中五数学练习卷：圆的方程与圆形性质（100 分）

2026-11-11

练习卷 · 中五数学 · 圆的方程

中五数学练习卷：全卷 6 题 22 部分、100 分、75 分钟。按香港中五数学课程编写，涵盖圆的方程与配方法、直线与圆相切、圆上一点的切线、两圆的位置关联与根轴、圆形性质，以及弦长与中点，附完整答案、算式步骤与评分要点。

卷面资料　年级：中五　｜　科目：数学　｜　时限：75 分钟　｜　总分：100 分　｜　题数：22

第一部分：圆的方程、圆心与半径（16 分）

圆的一般式方程为 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，配方法可把它写成标准式，直接读出圆心与半径。判断一点与圆的相对位置，只需比较该点与圆心的距离和半径。

#	题目	答案与评分要点
1	圆 C 的方程为 x² + y² − 6x + 8y − 24 = 0。以配方法求圆心坐标及半径。	答案：配方得 (x − 3)² + (y + 4)² = 49，圆心为 (3, −4)，半径为 7。（评分要点：两次配方各 1 分，常数项整理 1 分，圆心与半径各 0.5 分）
2	判断点 P(3, 3) 与圆 C 的相对位置，并说明理由。	答案：P 与圆心的距离 = \|3 − (−4)\| = 7，等于半径，所以 P 在圆上。（评分要点：距离算术 2 分，与半径比较 1 分，结论 1 分）
3	判断点 Q(9, −4) 与圆 C 的相对位置，并说明理由。	答案：Q 与圆心的距离 = 6，小于半径 7，所以 Q 在圆内。（评分要点：距离算术 2 分，比较 1 分，结论 1 分）
4	求圆 C 与 y 轴的交点数目，并说明理由。	答案：令 x = 0 得 y² + 8y − 24 = 0，判别式 = 64 + 96 = 160，大于零，所以有 2 个交点。（评分要点：代 x = 0 得二次方程 1 分，判别式 2 分，结论 1 分）

第二部分：直线与圆相切（18 分）

圆 x² + y² = r² 与直线相切时，圆心到直线的距离刚好等于半径。切点是圆心向直线所作垂线的垂足，可由圆心与垂线方向直接求出。

#	题目	答案与评分要点
5	直线 L 的方程为 y = x + k，L 与圆 x² + y² = 25 相切。求 k 的两个可能值。	答案：改写为 x − y + k = 0，圆心到直线距离 = \|k\| ÷ √2 = 5，得 k = ±5√2，即约 7.1 与 −7.1。（评分要点：距离公式 2 分，令距离等于半径 2 分，两个值各 1 分）
6	取 k 为正数，求 L 与圆的切点坐标（以根式表示，并给出一个小数近似值）。	答案：垂足为 (−k ÷ 2, k ÷ 2) = (−5√2 ÷ 2, 5√2 ÷ 2)，约 (−3.5, 3.5)。（评分要点：垂足方向 2 分，坐标各 1 分，近似值 2 分）
7	取 k 为正数，求 L 与两坐标轴围成的三角形面积。	答案：截距为 (0, k) 与 (−k, 0)，两腰均长 k，面积 = k² ÷ 2 = 50 ÷ 2 = 25 平方单位。（评分要点：截距各 1 分，面积公式 2 分，答案 2 分）

第三部分：圆上一点的切线（16 分）

由圆心连到切点的半径与切线互相垂直，因此两者斜率的乘积为 −1。求切线方程时，先求半径斜率，再取负倒数，最后用点斜式写出方程。

#	题目	答案与评分要点
8	圆 C 的方程为 x² + y² − 4x − 6y − 12 = 0。求圆心坐标及半径。	答案：(x − 2)² + (y − 3)² = 25，圆心 (2, 3)，半径 5。（评分要点：配方 2 分，圆心 1 分，半径 1 分）
9	证明点 A(5, 7) 在圆 C 上。	答案：A 与圆心距离的平方 = 3² + 4² = 25 = 5²，等于半径的平方，所以 A 在圆上。（评分要点：代入 2 分，比较 1 分，结论 1 分）
10	求圆 C 在点 A 的切线方程，并以一般式表示。	答案：半径斜率 = 4/3，切线斜率 = −3/4；y − 7 = −3/4 (x − 5)，化简得 3x + 4y − 43 = 0。（评分要点：半径斜率 1 分，切线斜率 1 分，方程 2 分）
11	求上述切线在 x 轴上的截距。	答案：令 y = 0 得 3x = 43，x 截距约为 14.3。（评分要点：代 y = 0 得 2 分，解方程 1 分，近似值 1 分）

第四部分：两圆的位置关联与根轴（18 分）

比较两圆圆心距离与半径和、半径差，可判定两圆相交、外切、内切或相离。把两圆方程相减，二次项互相抵消，所得直线就是根轴。

#	题目	答案与评分要点
12	圆 C1：x² + y² − 4x = 0 与圆 C2：x² + y² − 6y + 8 = 0。求两圆的圆心及半径。	答案：C1 圆心 (2, 0)、半径 2；C2 圆心 (0, 3)、半径 1。（评分要点：每个圆心 1 分，每个半径 1 分）
13	判定两圆的位置关联，并说明理由。	答案：圆心距离 = √(4 + 9) = √13，约 3.6，大于半径和 3，所以两圆外离，没有交点。（评分要点：圆心距离 2 分，与半径和比较 1 分，结论 1 分）
14	把两圆方程相减，求根轴的方程（以一般式表示）。	答案：相减得 −4x + 6y − 8 = 0，即 2x − 3y + 4 = 0。（评分要点：相减步骤 2 分，整理常数 2 分，整理形式 2 分）
15	判断点 (2, 3) 是否在根轴上，并说明理由。	答案：代入得 4 − 9 + 4 = −3，不等于零，所以该点不在根轴上。（评分要点：代入 2 分，比较 1 分，结论 1 分）

第五部分：圆形性质（16 分）

圆内接四边形的对角互补，同弧所对的圆周角相等，切线与弦的夹角等于该弦在另一弓形内所对的圆周角。这三条定理是中五圆形题目的主要工具。

#	题目	答案与评分要点
16	圆内接四边形 ABCD 中，角 A = 3x + 10 度，角 C = 2x + 30 度。求 x 的值，以及角 A 与角 C 的大小。	答案：对角互补，(3x + 10) + (2x + 30) = 180，得 x = 28，角 A = 94 度，角 C = 86 度。（评分要点：列式 2 分，解 x 2 分，两角各 1 分）
17	A、B、C、D 四点在同一圆上，角 BAC = 34 度，角 ACB = 58 度。求角 ABC 及角 BDC。	答案：三角形内角和得角 ABC = 180 − 34 − 58 = 88 度；同弧 BC 所对圆周角相等，角 BDC = 角 BAC = 34 度。（评分要点：角 ABC 2 分，引用同弧定理 1 分，角 BDC 2 分）
18	圆上一点 A 的切线与弦 AB 的夹角为 52 度。求弦 AB 在另一弓形内所对的圆周角 ACB。	答案：由切线与弦的夹角定理，角 ACB 等于 52 度。（评分要点：指出所用定理 3 分，答案与单位 2 分）

第六部分：直线与圆相交、弦长与中点（16 分）

把直线方程代入圆方程，可得一个二次方程，其判别式决定交点数目。弦的中点就是圆心到直线所作垂线的垂足，因此中点坐标可用垂足公式求出，不必先解出两个交点。

#	题目	答案与评分要点
19	圆 C：x² + y² − 2x + 4y − 20 = 0。求圆心及半径。	答案：(x − 1)² + (y + 2)² = 25，圆心 (1, −2)，半径 5。（评分要点：配方 2 分，圆心 1 分，半径 1 分）
20	直线 y = x + 1 与圆 C 相交。以代入法证明有两个交点。	答案：代入得 2x² + 4x − 15 = 0，判别式 = 16 + 120 = 136，大于零，所以有两个交点。（评分要点：代入与整理 2 分，判别式 1 分，结论 1 分）
21	求两交点之间的弦长（以根式表示，并给出一个小数近似值）。	答案：两根的差 = √136 ÷ 2 = √34，弦长 = √2 × √34 = 2√17，约 8.2。（评分要点：两根差 2 分，乘 √2 1 分，根式答案与近似值各 0.5 分）
22	求该弦的中点坐标，并用垂足方法验算。	答案：中点 x = −4 ÷ 4 = −1，y = 0，即 (−1, 0)；圆心到直线垂足亦为 (1 − 2, −2 + 2) = (−1, 0)，两法一致。（评分要点：中点 2 分，垂足验算 1 分，结论 1 分）

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