中六数学延伸部分单元一练习卷：二项分布、泊松分布、正态分布、置信区间与梯形法则（100 分）

2026-11-12

练习卷 · 数学延伸部分单元一　分布与统计

中六数学延伸部分单元一练习卷：全卷 6 题 16 部分、100 分、60 分钟，涵盖二项分布的期望与概率、泊松分布的累积概率、正态分布的标准化与反求分位数、总体平均值的置信区间与样本容量、梯形法则数值积分，以及离散随机变数的期望与线性变换，每题附评分要点。

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卷面资料　年级：S6　｜　科目：数学延伸部分单元一　｜　时限：60 分钟　｜　总分：100 分　｜　题数：16

甲部　二项分布

本部分共 3 题，合计 16 分，全部须作答。设 X 为二项分布随机变数，n = 20、p = 0.3。

#	题目	答案与评分要点
1	求 X 的期望值、方差与标准差。	答案：期望值 = np = 20×0.3 = 6；方差 = np(1 − p) = 6×0.7 = 4.2；标准差 = √4.2，约为 2.0494。（评分：期望 2 分、方差 2 分、标准差 2 分）
2	求 P(X = 5)，答案准确至四位小数。	答案：P(X = 5) = C(20,5)(0.3)^5(0.7)^15 = 15504×0.00243×0.0047476，约为 0.1789。（评分：二项公式 3 分、数值 2 分）
3	求 P(X 少于或等于 2)，答案准确至四位小数。	答案：P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.0008 + 0.0068 + 0.0278，合计约为 0.0355。（评分：逐项计算 3 分、相加与数值 2 分）

乙部　泊松分布

本部分共 3 题，合计 16 分，全部须作答。设某热线每小时平均接到 4 个查询，查询数目符合泊松分布。

#	题目	答案与评分要点
4	求一小时内接到零个查询的概率。	答案：设 X 为一小时查询数，X 附从泊松分布、均值 4。P(X = 0) = e^(−4)，约为 0.0183。（评分：设定分布 2 分、公式 1 分、数值 2 分）
5	求一小时内接到两个或以下查询的概率。	答案：P(X ≤ 2) = e^(−4)(1 + 4 + 8) = 13e^(−4)，约为 0.2381。（评分：展开三项 3 分、数值 2 分）
6	求两小时内最少接到一个查询的概率。	答案：两小时的查询数 Y 附从泊松分布、均值 8。P(Y ≥ 1) = 1 − P(Y = 0) = 1 − e^(−8)，约为 0.99966。（评分：均值 8 得 2 分、补事件 2 分、数值 2 分）

丙部　正态分布

本部分共 3 题，合计 18 分，全部须作答。设 X 服从正态分布，平均值 50、标准差 10。

#	题目	答案与评分要点
7	求 P(X 大于 65)，答案准确至四位小数。	答案：标准化得 z = (65 − 50)/10 = 1.5。P(Z 大于 1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668。（评分：标准化 2 分、查表值 2 分、补概率 2 分）
8	求 P(40 ≤ X ≤ 60)，答案准确至四位小数。	答案：z 值分别为 −1 与 1。P(−1 ≤ Z ≤ 1) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6827。（评分：两个 z 值 2 分、查表 2 分、相减 2 分）
9	求 k，使 P(X 少于 k) = 0.9，答案准确至一位小数。	答案：P(Z 少于 1.2816) = 0.9，故 k = 50 + 1.2816×10 = 62.8。（评分：z 值 3 分、反标准化 2 分、数值 1 分）

丁部　置信区间

本部分共 3 题，合计 18 分，全部须作答。由 100 个样本算得平均值 12.4、标准差 3.2。

#	题目	答案与评分要点
10	求总体平均值的 95% 置信区间。	答案：标准误 = 3.2/√100 = 0.32。95% 区间 = 12.4 ± 1.96×0.32，即 (11.7728, 13.0272)，约为 (11.77, 13.03)。（评分：标准误 2 分、乘数 2 分、上下限 2 分）
11	求同一资料的 99% 置信区间。	答案：99% 的乘数为 2.5758，区间 = 12.4 ± 2.5758×0.32 = (11.576, 13.224)，约为 (11.58, 13.22)。（评分：乘数 2 分、计算 2 分、区间 2 分）
12	若要 95% 置信区间的半宽不多于 0.25，样本容量最少要多少？	答案：由 1.96×3.2/√n ≤ 0.25 得 √n ≥ 25.088，即 n ≥ 629.4，故样本容量最少为 630。（评分：设定不等式 2 分、平方 2 分、向上取整 2 分）

戊部　梯形法则

本部分共 2 题，合计 16 分，全部须作答。以梯形法则估算 ∫(1 至 3) 1/x dx，取 4 个小区间。

#	题目	答案与评分要点
13	写出各分点的函数值，并求梯形法则的估算值。	答案：分点为 1、1.5、2、2.5、3，函数值为 1、0.6667、0.5、0.4、0.3333。估算值 = 0.25×[1 + 2(0.6667 + 0.5 + 0.4) + 0.3333] = 0.25×4.4667，约为 1.1167。（评分：分点与函数值 4 分、公式 3 分、中间和 2 分、结果 1 分）
14	已知该积分的真值为 ln 3，求估算值的误差与百分误差。	答案：真值约为 1.0986，误差 = 1.1167 − 1.0986 = 0.0181，百分误差 = 0.0181/1.0986×100，约为 1.64%。梯形法则高估，因为函数在区间上凹向上。（评分：真值 2 分、误差 2 分、百分误差 2 分）

己部　期望与方差

本部分共 2 题，合计 16 分，全部须作答。离散随机变数 X 的概率分布为：X = 0 时 0.2、X = 1 时 0.3、X = 2 时 0.4、X = 3 时 0.1。

#	题目	答案与评分要点
15	求 E(X)、E(X²) 与 Var(X)。	答案：E(X) = 0×0.2 + 1×0.3 + 2×0.4 + 3×0.1 = 1.4；E(X²) = 0 + 0.3 + 1.6 + 0.9 = 2.8；Var(X) = 2.8 − 1.96 = 0.84。（评分：E(X) 3 分、E(X²) 3 分、方差 3 分）
16	设 Y = 3X − 2，求 E(Y) 与 Var(Y)。	答案：E(Y) = 3E(X) − 2 = 3×1.4 − 2 = 2.2；Var(Y) = 3²Var(X) = 9×0.84 = 7.56，常数项不影响方差。（评分：E(Y) 3 分、方差倍数 3 分、数值 1 分）

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