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中六数学练习卷：微分、积分与概率分布（12 题・100 分・75 分钟・附答案）｜原创模拟试题
练习卷 · 中六数学：微分、积分与概率分布全卷
本卷 12 题、100 分、75 分钟，覆盖中六数学：多项式求导与驻点判别、切线与法线、相关变率、极值应用、定积分与曲线下面积、两曲线所围面积与旋转体体积、梯形法则、由速度求位移与路程，以及二项分布、正态分布与离散概率分布的期望与方差；全部数值由程式自算，附评分要点。
卷面资料 年级：中六（S6） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：12
甲部：微分及其应用（24 分）
每题 6 分，须列式或说明推理。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 设 y = 2x³ − 9x² + 12x。(a) 求 dy/dx。(b) 求所有驻点（stationary points）的坐标。(c) 以二阶导数判别每个驻点是极大值还是极小值，并写出对应的极值。 | (a) dy/dx = 6x² − 18x + 12。(b) 令 6x² − 18x + 12 = 0，即 6(x − 1)(x − 2) = 0，得 x = 1 或 x = 2；当 x = 1，y = 5；当 x = 2，y = 4，故驻点为 (1, 5) 与 (2, 4)（各 1 分）。(c) d²y/dx² = 12x − 18。x = 1 时为 −6 < 0，故 (1, 5) 为极大点，极大值 5；x = 2 时为 6 > 0，故 (2, 4) 为极小点，极小值 4。 |
| 2 | 曲线 C 的方程为 y = x³ − 4x，P(2, 0) 为 C 上的一点。(a) 求 C 在 P 点的切线斜率。(b) 求 C 在 P 点的切线方程。(c) 求 C 在 P 点的法线方程，并以 ax + by + c = 0 的形式表示。 | (a) dy/dx = 3x² − 4，在 x = 2 时斜率 = 8。(b) 切线：y − 0 = 8(x − 2)，即 y = 8x − 16。(c) 法线斜率 = −1/8，故 y − 0 = −(1/8)(x − 2)，即 x + 8y − 2 = 0。 |
| 3 | 一个球体的半径 r cm 以每秒 0.5 cm 的速率增加。体积 V = (4/3)πr³。(a) 求 dV/dr。(b) 当 r = 6 时，求 dV/dt（答案以 π 表示，并取 2 位小数）。(c) 由此估算半径由 6 cm 增至 6.1 cm 时体积的增加量。 | (a) dV/dr = 4πr²。(b) dV/dt = (dV/dr)(dr/dt) = 4π(6)²(0.5) = 72π ≈ 226.19 cm³/s。(c) 体积增加 ≈ (dV/dr)×0.1 = 144π × 0.1 = 14.4π ≈ 45.24 cm³。 |
| 4 | 一条长 40 cm 的铁线围成一个长方形。设长为 x cm。(a) 以 x 表示长方形的面积 A。(b) 求使 A 为极大的 x，并证明该值确实给出极大面积。(c) 求该最大面积，并指出此时长方形的形状。 | (a) 2x + 2y = 40，故 y = 20 − x，A = x(20 − x) = 20x − x²。(b) dA/dx = 20 − 2x，令其为 0 得 x = 10；d²A/dx² = −2 < 0，故 x = 10 给出极大值。(c) A = 10 × 10 = 100 cm²，此时长 = 阔 = 10 cm，即正方形。 |
乙部：积分与面积、体积（36 分）
每题 9 分，注意题目各部分的配分。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | 设 f(x) = 6x² − 4x + 3。(a) 求 ∫f(x) dx。(b) 求 ∫₀² f(x) dx 的值。(c) 由此求曲线 y = f(x)、x 轴、x = 0 与 x = 2 所围区域的面积，并说明为何面积相等于 (b) 的答案。 | (a) ∫(6x² − 4x + 3) dx = 2x³ − 2x² + 3x + C。(b) [2x³ − 2x² + 3x]₀² = (16 − 8 + 6) − 0 = 14。(c) 判别式 = (−4)² − 4(6)(3) = −56 < 0，且首项系数 6 > 0，故 f(x) 恒为正，图形全在 x 轴上方，所以面积 = 定积分值 = 14 平方单位。 |
| 6 | 曲线 y = x² 与直线 y = 2x 相交于两点。(a) 求这两个交点。(b) 求两者所围区域的面积。(c) 将该区域绕 x 轴旋转一周，求所得的旋转体体积（以 π 表示）。 | (a) x² = 2x，即 x(x − 2) = 0，交点为 (0, 0) 与 (2, 4)。(b) 在 0 < x < 2 内 2x > x²，面积 = ∫₀²(2x − x²) dx = [x² − x³/3]₀² = 4 − 8/3 = 4/3 平方单位。(c) V = π∫₀²[(2x)² − (x²)²] dx = π[4x³/3 − x⁵/5]₀² = π(32/3 − 32/5) = 64π/15 ≈ 13.40 立方单位。 |
| 7 | 曲线 y = x² + 1 与直线 x = −1 及 x = 2。(a) 求 ∫₋₁² (x² + 1) dx。(b) 由此求曲线、x 轴与该两直线所围区域的面积。(c) 用 h = 1 的梯形法则估算同一面积，并求它与 (b) 的准确值之差。 | (a) [x³/3 + x]₋₁² = (8/3 + 2) − (−1/3 − 1) = 14/3 + 4/3 = 6。(b) 因为 x² + 1 > 0，曲线在 x 轴上方，故面积 = 6 平方单位。(c) 梯形法则：h = 1，y 值依次为 2, 1, 2, 5，估算值 = 1 × [(2 + 5)/2 + 1 + 2] = 6.5；与准确值之差 = 6.5 − 6 = 0.5（高估，因曲线向上弯）。 |
| 8 | 某质点沿直线运动，在时间 t 秒（0 ≤ t ≤ 4）的速度为 v = 3t² − 12t + 9 m/s。(a) 求质点静止的时刻。(b) 求 t = 0 至 t = 4 之间的位移。(c) 求 t = 0 至 t = 4 之间质点所走的总路程。 | (a) 3t² − 12t + 9 = 0，即 3(t − 1)(t − 3) = 0，故 t = 1 或 t = 3 秒。(b) 位移 = ∫₀⁴ v dt = [t³ − 6t² + 9t]₀⁴ = (64 − 96 + 36) − 0 = 4 m。(c) v 在 (1, 3) 内为负，故须分段取绝对值：|s(1) − s(0)| = 4、|s(3) − s(1)| = 4、|s(4) − s(3)| = 4，总路程 = 4 + 4 + 4 = 12 m。 |
丙部：概率分布（40 分）
每题 10 分，须作完整计算或解释。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | 设 X ~ B(10, 0.3)。(a) 求 P(X = 3)（取 4 位小数）。(b) 求 E(X) 与 Var(X)。(c) 求 P(X ≤ 1)（取 4 位小数）。 | (a) P(X = 3) = C(10,3)(0.3)³(0.7)⁷ = 120 × 0.027 × 0.0823543 ≈ 0.2668。(b) E(X) = 10 × 0.3 = 3；Var(X) = 10 × 0.3 × 0.7 = 2.1。(c) P(X ≤ 1) = 0.7¹⁰ + 10(0.3)(0.7)⁹ ≈ 0.0282475 + 0.1210608 ≈ 0.1493。 |
| 10 | 某射击运动员每次射击命中的概率为 0.25，各次射击互相独立。他射击 8 次，设 X 为命中的次数。(a) 求 P(X = 0)。(b) 求 P(X ≥ 2)。(c) 求 P(X ≤ 3)，并判断“命中至少 4 次”是否为罕见事件。 | (a) P(X = 0) = 0.75⁸ ≈ 0.1001。(b) P(X ≥ 2) = 1 − P(0) − P(1) = 1 − 0.1001 − 0.2670 ≈ 0.6329。(c) P(X ≤ 3) ≈ 0.1001 + 0.2670 + 0.3115 + 0.2076 ≈ 0.8862，故 P(X ≥ 4) ≈ 0.1138；约 11.4%，并非罕见事件（一般以 5% 为界）。 |
| 11 | 设 X ~ N(50, 25)。(a) 求 P(X > 58)。(b) 求 P(44 < X < 58)。(c) 求 k 使得 P(X < k) = 0.9（已知 P(Z < 1.28) = 0.8997）。 | (a) Z = (58 − 50)/5 = 1.6，P(X > 58) = P(Z > 1.6) = 1 − 0.9452 = 0.0548。(b) Z₁ = (44 − 50)/5 = −1.2，Z₂ = 1.6；P = 0.9452 − 0.1151 = 0.8301。(c) 由 P(Z < 1.28) = 0.8997，k = 50 + 1.28 × 5 = 56.4。 |
| 12 | 设离散随机变数 X 的概率分布为 P(X = x) = k(x + 1)，其中 x = 0, 1, 2, 3。(a) 求 k。(b) 求 E(X)。(c) 求 Var(X) 与标准差。 | (a) 所有概率之和为 1：k(1 + 2 + 3 + 4) = 10k = 1，故 k = 0.1。(b) E(X) = 0(0.1) + 1(0.2) + 2(0.3) + 3(0.4) = 2.0。(c) E(X²) = 0 + 0.2 + 4(0.3) + 9(0.4) = 5.0，Var(X) = 5.0 − 2.0² = 1.0，标准差 = 1.0。 |
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