中五数学练习卷：二次方程、指数对数、数列、圆形性质、概率统计与多项式

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本卷为中五数学必修部分练习卷，涵盖二次方程的判别式与根之和积、指数与对数方程、等差与等比数列的通项与求和、圆形性质的弦长与切线、概率与统计的平均数与方差，以及多项式的余式定理与因式分解。所有计算须列出公式与步骤，答案须附单位及三位有效数字。

卷面资料　年级：中五　｜　科目：中五数学　｜　时限：60 分钟　｜　总分：100 分　｜　题数：24

第一部分：二次方程（16 分）

本部分共四题，须写出所用公式或定理，并展示解题步骤。

#	题目	答案与评分要点
1	解方程 x² − 5x + 6 = 0，并写出判别式的值。	判别式 Δ = b² − 4ac = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1，因 Δ 为正数，故有两个相异实根。由求根公式 x = (5 ± √1) / 2，得 x = 3 或 x = 2。验算：将 x = 3 代入，得 9 − 15 + 6 = 0。
2	求 k 的值，使方程 2x² + kx + 8 = 0 有重根。	重根的条件为判别式等于零，即 k² − 4 × 2 × 8 = 0，故 k² = 64。因此 k = 8 或 k = −8，两个值都令方程有重根。
3	设 α、β 为方程 3x² − 7x − 2 = 0 的两个根，求 α + β 与 αβ。	由根与系数的公式，α + β = −b / a = 7/3，αβ = c / a = -2/3。两者都可用求根公式核对：根为 (7 ± √73) / 6，相加得 7/3。
4	求一个以 3 与 −5 为根、且 x² 系数为 1 的二次方程。	根之和 = 3 + (−5) = -2，根的积 = 3 × (−5) = -15。方程为 x² −（根之和）x +（根的积）= 0，即 x² + 2x − 15 = 0。

本部分共四题，对数一律以 10 为底时会注明；答案取三位有效数字。

#	题目	答案与评分要点
5	求 log₂ 32 与 log₃ (1/9) 的值。	因 2 的 5 次方等于 32，故 log₂ 32 = 5。因 3 的 −2 次方等于 1/9，故 log₃ (1/9) = -2。
6	解方程 2^(x+1) = 32。	两边取以 2 为底的对数，得 x + 1 = log₂ 32 = 5，故 x = 4。验算：2 的 5 次方等于 32，符合原方程。
7	解方程 3^(2x) = 27。	因 27 = 3 的 3 次方，故 2x = 3，即 x = 1.5。验算：2 × 1.5 = 3，代回指数成立。
8	化简 log 8 + log 125，并写出所用对数律。	用对数相加律 log m + log n = log (mn)，得 log 8 + log 125 = log 1000 = 3。因 10 的 3 次方等于 1000，故结果为 3。

本部分共四题，等差数列与等比数列均须写出通项公式再代入。

本部分共四题，须画出或描述所用定理，并写出计算步骤。

#	题目	答案与评分要点
13	圆的半径为 13 cm，一条弦与圆心的距离为 5 cm，求该弦的长度。	由圆心向弦作垂线，垂足平分该弦。设半弦长为 h，由毕氏定理 h² = 13² − 5² = 144，故 h = 12 cm。弦长 = 2 × 12 = 24 cm。
14	圆的半径为 8 cm，外部点 P 与圆心相距 17 cm，求由 P 引出的切线长度。	切线与半径互相垂直，故由毕氏定理切线长 = √(17² − 8²) = √225 = 15 cm。
15	同一段弧所对的圆周角为 35°，求该弧所对的圆心角。	圆心角等于同弧所对圆周角的两倍，故圆心角 = 2 × 35° = 70°。
16	直径所对的圆周角是多少度？写出所用定理并简略说明理由。	直径所对的圆周角为 90°，即半圆上的圆周角。理由：圆心角为 180°（直线），而同弧所对圆心角为圆周角的两倍，故圆周角为 180° / 2 = 90°。

本部分共四题，概率以最简分数表示，统计量取三位有效数字。

#	题目	答案与评分要点
17	袋中有 5 个红球与 3 个蓝球，随机抽出 2 个（不放回），求两个皆为红球的概率。	第一次抽到红球的概率为 5/8，第二次在余下 4 红 3 蓝中抽到红球为 4/7，故概率 = 5/8 × 4/7 = 5/14。
18	承上题，求至少抽到一个蓝球的概率。	用对立事件：至少一个蓝球的概率 = 1 − P(两个皆红) = 1 − 5/14 = 9/14。
19	数据 4、7、7、9、13，求平均数、中位数与方差（以整组数据计算）。	平均数 = (4 + 7 + 7 + 9 + 13) / 5 = 8。数据已排序，中位数为第三个值 7。方差 = [(4−8)² + (7−8)² + (7−8)² + (9−8)² + (13−8)²] / 5 = 44/5 = 8.8。
20	求该组数据的标准差及 13 的标准分（z 分），取三位有效数字。	标准差 = √8.8 = 2.966（三位有效数字取 2.97）。标准分 z = (13 − 8) / 2.9665 = 1.685（取 1.69），表示 13 高于平均数约 1.69 个标准差。

本部分共四题，设 f(x) = 2x³ − 3x² − 11x + 6，须写出代入步骤。

#	题目	答案与评分要点
21	求 f(2) 与 f(−1)。	f(2) = 2 × 8 − 3 × 4 − 11 × 2 + 6 = 16 − 12 − 22 + 6 = -12。f(−1) = 2 × (−1) − 3 × 1 + 11 + 6 = −2 − 3 + 11 + 6 = 12。
22	用余式定理求 f(x) 除以 (x − 3) 的余数。	余数为 f(3) = 2 × 27 − 3 × 9 − 11 × 3 + 6 = 54 − 27 − 33 + 6 = 0。余数为零，表示 (x − 3) 整除 f(x)。
23	将 f(x) 因式分解为三个一次因式。	由上一题知 (x − 3) 为因式，长除得 f(x) = (x − 3)(2x² + 3x − 2)。再分解 2x² + 3x − 2 = (2x − 1)(x + 2)，故 f(x) = (x − 3)(2x − 1)(x + 2)。
24	解方程 f(x) = 0。	由因式分解，三个因式分别为零：x − 3 = 0 得 x = 3；2x − 1 = 0 得 x = 0.5；x + 2 = 0 得 x = −2。故解为 x = 3、x = 0.5、x = −2。

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