ab) = log a + log b 及 log(a ÷ b) = log a − log b。复利息公式为 A = P(1 + r)ⁿ，其中 P 为本金、r 为每期利率、n 为期数。

#	题目	答案与评分要点
17	计算 log₂ 16 + log₃ (1/9) 的值。	答案：log₂ 16 = 4，log₃ (1/9) = −2，故总值为 2。（评分要点：每项 2 分，合计 1 分）
18	解方程 2^(x + 1) = 32。	答案：32 = 2⁵，故 x + 1 = 5，x = 4。（评分要点：同底 2 分，指数相等 2 分，答案 1 分）
19	某人存入 20000 元，年利率 5%，每年复利一次。以对数计算，最少要存多少个整年，结余才会超过 30000 元？并求该年的结余（准确至小数后两位）。	答案：需 20000(1.05)ⁿ 大于 30000，即 (1.05)ⁿ 大于 1.5；n 大于 log 1.5 ÷ log 1.05 ≈ 8.31，故最少 9 整年；第 9 年结余为 20000(1.05)^9 ≈ 31026.56 元（第 8 年只有 29549.11 元）。（评分要点：列式 2 分，取对数 2 分，n 值 2 分，结余 1 分）

第六部分：统计量与概率（17 分）

八名学生在某次数学测验的得分如下：12、15、15、18、20、22、23、25。

#	题目	答案与评分要点
20	求该组分数的平均数与中位数。	答案：总分 = 150，平均数 = 150 ÷ 8 = 18.75；中位数 = (18 + 20) ÷ 2 = 19。（评分要点：总和 1 分，平均数 2 分，中位数 2 分）
21	从八人中随机抽出一人，求其得分高于平均数的概率。	答案：高于 18.75 的分数有 20、22、23、25 共 4 个，概率 = 4 ÷ 8 = 0.5。（评分要点：找出 4 个 3 分，概率 3 分）
22	若最低分 12 改为 20，求新的平均数与中位数。	答案：新总分 = 150 − 12 + 20 = 158，新平均数 = 158 ÷ 8 = 19.75；排序后中间两值为 20 与 20，中位数 = 20。（评分要点：新总分 2 分，平均数 2 分，中位数 2 分）

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