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中四数学练习卷：二次方程、对数、数列与座标几何（12 题・100 分・75 分钟・附答案）｜原创模拟试题
练习卷 · 中四数学：二次方程、对数、数列与座标几何全卷
本卷 12 题、100 分、75 分钟，覆盖中四数学：二次方程根的性质、余式与因式定理、指数与对数方程、百分数折旧、等差与等比数列、变分、座标几何的垂直平分线、余弦公式与三角形面积、统计量与标准差，以及不放回抽样的概率；全部数值由程式自算，附评分要点。
卷面资料 年级：中四（S4） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：12
甲部：二次方程与多项式（24 分）
每题 6 分，须列式或说明推理。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 设 α、β 为方程 2x² − 7x + 3 = 0 的两根。(a) 以因式分解法解该方程。(b) 求 α + β 与 αβ，并由此求判别式的值。(c) 求以 α + 1 与 β + 1 为两根的二次方程，并以 ax² + bx + c = 0（a、b、c 为整数）的形式表示。 | (a) 2x² − 7x + 3 = (2x − 1)(x − 3) = 0，故 x = 1/2 或 x = 3。(b) α + β = 7/2，αβ = 3/2；判别式 = 49 − 24 = 25（大于 0，故两根为相异实数）。(c) 新根之和 = 7/2 + 2 = 11/2，新根之积 = (1/2 + 1)(3 + 1) = 6，故方程为 x² − (11/2)x + 6 = 0，即 2x² − 11x + 12 = 0。评分要点：正确因式分解、根与系数关系、以根之和与积构造方程。 |
| 2 | 设 p(x) = 2x³ + ax² − 5x + 6，其中 a 为常数。已知 p(1) = 0。(a) 求 a 的值。(b) 将 p(x) 分解为一次因式的乘积。(c) 由此解方程 p(x) = 0，并写出全部根。 | (a) p(1) = 2 + a − 5 + 6 = a + 3 = 0，故 a = −3。(b) p(x) = 2x³ − 3x² − 5x + 6 = (x − 1)(2x² − x − 6) = (x − 1)(2x + 3)(x − 2)。(c) 由 (b) 得 x = 1、x = 2 或 x = −3/2。评分要点：余式定理代入、长除法或比较系数、完整分解并列出全部根。 |
| 3 | (a) 不使用计算机，化简 (27^(2/3) × 9^(−1/2)) ÷ 81^(1/4)，并展示每一步。(b) 解方程 4^(x+1) = 8^(2x−3)。(c) 已知 5^a = 2 及 5^b = 3，求 5^(2a+b) 的值。 | (a) 27^(2/3) = (∛27)² = 9，9^(−1/2) = 1/3，81^(1/4) = 3，故原式 = 9 × (1/3) ÷ 3 = 1。(b) 4^(x+1) = 2^(2x+2)，8^(2x−3) = 2^(6x−9)；同底比较指数得 2x + 2 = 6x − 9，故 x = 11/4 = 2.75。(c) 5^(2a+b) = (5^a)² × 5^b = 2² × 3 = 12。评分要点：分数指数与负指数的处理、同底比较、指数律合并。 |
| 4 | 一个长方形的周界为 26 cm，面积为 40 cm²。设长为 x cm。(a) 证明 x 满足方程 x² − 13x + 40 = 0。(b) 求该长方形的长与阔。(c) 求该长方形对角线的长度（答案准确至 2 位小数）。 | (a) 阔为 (13 − x) cm，由面积得 x(13 − x) = 40，展开即 x² − 13x + 40 = 0。(b) (x − 5)(x − 8) = 0，故长与阔为 8 cm 及 5 cm。(c) 对角线 = √(8² + 5²) = √89 ≈ 9.43 cm。评分要点：设立未知数并写出方程、因式分解、开方取正根。 |
乙部：指数、对数与数列（36 分）
每题 9 分，注意题目各部分的配分。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | (a) 解方程 log₂(x + 3) + log₂(x − 3) = 4，并解释为何要剔除其中一个解。(b) 解方程 log₄(x + 12) = 2。(c) 不使用计算机，求 log 8 ÷ log 2 + log 25 + log 4 的值（对数以 10 为底）。 | (a) 合并对数得 log₂(x² − 9) = 4，故 x² − 9 = 16，x² = 25，x = 5 或 x = −5；因真数须为正数（x 大于 3），故舍去 x = −5，答案 x = 5。(b) log₄(x + 12) = 2，故 x + 12 = 16，x = 4。(c) log 8 ÷ log 2 = 3（因 2³ = 8），log 25 + log 4 = log 100 = 2，故总和 = 5。评分要点：对数合并法则、指数化、真数范围检查。 |
| 6 | 一部汽车的价值 V（元）在购入 n 年后为 V = 240000 × 0.85ⁿ。(a) 求购入 3 年后的价值（准确至元）。(b) 求最少多少年后价值首次低于 $100,000，并展示取对数的步骤。(c) 若另一部汽车每年按固定百分率 r 折旧，4 年后价值刚好为原价的一半，求 r（准确至 0.1%）。 | (a) V = 240000 × 0.85³ = $147,390。(b) 需 0.85ⁿ 小于 5/12，两边取对数得 n 大于 5.387，故最少 6 年后（第 5 年仍为 $106,489，第 6 年为 $90,516）。(c) (1 − r)⁴ = 0.5，1 − r = 0.5^(1/4) = 0.8409，故 r = 0.1591，即每年约 15.9%。评分要点：正确代入、取对数处理不等式、四次方根与百分率表示。 |
| 7 | (a) 某等差数列首项为 7，公差为 4，求第 20 项。(b) 求该数列首 20 项之和。(c) 某等比数列首项为 3，公比为 2，求首 8 项之和。(d) 承 (a)(b)，求最小的 n 使该等差数列首 n 项之和大于 1000，并以计算支持你的答案。 | (a) 第 20 项 = 7 + 19 × 4 = 83。(b) 首 20 项和 = 20/2 × (7 + 83) = 900.0。(c) 首 8 项和 = 3(2⁸ − 1)/(2 − 1) = 765。(d) 首 n 项和 = n(2n + 5)；n = 21 时为 987，n = 22 时为 1078，故最小 n = 22。评分要点：通项公式、等差与等比求和公式、验证边界值。 |
| 8 | 设 y 随 x² 正变，并随 z 反变。当 x = 4、z = 2 时，y = 24。(a) 求变分常数并写出 y 与 x、z 的关系式。(b) 当 x = 6、z = 9 时，求 y。(c) 当 y = 9、x = 3 时，求 z。 | (a) 设 y = kx²/z，代入 24 = k × 16 ÷ 2 得 k = 3.0，故 y = 3x²/z。(b) y = 3 × 36 ÷ 9 = 12.0。(c) 由 9 = 3 × 9 ÷ z 得 z = 3.0。评分要点：写出变分式、求变分常数、代回求值。 |
丙部：座标几何、三角、统计与概率（40 分）
每题 10 分，须作完整计算或解释。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | 已知 A(−2, 1) 与 B(4, 5) 为坐标平面上两点。(a) 求 AB 的长度（答案以根式表示，并取 2 位小数）。(b) 求 AB 的中点坐标。(c) 求 AB 的垂直平分线方程，并以 Ax + By + C = 0 的形式表示。(d) 求该垂直平分线与 y 轴的交点，并说明该点与 A、B 的距离关系。 | (a) AB = √[(4 + 2)² + (5 − 1)²] = √(36 + 16) = 2√13 ≈ 7.21。(b) 中点 = ((−2 + 4)/2, (1 + 5)/2) = (1, 3)。(c) AB 的斜率 = (5 − 1)/(4 + 2) = 2/3，故垂直平分线斜率 = −3/2；过 (1, 3) 得 y − 3 = −(3/2)(x − 1)，整理为 3x + 2y − 9 = 0。(d) 令 x = 0 得 y = 4.5，交点为 (0, 4.5)；代入可知该点与 A、B 的距离相等（均为 √(4 + 12.25)），即它是 AB 的垂直平分线上一点。评分要点：距离公式、中点公式、垂直斜率之积为 −1、标准式整理。 |
| 10 | 在三角形 ABC 中，AB = 10 cm，AC = 14 cm，∠A = 60°。(a) 求 BC 的长度（准确至 2 位小数）。(b) 求三角形 ABC 的面积（答案以根式及 2 位小数表示）。(c) 求 ∠B（准确至 0.1°），并说明所用的公式。 | (a) BC² = 10² + 14² − 2 × 10 × 14 × cos60° = 100 + 196 − 140 = 156，故 BC = 2√39 ≈ 12.49 cm。(b) 面积 = ½ × 10 × 14 × sin60° = 35√3 ≈ 60.62 cm²。(c) 由正弦公式 sinB ÷ 14 = sin60° ÷ BC，得 sinB ≈ 0.9707，故 ∠B ≈ 76.1°。评分要点：余弦公式、面积公式、正弦公式求角并取合理范围。 |
| 11 | 某组数据为 4、7、7、9、11、13、15、18。(a) 求平均数。(b) 求中位数。(c) 求众数。(d) 求标准差（准确至 2 位小数）。(e) 若每个数据同时加 3，分别说明平均数、中位数、标准差及全距有何变化，并解释原因。 | (a) 平均数 = (4 + 7 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 18) ÷ 8 = 10.5。(b) 中位数 = (9 + 11) ÷ 2 = 10。(c) 众数 = 7（出现两次）。(d) 离差平方和 = 152，方差 = 152 ÷ 8 = 19，标准差 ≈ 4.36。(e) 每个数据加 3：平均数变 13.5，中位数变 13；标准差与全距不变（仍为 4.36 与 14），因为整体平移不改变数据之间的分散程度。评分要点：平均与中位数的定义、离差平方和、理解平移的影响。 |
| 12 | 一个袋中有 5 个红球、3 个蓝球及 2 个绿球，除颜色外完全相同。(a) 随机抽出一球，求抽出红球的概率。(b) 不放回地抽出两球，求两球皆为红球的概率。(c) 不放回地抽出两球，求至少有一球为绿球的概率。(d) 放回地抽出两球，求刚好一红一蓝的概率。 | (a) P(红球) = 5/10 = 0.5。(b) P(两球皆红) = (5/10) × (4/9) = 2/9 ≈ 0.222。(c) P(至少一绿) = 1 − (8/10)(7/9) = 1 − 28/45 = 17/45 ≈ 0.378。(d) P(刚好一红一蓝) = 2 × (5/10) × (3/10) = 0.3。评分要点：不放回时分母递减、以反面事件处理“至少”、考虑两种次序。 |
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