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IB 数学 AA：数列与级数（基础 10 题）
IB 数学 AA：数列与级数（基础 10 题）
基础十题：等差通项与求和、等比第 n 项、无穷和公式、项数计算，以及 arⁿ 与 arⁿ⁻¹ 的常见混淆。
练习重点 先分清等差与等比，通项指数一律由 n − 1 起算。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 30 |
| 难度分布 | 基础 4 · 进阶 3 · 挑战 2 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：IB 数学 AA：数列与级数 |
| 适用年级 | IB 数学 AA（SL） |
02 题目（10 题）
- 基础等差数列首项 3、公差 5，求第 10 项。
- 基础等比数列首项 2、公比 3，求第 6 项。
- 基础求无穷等比级数 8 + 4 + 2 + 1 + … 之和。
- 基础等差数列 5, 9, 13, …, 97 共有多少项？
- 进阶等差数列首项 4、公差 6，求首 12 项之和。
- 进阶等比数列 5, 10, 20, … 求第 8 项及首 8 项之和。
- 进阶等比数列首项 12、公比 0.8，求无穷和，并说明为何可以求和。
- 挑战等差数列首项 6、公差 4，第几项等于 50？
- 挑战同一数列（首项 3、公差 5）求首 20 项之和。
- 错题重练有学生写“等比第 n 项 = arⁿ，所以 a = 3、r = 2 时第 1 项是 6”。错在哪里？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | u₁₀ = 3 + (10 − 1) × 5 = 3 + 45 = 48。 | 通项是 a + (n − 1)d，第 10 项只加 9 次公差，不是 10 次。 |
| 2 | u₆ = 2 × 3^(6 − 1) = 2 × 243 = 486。 | 等比第 n 项是 ar^(n − 1)，指数比项数少 1。 |
| 3 | a = 8，r = 1/2，S∞ = 8 ÷ (1 − 1/2) = 16。 | 公式只在 |r| < 1 时成立，本题 r = 1/2 符合条件。 |
| 4 | (97 − 5) ÷ 4 + 1 = 23 + 1 = 24 项。 | 项数 = (末项 − 首项) ÷ 公差 + 1，最后的加一最易漏。 |
| 5 | S₁₂ = 12/2 × [2 × 4 + 11 × 6] = 6 × 74 = 444。 | 用 Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]，先算括号内的项再乘外面的 n/2。 |
| 6 | u₈ = 5 × 2⁷ = 640；S₈ = 5(2⁸ − 1) ÷ (2 − 1) = 5 × 255 = 1275。 | 等比求和公式分子是 (rⁿ − 1)；r > 1 时这样写可避免负号。 |
| 7 | S∞ = 12 ÷ (1 − 0.8) = 12 ÷ 0.2 = 60；因 |0.8| < 1，级数收敛。 | 先检查 |r| < 1，否则公式无意义。 |
| 8 | 6 + (n − 1) × 4 = 50，得 (n − 1) × 4 = 44，n = 12。 | 反求项数要把通项写成方程再解，不要靠逐项数。 |
| 9 | S₂₀ = 20/2 × [2 × 3 + 19 × 5] = 10 × 101 = 1010。 | 虽然已知第 10 项是 48，求和仍要用 a 与 d，不能只用一项的数值。 |
| 10 | 第 1 项应是 ar⁰ = 3 × 1 = 3。用 arⁿ 会令每一项都放大 r 倍，整条数列都错。 | 指数由 0 开始，这是通项公式最常见的错误。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。